計算方法華中理工大學課後題答案

❶ 跪求華南理工大學 線性代數 周勝林 習題答案

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線性代數的學習切入點：線性方程組。換言之，可以把線性代數看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科。
線性方程組的特點：方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個數n可以相同，也可以不同。
關於線性方程組的解，有三個問題值得討論：
（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；
（2）、方程組如何求解，有多少個解；
（3）、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯系，即解的結構問題。
高斯消元法，最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：
（1）、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；
（2）、交換某兩個方程的位置；
（3）、用某個常數k乘以某個方程。我們把這三種變換統稱為線性方程組的初等變換。
任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。
由具體例子可看出，化為階梯形方程組後，就可以依次解出每個未知數的值，從而求得方程組的解。
對方程組的解起決定性作用的是未知數的系數及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數及常數項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數按某種方式構成的表稱為矩陣。
可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。
系數矩陣和增廣矩陣。
高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。
階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。
對不同的線性方程組的具體求解結果進行歸納總結（有唯一解、無解、有無窮多解），再經過嚴格證明，可得到關於線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現0=d這一項，則方程組無解，若未出現0=d一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數目r等於未知量數目n，方程組有唯一解，若r在利用初等變換得到階梯型後，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對於求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決於個人習慣。
常數項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。
齊次方程組的方程組個數若小於未知量個數，則方程組一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發點建立起來的最基本理論。
對於n個方程n個未知數的特殊情形，我們發現可以利用系數的某種組合來表示其解，這種按特定規則表示的系數組合稱為一個線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點：有n！項，每項的符號由角標排列的逆序數決定，是一個數。
通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質（如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質都有助於我們更方便的計算行列式。
用系數行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。
總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數目與未知量數目相等的特殊情形時引出的一部分內容

❷ 華東理工大學分析化學第六版 課後答案

《分析化學》部分課後習題
教材：《分析化學》（華東理工、四川大學編著）

P27 第二章 誤差及分析數據的統計處理

思考題
2.下列情況分別引起什麼誤差?如果是系統誤差,應如何消除?
(1)砝碼被腐蝕;
(2)天平兩臂不等長;
(3)容量瓶和吸管不配套;
(4)重量分析中雜質被共沉澱;
(5)天平稱量時最後一位讀數估計不準;
(6)以含量為99%的鄰苯二甲酸氫鉀作基準物標定鹼溶液;
答: （1）儀器誤差；換另一套砝碼或校正砝碼
（2）儀器誤差；校正儀器或更換另一台等臂天平
（3）儀器誤差；換配套的容量瓶和吸管
（4）方法誤差；改進方法；除雜質再分析；提純試劑
（5）隨機誤差；
（6）試劑誤差；提純試劑或採用純度大於99.9%的基準物

5.某鐵礦石中含鐵39.16%,若甲分析結果為39.12%,39.15%和39.18%,乙分析得39.19%,39.24%,39.28%, 試比較甲乙兩人分析結果的准確度和精密度.
解:

同理可知:
; ;
由以上數據可知甲的准確度和精密度較乙的要高。

習題
3.某礦石中鎢的質量分數(%)測定結果為:20.39,20.41,20.43.計算標准偏差s及置信度為95%時的置信區間.
解:

查表知:置信度為95%,n=3時,t=4.303,因此:
μ=（

5. 用Q檢驗法,判斷下列數據中,有無捨去?置信度選為90%.
(2) 6.400, 6.416, 6.222, 6.408
解:排列:6.222<6.400<6.408<6.416
可疑值為:6.222

查表n=4, Q0.90= 0.76
因Q計算>Q0.90故6.222應捨去

6. 測定試樣中P2O5質量分數（%），數據如下：
8.44，8.32，8.45，8.52，8..69，8.38
用Grubbs法及Q檢驗法對可疑數據決定取捨，求平均值、平均偏差 、標准偏差s和置信度選90%及99%的平均值的置信范圍。

解：將所給的數據由小到大排列得：8.32＜8.38＜8.44＜8.45＜8.52＜8.69
可見，數據8.69可疑
又因為，平均值 =8.47% 平均偏差 =0.095%
標准偏差s= %=0.13%
所以， = =1.69 = =0.46
由表2-2，2-4可得：
當置信度為90%，n=6時，t=2.015， ＜ ，
當置信度為99%，n=6時，t=4.032， ＜ ， ＜
所以，8.69不需捨去。
當置信度為90%時，置信范圍 = =8.47% =8.47% 0.11%
當置信度為99%時，置信范圍 = =8.47% =8.47% 0.21%

11、按有效數字運算規則，計算下列各式。
1) 2.187*0.854+9.6*10-5-0.0326*0.00814
解：原式求得=1.86752 修約可得原式=1.868（一步步寫出！）
2) 51.38/（8.709*0.09460）
解：=51.38/0.8239=62.36
3) 9.827*50.62/（0.005164*136.6）
解：=497.4/0.7054=705.1
4）
解：=？？（一步步寫出！） *10-5=1.7*10-5

P41 第三章 滴定分析

1、已知濃硝酸的相對密度1.42,其中含HNO3約為70%,求其濃度.如欲配製1L 0.25mol·L-1HNO3溶液, 應取這種濃硝酸多少毫升?
解：

4.假如有一鄰苯二甲酸氫鉀試樣, 其中鄰苯二甲酸氫鉀含量約為90%, 餘下為不與鹼作用的雜質。今用酸鹼滴定法測定其含量,若採用濃度為1.000mol·L-1的NaOH標准溶液滴定之,欲控制滴定時鹼溶液體積在25mL左右,則:
(1)需稱取上述試樣多少克?
(2)以濃度為0.0100mol·L-1的鹼溶液代替1.000mol·L-1的鹼溶液滴定,重復上述計算.
(3)通過上述(1)(2)計算結果,說明為什麼在滴定分析中通常採用的滴定劑濃度為0.1~0.2mol·L-1?
解：滴定反應式為：KHC8H4O4+OH-=KC8H4O4-+H2O
∴ nNaOH=nKHC8H4O4
（1）mKHC8H4O4=nKHC8H4O4·MKHC8H4O4/ω=nNaOH·MKHC8H4O4/ω
=1.000mol·L-1*25mL*204.22g·mol-1/90%
=5.7g
（2）m2=cNaOH·VNaOH·MKHC8H4O4/ω
=0.0100mol·L-1*25mL*10-3*204.22g·mol-1/90%
=0.057g
（3）通過以上計算說明如果滴定劑濃度在0.1~0.2mol·L-1，稱取的試樣量≥0.2 g, 可以減少稱量誤差，提高測定的准確度。

8、計算0.01135mol·L-1HCl溶液對CaO的滴定度.
解：此反應為：2HCl+CaO=CaCl2+H2O

9、已知高錳酸鉀溶液的濃度為TCaCO3/KMnO4=0.005005g·mL-1,求此高錳酸鉀溶液 的濃度及它對鐵的滴定度.
解: 用KMnO4法滴定CaCO3經過以下幾個反應:
CaCO3+H2C2O4=CaC2O4+H2O+CO2
CaC2O4+H+=Ca2++HC2O4-
5C2O4-+2MnO4-+16H+=2c+10CO2+8H2O
所以:nCa=5/2*nKMnO4

5Fe2++MnO4-+8H+=5Fe3++4H2O+Mn2+
nFe=5nKMnO4

12、分析不純CaCO3（其中不含干擾物質）時，稱取試樣0.3000g，加入濃度為0.2500mol/L的HCl標准溶液25.00mL。煮沸除去CO2，用濃度為0.2012mol/L的NaOH溶液返滴過量酸，消耗了5.84mL。計算試樣CaCO3的質量分數。
解： HCl+NaOH=NaCl+H2O
VHCl=CNaOHVNaOH/CHCl=(0.2012mol/L×5.84mL)/0.2500mol/L =4.70mL
故與CaCO3反應消耗的為（25.00－4.70）mL
CaCO3+2HCl=CaCl+CO2↑+H2O
nCaCO3=1/2 nHCl
WCaCO3 = nCaCO3*MCaCO3/ms=1/2(nHClMCaCO3/ms)
= 1/2(CHClVHClMCaCO3/ms)
= 1/2×0.2500mol/L×0.00203L×100g/mol÷0.3g×100%
= 84.58%

P62 第四章 酸鹼滴定法
思考題4-1
7.寫出下列物質在水溶液中的質子條件：
（1）NH3 （2）NaHCO3 （3）Na2CO3
解：（1）[H+]+[NH4+]=[OH-]
（2）[H+]+[H2CO3]=[OH-]+[CO32-]
（3）[H+]+[HCO32-]+2[H2CO3]=[OH-]

8. 寫出下列物質在水溶液中的質子條件：
（1）NH4HCO3 （2）（NH4）2HPO4 （3）NH4H2PO4
解：（1）[H+]+[H2CO3]=[CO32-]+[NH3]+[OH-]
（2）[H+]+[H2PO4-]+2[H3PO4]=[OH-]+[PO43-]+[NH3]
（3）[H+]+[H3PO4]=[OH-]+[HPO42-]+[NH3]+2[PO43-]

P63 習題4-1
3.已知琥珀酸（CH2COOH）2(以H2A表示)的pKa1=4.19， pKa2=5.57，試計算在pH 4.88和5.0時H2A、HA—和A2-的分布系數為d1、d2和d0，若該酸的總濃度為0.01mol·L-1pH=4.88時的三種形式的平衡濃度。
解：當pH=4.88時
d2=[H+]2/([H+]2+K a1[H+]+ Ka1·Ka2 )
=(10-4.88 )2/[(10-4.88 )2+10-4.19×10-4.88＋10-4.19 x10-5.57]
=0.145
∴[H2A]= d2·C=0.145×0.01 mol·L-1 =1.45×10-3 mol·L-1
d1 = Ka1[H+]/([H+]2+Ka1[H+]+ Ka1·Ka2 )
=(10-4.19×10-4.88)/ [(10-4.88 )2+10-4.19 ×10-4.88 ＋10-4.19 x10-5.57]
=0.710
∴[HA—]= d1·C=0.710×0.01 mol·L-1 = 7.10×10-3 mol·L-1
d0 = (Ka1·Ka2)/([H +]2+K a1[H+]+ Ka1·Ka2 )
=(10-4.19 x10-5.57)/ [(10-4.88 )2+10-4.19 ×10-4.88 ＋10-4.19 x10-5.57]
=0.145
∴[A2-]=d0·C=0.145×0.01 mol·L-1 =1.45×10-3 mol·L-1
當pH=5.0時，同理可得：
d2=0.109 d1=0.702 d0=0.189

5、已知HAc的pKa=4.74,NH3·H2O的pKb=4.74。試計算下列各溶液的pH:
（3）0.15 溶液， (4)0.15 NaAc溶液
解：(3)對於0.15 溶液，pKa=14-4.74=9.26
CKa= >>10Kw，c/Ka=0.15/ >>105
所以採用最簡式計算：[ ]= =
故pH=-lg[ ]=5.04
(4)對於0.15 NaOAc溶液，pKb=pKw-pKa=14-4.74=9.26
CKa= >>10Kw，c/Ka=0.15/ >>105
所以採用最簡式計算：[ ]= = =
故[ ]= = ,pH=-lg[ ]=8.96

8.計算下列溶液的pH：（1）0.1mol/LNaH PO (2) 對於0.1mol/LNaH PO 溶液
解：查表得H PO 的pK =2.12, pK =7.20, pK =12.36
NaH PO 和 K HPO 屬兩性物質，其酸性和鹼性都比較弱，
可為平衡濃度和總濃度相等。
（1） 對於0.1mol/LNaH PO 溶液
c K =0.1Î10 》10K ，c/K =0.1/10 =13.18＞10
所以〔H 〕= × = × =2.188×10 mol/L
pH=4.66
（2） 對於0.1mol/LNaH PO 溶液
c K =0.05×10 =2.18×10 ≈K , c/ K =0.05/10 》10
所以H O離解的〔H 〕項不可忽略，即K 不能忽略。
〔H 〕= =2.00×10
pH=9.70

14、欲配製pH=10.0的緩沖溶液1L。用了16.0mol/L氨水420mL需加NH4Cl多小克?
解: 查表得:NH3的PKb=4.74;Cb=6.72mol/L
[OH-]=（Cb/Ca）·Ka=6.72/Ca·10-4.74=10-4
Ca=1.22 mol/L
所以m(NH4Cl)= Ca·V·m=1.22 ×1×35 =65.4g
因為Ca>>[H+]- [OH-] Cb>>[OH-]-[H+]
所以採用最簡式計算是允許的.
答:需加65.4g NH4CL固體。

15、欲配製500 mL pH=5.0的緩沖溶液，用了6 mol/L HAc 34 mL，需要NaAc·3H2O多少克？
解：查表知HAc的pKa=1.8×10-5
pH=5.0即[H+]=10-5 mol/L
c（HAc）= =0.41 mol/L
∵Ka=
∴[Ac-]= = =0.74 mol/L
∴mNaAc·3H2O=136.1×0.74×1.5 =50.5 g

P84 第四章 酸鹼滴定法
習題4-2
1、用0.01000 mol·L-1 HNO3溶液滴定20.00mL 0.01000 mol·L-1 NaOH 溶液時，化學計量點pH為多少？化學計量點附近的滴定突躍為多少？應選用何種指示劑指示終點？
解：由題目已知C(HNO3)=0.01000 mol·L-1 C(NaOH)= 0.01000 mol·L-1
化學計量點時NaOH全部中和,pH=7.00,滴定突躍是化學計量點前後0.1%范圍內pH的急劇變化
故滴定突躍前,加入HNO3溶液19.98mL此時溶液中OH-的濃度為
C(OH-)= 10-6
pH=8.70
滴定突躍後,加入HNO3溶液19.98mL此時溶液中H+的濃度為
[H+]= = 10-6 pH=5.30
所以滴定突躍的pH值范圍為8.70~5.30,應選擇在此范圍內變色的指示劑，如溴百里酚藍,中性紅等

2、某弱酸的pKa＝9.21，現有其共軛鹼NaA溶液20.00 mL，濃度為0.1000 ，當用0.01000 HCl溶液滴定時，化學計量點的pH為多少？化學計量點附近的滴定突躍為多少？應選用何種指示劑指示終點？
解：酸的pKa=9.21,則Ka=6.2 10-10 Kb=Kw/Ka=1.6 10-5 CKb=1.6 10-6>10-8能滴定
化學計量點時生成HA[H+]= pH=-1/2lg3.13 10-11=5.26
化學計量點附近的滴定突躍,滴定劑鹽酸的量為19.98mL時,溶液中有生成的HA和剩餘的NaA組成緩沖溶液
C(HA)= C(NaA)=
pH=pKa - lg(CHA / CNaA)=9.21 - 3.0 = 6.21
當過量0.02mL時
[H+]= =4.99 10-5
pH=4.30,突躍范圍為6.21~4.30,應選甲基紅

P97 思考題4-3
3、標定NaOH 溶液時，若採用：
（1）部分風化的H2C2O4·2H2O
（2）含有少量中性雜質的H2C2O4·2H2O
則標定所得濃度偏高,偏低還是准確?為什麼?
解: （1）因為H2C2O4·2H2O部分風化,滴定時VNaOH會偏高
根據C(NaOH)=
所以標定所得濃度偏低
（2）因為H2C2O4·2H2O中含有少量中性雜質,滴定時VNaOH會偏低
根據C(NaOH)=
所以標定所得濃度偏高

4 用下列物質標定HCl溶液濃度:
(1)在110℃烘過的Na2CO3
(2)相對濕度為30%的容器中保存的硼砂
解: (1)無水Na2CO3易吸收空氣中的水分,應在270～300℃乾燥,而在110℃烘過的Na2CO3還有水分

根據 C(HCl)=
所以標定所得濃度偏低

(2)因為硼砂含有結晶水,在空氣中相對濕度小於39%時,會風化失水
在相對濕度為30%的容器中保存過的硼砂
根據 C(HCl)=
所以標定所得濃度偏低

6 、今欲分別測定下列混合物中的各個組分,試擬出測定方案(包括主要步驟,標准溶液,指示劑和含量計算式,以g/mL表示)
(1)H3BO3+硼砂 (2) HCl+NH4Cl
解:(1) ①取VmL H3BO3+ Na2B4O7 的混合液於250mL的錐形瓶中並加入1~2滴甲基紅指示劑
②以0.10 HCl標准溶液滴定至溶液由紅色變為黃色為第一終點,記下讀數V1
③再往混合液中加入甘油,並加入1~2滴酚酞指示劑, 以0.10 NaOH標准溶液滴定至溶液由無色變為微紅色為第二終點,記下讀數V2
2H+ + B4O7 + 5H2O = 4 H3BO3
ρNa2B4O7 (g/mL)=

ρH3BO3 (g/mL)=
(2)①取VmLHCl+NH4Cl的混合液於250mL的錐形瓶中並加入1~2滴甲基紅指示劑
②以0.10 NaOH標准溶液滴定至溶液由紅色變為黃色為第一終點,記下讀數V1
③再往混合液中加入甲醛,並加入1~2滴酚酞指示劑,以0.10 NaOH標准溶液滴定至溶液由無色變為微紅色為第一終點,記下讀數V2
ρHCl(g/mL)=
ρNH4Cl (g/mL)=

習題4-3
15 、稱取混合鹼試樣0.9476g,加酚酞指示劑,用0.2785 mol·L-1 HCl溶液滴定至終點,計耗去酸溶液34.12mL,再加甲基橙指示劑,滴定至終點,又耗去酸23.66mL,求試樣中各組分的質量分數
解:涉及的反應有:以酚酞為指示劑時,
OH- + H+ =H2O
CO32- + H+ = HCO3-
以甲基紅為指示劑時 ,
HCO3- + H+ = CO2 + H2O
據題意可知, 以酚酞為指示劑時消耗的鹽酸體積少於以甲基紅為指示劑消耗的鹽酸體積,故混合鹼的成分為NaCO3和NaOH
ω(NaOH)=
ω(NaCO3)=
16 、稱取混合鹼試樣0.6524g,以酚酞為指示劑,用0.1992mol·L-1 HCl標准溶液滴定至終點,用去酸溶液21.76mL,再加甲基橙指示劑,滴定至終點, 又耗去酸27.15mL,求試樣中各組分的質量分數
解:由於以甲基紅為指示劑時消耗的鹽酸體積大於以酚酞為指示劑時消耗的鹽酸體積即V1=21.76mL<V2=27.15mL
所以混合鹼的組分為NaCO3和NaHCO3
ω(NaCO3)=
ω(NaHCO3)=
22 、稱取硅酸鹽試樣0.1000g,經熔融分解,沉澱K2SiF6,然後過濾,洗凈,水解產生的HF用0.1477mol·L-1 NaOH標准溶液滴定,以酚酞作指示劑,耗去標准溶液24.72mL,計算試樣中SiO2的質量分數
解:因為SiO2與NaOH反應時物質的量之比為1:4,產生HF的物質的量為n=0.1477
則n(K2SiF6)=1/4 (
SiO2的質量為m=n1 60=0.05477g
ω(SiO2)=

25 、阿司匹林即乙醯水楊酸,其含量可用酸鹼滴定法測定稱取試樣0.2500g,准確加入50.00mL 0.1020mol·L-1 NaOH溶液,煮沸,冷卻後,再以CH2SO4=0.05264mol·L-1的H2SO4溶液23.75mL回滴過量的NaOH, 以酚酞為指示終點,求試樣中乙醯水楊酸的質量分數
解:根據反應式可知n(阿司匹林):n(NaOH)=1:2 C(NaOH):C(H2SO4)=2:1,回滴NaOH用去H2SO4的物質的量為n(H2SO4)=0.05264 23.75 10-3=1.25 10-3
加入的NaOH的總物質的量為
n(NaOH)=0.05000 0.1020=5.10 10-3
ω =

P129 第五章 配位滴定法
習題
1 、 計算pH=5.0時EDTA的酸效應系數αY(H),若此時EDTA各種存在形式的總濃度為0.0200mol·L-1,則[Y4-]為多少?
解:當pH=5.0時,查表得lgαY(H)=6.45
αY(H)=106.45=2.82 106
根據公式αY(H)= 可知:[Y4-]= 10-9

2 、 PH=5.0時,鋅和EDTA配合物的條件穩定常數是多少?假設Zn2+和EDTA 的濃度皆為10-2mol·L-1 (不考慮羥基配位等副反應),pH=5時,能否用EDTA 標准溶液滴定Zn2+?
解: 當pH=5.0時,查表得lgαY(H)=6.45 =16.50
K(ZnY`)= = =1010.05
由於配位滴定法測定單一金屬離子的條件為:lgC ≥6
lgC =8.05>6
故可用EDTA標准溶液滴定Zn2+

3、 假設Mg2+和EDTA的濃度皆為10-2mol/L，在PH=6時，鎂與EDTA配合物條件穩定常數是多少（不考慮羥基配位等副反應）？並說明在此PH條件下能否用EDTA標准溶液滴定Mg2+，如不能滴定，求其允許的最小pH。
解: 當pH=5.0時,查表得αY(H)=4.65
lgK`MgY= lgKMgY- lgαY(H)=8.69-4.65=4.04 K`MgY=104.04
lgCK`MgY=2.04<6,在此pH條件下不能用EDTA滴定Mg2+

5、計算用0.0200mol·L-1EDTA標准溶液滴定同濃度的Cu2+離子溶液時的適宜酸度范圍
解:由 lgαY(H) ≤lgC+lgKMY-6 lgK Cu2+=18.80可得:
lgαY(H) ≤10.80 允許的最小酸度為:pH≥3.0
當pH過大時會產生Cu(OH)2沉澱,沉澱產生需要的[OH-]= = 10-10
pOH=8.98 pH=5.02
所以,滴定銅離子的適宜酸度范圍是3.0～5.02

10、分析含銅、鋅、鎂合金時，稱取0.5000g試樣，溶解後用容量瓶配成100mL試液。吸取25.00mL,調至pH=6，用PAN作指示劑，用0.05000 mol·L-1EDTA標准溶液滴定銅和鋅，用去37.30mL。另外又吸取25.00mL試液，調至pH=10，加KSCN以掩蔽銅和鋅，用同濃度的EDTA溶液滴定Mg2+，用去4.10mL，然後再滴加甲醛以解蔽鋅，又用同濃度的EDTA溶液滴定，用去13.40mL，計算試樣中銅、鋅、鎂的質量分數。
解:根據題意可得:25mL合金溶液中含銅和鋅的物質的量為:0.05000 37.30/1000=0.001865
25mL合金溶液中含鎂的物質的量為: 0.05000 4.10/1000=0.000205
25mL合金溶液中含鋅的物質的量為:0.05000 13.40/1000=0.00067
25mL合金溶液中含銅的物質的量為: 0.001865 -0.00067=0.001195
ω(Cu)=

ω(Zn)=
ω(Mg)=
11、稱取含Fe2O3和Al2O3試樣0.2015g，溶解後，在pH=2.0時以磺基水楊酸為指示劑，加熱至50℃左右，以0.02008 mol·L-1的EDTA滴定至紅色消失，消耗EDTA標准溶液15.20mL，然後加入上述EDTA標准溶液25.00mL，加熱煮沸，調節pH=4.5，以PAN為指示劑，趁熱用0.02112 mol·L-1Cu2+標准溶液返滴定，用去8.16mL，計算試樣中Fe2O3和Al2O3的質量分數
解:pH=2.0時,以磺基水楊酸為指示劑,測定的是Fe3+,根據消耗EDTA的量可得Fe2O3的質量分數為:
所以試樣中三氧化鋁的質量分數為:
=8.35%

P171 第六章 氧化還原滴定法
習題
5、計算pH=10.0，C（NH3）=0.1 mol·L-1的溶液中Zn2+/Zn電對的條件電極電位（忽略離子強度的影響）。已知鋅氨配離子的各級累積穩定常數為：
lgβ1=2.27 ， lgβ2=4.61 lgβ3=7.01 lgβ4=9.06 ，NH4+離解常數為Ka=10-9.25
解:據題意可知:Zn2+ + 4NH3 = [Zn(NH3)4]2+ NH3×H2O = NH4+ + OH-
在pH=10.0時,氨溶液中NH3的分布系數為δ=
故C`(NH3)= 0.085mol·L-1 α([Zn(NH3)4]2+)=6.65 104
E[Zn(NH3)4]2+/Zn = Eθ+0.059v/2lg[Zn2+]/[Zn][ [Zn(NH3)4]2+] = 0.903v

13、稱取銅礦試樣0.6000g，用酸溶解後，控制溶液的pH為3~4，用20.00mLNa2S2O3溶液滴定至終點。1mL Na2S2O3溶液∝0.004175gKBrO3.計算Na2S2O3溶液的准確濃度及試樣中Cu2O的質量分數
解:據題意可知: BrO3-～3I2～6S2O32- C(Na2S2O3)=0.1500 mol·L-1
Cu2O～2Cu～I2 ～ 2S2O32-
n(Cu2O)=0.001500mol
ω(Cu2O)=

25、甲酸鈉（HCOONa）和KMnO4在中性介質中按下述反應式反應：
3HCOO- +2 MnO4- +H2O = 2MnO2↓+3CO2↑+5OH-
稱取HCOONa試樣0.5000g，溶於水後，在中性介質中加入過量的0.06000 mol·L-1 KMnO4溶液50.00mL，過濾除去MnO2沉澱，以H2SO4酸化溶液後，用0.1000 mol·L-1H2C2O4溶液滴定過量的KMnO4至終點，消耗25.00mL，計算試樣中HCOONa的質量分數
解: 3HCOO- +2 MnO4- +H2O = 2MnO2↓+3CO2↑+5OH-
5 C2O42- ～ 2 MnO4- ～ 3HCOO-
n(HCOONa)=0.003000mol
ω(HCOONa)=

P198 第七章 重量分析法和沉澱滴定法

習題
2、求氟化鈣的溶解度
（1）在純水中（忽略水解）
（2）在0.01 mol·L-1CaCl2溶液中
（3）在0.01mol·L-1HCl溶液中

解: Ksp = 3.4 10-11
（1）Ksp =[Ca2+][F-]2 = S×(2S )2
S0= 10-4
（2）Ksp =[Ca2+][F-]2 = S×(2S)2
S0= 10-5
（3）αF-(H) =29.6
Ksp` =[Ca2+][F-]`2=[Ca2+][F-]2[αF-(H)]2=4S`3
S0= 10-3 mol·L-1
3、計算pH=5.0，草酸總濃度為0.05 mol·L-1時，草酸鈣的溶解度。如果溶液的體積為300mL，將溶解多少克CaC2O4？
解: H2C2O4=的Ka1=5.9 10-2 Ka2=6.4 10-5 Ksp, CaC2O4=1.78 10-9
設草酸鈣的溶解度為S ,則[Ca2+]=S ,由於酸效應的存在,有
[C2O42-]=0.05/αC2O4(H)
Ksp, CaC2O4=[Ca2+][C2O42-]=S (0.05/αC2O4(H))=1.78 10-9
S=4.1 10-8 mol·L-1
溶解草酸鈣的質量為
4.1 10-8 mol·L-1 300 128.10g/mol=1.6 10-6g

6、計算下列換算因數
（1） 從Mg2P2O7的質量分數計算MgSO4·7H2O的質量
（2） 從（NH4）3PO4·12MoO3的質量計算P和P2O5的質量
（3） 從Cu（C2H3O2）2·3Cu(AsO2)2的質量計算As2O3和CuO的質量
（4） 從丁二酮肟鎳Ni（C4H8N2O2）2的質量計算Ni的質量
（5） 從8-羥基喹啉鋁（C9H6NO）3Al的質量計算Al2O3的質量
解:(1)F=2 M MgSO4·7H2O/M Mg2P2O7=2.21
(2) F=MP/M（NH4）3PO4·12MoO3=0.0165
F=M P2O5/2（NH4）3PO4·12MoO3=0.0378
(3)F=3M As2O3/M Cu（C2H3O2）2·3Cu(AsO2)2=0.571
F=4MCuO/ M Cu（C2H3O2）2·3Cu(AsO2)2=0.314
(4)F=MNi/M Ni（C4H8N2O2）2=0.202
(5)F=M Al2O3/2M（C9H6NO）3Al=0.111

P268 第九章 吸光光度法
習題
1、0. 088mgFe3+，用硫氰酸鹽顯色後，在容量瓶中用水稀釋到50mL用1cm比色皿，在波長480nm處測得A=0.740。求吸收系數a及κ
解:根據朗伯-比爾定律 A=abc
即0.740=a 1
解得 a= 4.2 102 L/g×cm
κ=Ma= 56 4.2 102=2.35 104 L/mol×cm

2、用雙硫腙光度法測定Pb2+，Pb2+的濃度為0.08mg/50mL，用2cm比色皿在520nm下測得T=53%，求κ
解: A = -ln T=abc
-ln 0.53=a 2
a=86.25 L/g×cm
κ=Ma= 207.2 86.25=1.8 104 L/mol×cm

3、用磺基水楊酸法測定微量鐵，標准溶液是由0.2160g NH4Fe（SO4）2·12H2O溶於水中稀釋至500mL配製成的。根據下列數據，繪制標准曲線。
標准鐵溶液的體積V/mL 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
吸光度 0.0 0.165 0.320 0.480 0.630 0.790
某試液5.00mL，稀釋至250mL。取此稀釋液2.00mL，與繪制標准曲線相同條件下顯色和測定吸光度，測得A=0.500。求試液鐵含量（單位：mg·mL-1），鐵銨礬的相對分子質量為482.178。
解: 鐵標准溶液的濃度為;
C(Fe)=

V/mL 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
mFe/mg 0.0 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500
A 0.0 0.165 0.320 0.480 0.630 0.790

故直線方程為:m=0.636A-0.00269
把A=0.500代入得:m=0.315mg
C(Fe)=

4、取鋼試樣1.00g，溶解於酸中，將其中錳氧化成高錳酸鹽，准確配製成250mL，測得其吸光度為1.00×10-3 mol·L-1 KMnO4溶液的吸光度的1.5倍。計算鋼中錳的百分含量
解:錳的相對原子質量為54.94g/mol
根據朗伯-比爾定律可知,濃度與吸光度成正比,所以試樣中KMnO4溶液的濃度為1.00×10-3×1.5mol/L
ω(Mn)=

5、用普通光度法測定銅，在相同條件下測得1.00×10-2 mol·L-1標准銅液和含銅試液的吸光度分別為0.699和1.00。如光度計透光度讀數的相對誤差為±0.5%，測試液濃度測定的相對誤差為多少？如採用示差法測定，用銅標准液作參比液，測試液的吸光度為多少？濃度測定的相對誤差為多少？兩種測定方法中標准溶液與試液的透光度各差多少？示差法使讀數標尺放大了多少倍？
解:使用直接光度法:試液的透光度為10%,標准溶液的透光度為20%.透光度的讀數誤差為±0.5%;示差法透光度的讀數放大5倍,即標樣和試液的透光度分別為100%和50%.
直接光度法測試液的相對誤差為

使用示差法測量標准溶液用參比溶液,試液的透光度為:A=1.00-0.699=0.301

示差法測定的相對誤差為

6、某含鐵約0.2%的試樣，用鄰二氮雜菲亞鐵法（κ=1.1×10-4）測定。試樣溶解後稀釋至100mL，用1.00cm比色皿，在508nm波長下測定。（1）為使吸光度測量引起的濃度相對誤差最小，應當稱取試樣多少克？（2）如果所使用的光度計透光度最適宜讀數范圍為0.200至0.650，測定溶液應控制的含鐵的濃度范圍為多少？
解:（1）A=0.434 ,即T=0.368時,測得誤差最小.根據公式A=κbc,計算測量誤差最小時應稱取的試樣質量:
0.430=κ=1.1×10-4 L/mol×cm×1cm×
m=0.11g
(2)透光率在0.200～0.650范圍內,即A在0.699～0.187范圍內,對應Fe的濃度為C1和C2
C1= 0-5 mol·L-1
C2= 0-5 mol·L-1
所以試樣中鐵的濃度應在1.7×10-5～6.35×10-5范圍內

❸ 求數值計算方法 第三版 李有法 朱建新 課後答案

數值計算方法如下：

1、有限元法：有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式。

藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數 形式，便構成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元 上的近似解構成。

根據所採用的權函數和插值函數的不同 ，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。

2、多重網格方法：多重網格方法通過在疏密不同的網格層上進行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量。具有收斂速度快,精度高等優點。

多重網格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動快的高頻分量。

一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減，但對那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的，與網格尺度有關，在細網格上被視為低頻的分量，在粗網格上可能為高頻分量。

多重網格方法作為一種快速計算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以後組成的代數方程組，其基本原理在於一定的網格最容易消除波長與網格步長相對應的誤差分量。

該方法採用不同尺度的網格，不同疏密的網格消除不同波長的誤差分量，首先在細網格上採用迭代法，當收斂速度變緩慢時暗示誤差已經光滑，則轉移到較粗的網格上消除與該層網格上相對應的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細網格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。

有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：

一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

4、有限體積法：有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。

為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。

有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控 制體積中的守恆原理一樣。

限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆。

而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。

有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。

在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程 中不同的項採取不同的插值函數。

5、近似求解的誤差估計方法：近似求解的誤差估計方法共有三大類:單元餘量法,通量投射法及外推法。

單元餘量法廣泛地用於以FEM離散的誤差估計之中,它主要是估計精確運算元的餘量,而不是整套控制方程的全局誤差。

這樣就必須假定周圍的單元誤差並不相互耦合,誤差計算採用逐節點演算法進行。單元餘量法的各種不同做法主要來自對單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法。基於此,該方法能夠有效處理局部的殘餘量,並能成功地用於網格優化程序。

通量投射法的基本原理來自一個很簡單的事實:精確求解偏微分方程不可能有不連續的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續,這樣產生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統的光滑求解與不光滑求解之差。該方法與單元餘量法一樣,對節點誤差採用能量范數,故也能成功地用於網格優化程序。

單元餘量法及通量投射法都局限於局部的誤差計算(採用能量范數),誤差方程的全局特性沒有考慮。另外計算的可行性(指誤差估計方程的計算時間應小於近似求解計算時間)不能在這兩種方法中體現,因為獲得的誤差方程數量,階數與流場控制方程相同。

外推是指採用後向數值誤差估計思想由精確解推出近似解的誤差值。各類文獻中較多地採用Richardson外推方法來估計截斷誤差。無論是低階還是高階格式,隨著網格的加密數值計算結果都會趨近於准確解。但由於計算機內存與計算時間的限制,實際上不能採用這種網格無限加密的辦法。

6、多尺度計算方法：近年來發展的多尺度計算方法包括均勻化方法、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。

該方法通過對單胞問題的求解，把細觀尺度的信息映射到宏觀尺度上，從而推導出宏觀尺度上的均勻化等式，即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學和工程應用中取得了巨大成功，但這種方法建立在系數細觀結構周期性假設的基礎上，因此應用范圍受到了很大限制。

鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法，是構造多尺度計算方法的一般框架。該方法有兩個重要的組成部分：基於宏觀變數的整體宏觀格式和由微觀模型來估計缺少的宏觀數據，多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

該方法基於多分辨分析，在細尺度上建立原方程的離散運算元，然後對離散運算元進行小波變換，得到了大尺度上的數值均勻化運算元。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計算時間。

該法在宏觀尺度上進行網格剖分，然後通過在每個單元里求解細觀尺度的方程(構造線性或者振盪的邊界條件)來獲得基函數。從而把細觀尺度的信息反應到有限元法的基函數里，使宏觀尺度的解包含了細觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構造基函數時需要較大的計算量。

藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數 形式，便構成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元 上的近似解構成。

根據所採用的權函數和插值函數的不同 ，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。

2、多重網格方法：多重網格方法通過在疏密不同的網格層上進行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量。具有收斂速度快,精度高等優點。

多重網格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動快的高頻分量。

一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減，但對那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的，與網格尺度有關，在細網格上被視為低頻的分量，在粗網格上可能為高頻分量。

多重網格方法作為一種快速計算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以後組成的代數方程組，其基本原理在於一定的網格最容易消除波長與網格步長相對應的誤差分量。

該方法採用不同尺度的網格，不同疏密的網格消除不同波長的誤差分量，首先在細網格上採用迭代法，當收斂速度變緩慢時暗示誤差已經光滑，則轉移到較粗的網格上消除與該層網格上相對應的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細網格上。

3、有限差分方法：有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。

有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：

一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

4、有限體積法：有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。

為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。

有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控 制體積中的守恆原理一樣。

限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆。

而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。

有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。

在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程 中不同的項採取不同的插值函數。

5、近似求解的誤差估計方法：近似求解的誤差估計方法共有三大類:單元餘量法,通量投射法及外推法。

單元餘量法廣泛地用於以FEM離散的誤差估計之中,它主要是估計精確運算元的餘量,而不是整套控制方程的全局誤差。

這樣就必須假定周圍的單元誤差並不相互耦合,誤差計算採用逐節點演算法進行。單元餘量法的各種不同做法主要來自對單元誤差方程的邊界條件的不同處理辦法。基於此,該方法能夠有效處理局部的殘餘量,並能成功地用於網格優化程序。

通量投射法的基本原理來自一個很簡單的事實:精確求解偏微分方程不可能有不連續的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續,這樣產生的誤差即來自微分本身,即誤差為系統的光滑求解與不光滑求解之差。該方法與單元餘量法一樣,對節點誤差採用能量范數,故也能成功地用於網格優化程序。

單元餘量法及通量投射法都局限於局部的誤差計算(採用能量范數),誤差方程的全局特性沒有考慮。另外計算的可行性(指誤差估計方程的計算時間應小於近似求解計算時間)不能在這兩種方法中體現,因為獲得的誤差方程數量,階數與流場控制方程相同。

外推是指採用後向數值誤差估計思想由精確解推出近似解的誤差值。各類文獻中較多地採用Richardson外推方法來估計截斷誤差。無論是低階還是高階格式,隨著網格的加密數值計算結果都會趨近於准確解。但由於計算機內存與計算時間的限制,實際上不能採用這種網格無限加密的辦法。

6、多尺度計算方法：近年來發展的多尺度計算方法包括均勻化方法、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。

該方法通過對單胞問題的求解，把細觀尺度的信息映射到宏觀尺度上，從而推導出宏觀尺度上的均勻化等式，即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學和工程應用中取得了巨大成功，但這種方法建立在系數細觀結構周期性假設的基礎上，因此應用范圍受到了很大限制。

鄂維南等提出的非均勻化多尺度方法，是構造多尺度計算方法的一般框架。該方法有兩個重要的組成部分：基於宏觀變數的整體宏觀格式和由微觀模型來估計缺少的宏觀數據，多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。

該方法基於多分辨分析，在細尺度上建立原方程的離散運算元，然後對離散運算元進行小波變換，得到了大尺度上的數值均勻化運算元。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計算時間。

該法在宏觀尺度上進行網格剖分，然後通過在每個單元里求解細觀尺度的方程(構造線性或者振盪的邊界條件)來獲得基函數。從而把細觀尺度的信息反應到有限元法的基函數里，使宏觀尺度的解包含了細觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構造基函數時需要較大的計算量。

❹ 誰有華南理工大學概率論與數理統計課後習題答案詳解

本書是華南理工大學出版社出版的《概率論與數理統計》教材的補充與延伸。編者們結合多年來對該課程的教學實踐經驗編寫了這本輔導書，目的在於從解答概率與數理統計習題的思路及方法上給讀者以指導和幫助，以彌補教材因篇幅所限，以致有些概念及技巧不便於詳細敘述的不足，從而提高學生應用概率與數理統計的知識解決各種實際問題的能力。本書可作為學生學習概率論與數理統計課程的指導書，也可作為概率論與數理統計課程自學者的輔導參考書。

❺ 求《工程力學》（武漢理工大學出版社） 李卓球 朱四榮主編的課後答案！

不知道是不是這個
《工程力學》
習題選解
力學教研室
編著
2006年11 月

1-1試畫出以下各題中圓柱或圓盤的受力圖。與其它物體接觸處的摩擦力均略去。

解：

1-2 試畫出以下各題中AB桿的受力圖。

解：

1-3 試畫出以下各題中AB梁的受力圖。

解：

1-4 試畫出以下各題中指定物體的受力圖。
(a) 拱ABCD；(b) 半拱AB部分；(c) 踏板AB；(d) 杠桿AB；(e) 方板ABCD；(f) 節點B。

解：

1-5 試畫出以下各題中指定物體的受力圖。
(a) 結點A，結點B；(b) 圓柱A和B及整體；(c) 半拱AB，半拱BC及整體；(d) 杠桿AB，切刀CEF及整體；(e) 秤桿AB，秤盤架BCD及整體。

解：(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

2-2 桿AC、BC在C處鉸接，另一端均與牆面鉸接，如圖所示，F1和F2作用在銷釘C上，F1=445 N，F2=535 N，不計桿重，試求兩桿所受的力。

解：(1) 取節點C為研究對象，畫受力圖，注意AC、BC都為二力桿，

(2) 列平衡方程：

AC與BC兩桿均受拉。
2-3 水平力F作用在剛架的B點，如圖所示。如不計剛架重量，試求支座A和D 處的約束力。

解：(1) 取整體ABCD為研究對象，受力分析如圖，畫封閉的力三角形：

(2) 由力三角形得

2-4 在簡支梁AB的中點C作用一個傾斜45o的力F，力的大小等於20KN，如圖所示。若梁的自重不計，試求兩支座的約束力。

解：(1) 研究AB，受力分析並畫受力圖：

(2) 畫封閉的力三角形：

相似關系：

幾何尺寸：

求出約束反力：

2-6 如圖所示結構由兩彎桿ABC和DE構成。構件重量不計，圖中的長度單位為cm。已知F=200 N，試求支座A和E的約束力。

解：(1) 取DE為研究對象，DE為二力桿；FD = FE

(2) 取ABC為研究對象，受力分析並畫受力圖；畫封閉的力三角形：

2-7 在四連桿機構ABCD的鉸鏈B和C上分別作用有力F1和F2，機構在圖示位置平衡。試求平衡時力F1和F2的大小之間的關系。

解：（1）取鉸鏈B為研究對象，AB、BC均為二力桿，畫受力圖和封閉力三角形；

(2) 取鉸鏈C為研究對象，BC、CD均為二力桿，畫受力圖和封閉力三角形；

由前二式可得：

2-9 三根不計重量的桿AB，AC，AD在A點用鉸鏈連接，各桿與水平面的夾角分別為450，，450和600，如圖所示。試求在與OD平行的力F作用下，各桿所受的力。已知F=0.6 kN。

解：(1) 取整體為研究對象，受力分析，AB、AB、AD均為二力桿，畫受力圖，得到一個空間匯交力系；
(2) 列平衡方程：

解得：

AB、AC桿受拉，AD桿受壓。

3-1 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩為M，梁長為l，梁重不計。求在圖a，b，c三種情況下，支座A和B的約束力

解：(a) 受力分析，畫受力圖；A、B處的約束力組成一個力偶；

列平衡方程：

(b) 受力分析，畫受力圖；A、B處的約束力組成一個力偶；

列平衡方程：

(c) 受力分析，畫受力圖；A、B處的約束力組成一個力偶；

列平衡方程：

3-2 在題圖所示結構中二曲桿自重不計，曲桿AB上作用有主動力偶，其力偶矩為M，試求A和C點處的約束力。

解：(1) 取BC為研究對象，受力分析，BC為二力桿，畫受力圖；

(2) 取AB為研究對象，受力分析，A、B的約束力組成一個力偶，畫受力圖；

3-3 齒輪箱的兩個軸上作用的力偶如題圖所示，它們的力偶矩的大小分別為M1=500 Nm，M2 =125 Nm。求兩螺栓處的鉛垂約束力。圖中長度單位為cm。

解：(1) 取整體為研究對象，受力分析，A、B的約束力組成一個力偶，畫受力圖；
(2) 列平衡方程：

3-5 四連桿機構在圖示位置平衡。已知OA=60cm，BC=40cm，作用BC上的力偶的力偶矩大小為M2=1N.m，試求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力FAB所受的力。各桿重量不計。

解：(1) 研究BC桿，受力分析，畫受力圖：

列平衡方程：

(2) 研究AB（二力桿），受力如圖：

可知：

(3) 研究OA桿，受力分析，畫受力圖：

列平衡方程：

3-7 O1和O 2圓盤與水平軸AB固連，O1盤垂直z軸，O2盤垂直x軸，盤面上分別作用力偶（F1，F』1），（F2，F』2）如題圖所示。如兩半徑為r=20 cm, F1 =3 N, F2 =5 N,AB=80 cm,不計構件自重，試計算軸承A和B的約束力。

解：(1) 取整體為研究對象，受力分析，A、B處x方向和y方向的約束力分別組成力偶，畫受力圖。
(2) 列平衡方程：

AB的約束力：

3-8 在圖示結構中，各構件的自重都不計，在構件BC上作用一力偶矩為M的力偶，各尺寸如圖。求支座A的約束力。

解：(1) 取BC為研究對象，受力分析，畫受力圖；

(2) 取DAC為研究對象，受力分析，畫受力圖；

畫封閉的力三角形；

解得

4-1 試求題4-1圖所示各梁支座的約束力。設力的單位為kN，力偶矩的單位為kNm，長度單位為m，分布載荷集度為kN/m。(提示：計算非均布載荷的投影和與力矩和時需應用積分)。

解：
(b)：(1) 整體受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(2) 選坐標系Axy，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
(c)：(1) 研究AB桿，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(2) 選坐標系Axy，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
(e)：(1) 研究CABD桿，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(2) 選坐標系Axy，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
4-5 AB梁一端砌在牆內，在自由端裝有滑輪用以勻速吊起重物D，設重物的重量為G，又AB長為b，斜繩與鉛垂線成角，求固定端的約束力。

解：(1) 研究AB桿(帶滑輪)，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(2) 選坐標系Bxy，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
4-7 練鋼爐的送料機由跑車A和可移動的橋B組成。跑車可沿橋上的軌道運動，兩輪間距離為2 m，跑車與操作架、平臂OC以及料斗C相連，料斗每次裝載物料重W=15 kN，平臂長OC=5 m。設跑車A，操作架D和所有附件總重為P。作用於操作架的軸線，問P至少應多大才能使料斗在滿載時跑車不致翻倒？

解：(1) 研究跑車與操作架、平臂OC以及料斗C，受力分析，畫出受力圖(平面平行力系)；

(2) 選F點為矩心，列出平衡方程；

(3) 不翻倒的條件；

4-13 活動梯子置於光滑水平面上，並在鉛垂面內，梯子兩部分AC和AB各重為Q，重心在A點，彼此用鉸鏈A和繩子DE連接。一人重為P立於F處，試求繩子DE的拉力和B、C兩點的約束力。

解：(1)：研究整體，受力分析，畫出受力圖(平面平行力系)；

(2) 選坐標系Bxy，列出平衡方程；

(3) 研究AB，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(4) 選A點為矩心，列出平衡方程；

4-15 在齒條送料機構中杠桿AB=500 mm，AC=100 mm，齒條受到水平阻力FQ的作用。已知Q=5000 N，各零件自重不計，試求移動齒條時在點B的作用力F是多少？

解：(1) 研究齒條和插瓜(二力桿)，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(2) 選x軸為投影軸，列出平衡方程；

(3) 研究杠桿AB，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(4) 選C點為矩心，列出平衡方程；

4-16 由AC和CD構成的復合梁通過鉸鏈C連接，它的支承和受力如題4-16圖所示。已知均布載荷集度q=10 kN/m，力偶M=40 kNm，a=2 m，不計梁重，試求支座A、B、D的約束力和鉸鏈C所受的力。

解：(1) 研究CD桿，受力分析，畫出受力圖(平面平行力系)；

(2) 選坐標系Cxy，列出平衡方程；

(3) 研究ABC桿，受力分析，畫出受力圖(平面平行力系)；

(4) 選坐標系Bxy，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
4-17 剛架ABC和剛架CD通過鉸鏈C連接，並與地面通過鉸鏈A、B、D連接，如題4-17圖所示，載荷如圖，試求剛架的支座約束力(尺寸單位為m，力的單位為 kN，載荷集度單位為 kN/m)。

解：
(a)：(1) 研究CD桿，它是二力桿，又根據D點的約束性質，可知：FC=FD=0；
(2) 研究整體，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(3) 選坐標系Axy，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
(b)：(1) 研究CD桿，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(2) 選C點為矩心，列出平衡方程；

(3) 研究整體，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(4) 選坐標系Bxy，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
4-18 由桿AB、BC和CE組成的支架和滑輪E支持著物體。物體重12 kN。D處亦為鉸鏈連接，尺寸如題4-18圖所示。試求固定鉸鏈支座A和滾動鉸鏈支座B的約束力以及桿BC所受的力。

解：(1) 研究整體，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(2) 選坐標系Axy，列出平衡方程；

(3) 研究CE桿(帶滑輪)，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(4) 選D點為矩心，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
4-19 起重構架如題4-19圖所示，尺寸單位為mm。滑輪直徑d=200 mm，鋼絲繩的傾斜部分平行於桿BE。吊起的載荷W=10 kN，其它重量不計，求固定鉸鏈支座A、B的約束力。

解：(1) 研究整體，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(2) 選坐標系Bxy，列出平衡方程；

(3) 研究ACD桿，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(4) 選D點為矩心，列出平衡方程；

(5) 將FAy代入到前面的平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
4-20 AB、AC、DE三桿連接如題4-20圖所示。DE桿上有一插銷F套在AC桿的導槽內。求在水平桿DE的E端有一鉛垂力F作用時，AB桿上所受的力。設AD=DB，DF=FE，BC=DE，所有桿重均不計。

解：(1) 整體受力分析，根據三力平衡匯交定理，可知B點的約束力一定沿著BC方向；
(2) 研究DFE桿，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(3) 分別選F點和B點為矩心，列出平衡方程；

(4) 研究ADB桿，受力分析，畫出受力圖(平面任意力系)；

(5) 選坐標系Axy，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。

5-4 一重量W=1000 N的勻質薄板用止推軸承A、徑向軸承B和繩索CE支持在水平面上，可以繞水平軸AB轉動，今在板上作用一力偶，其力偶矩為M，並設薄板平衡。已知a=3 m，b=4 m，h=5 m，M=2000 Nm，試求繩子的拉力和軸承A、B約束力。

解：(1) 研究勻質薄板，受力分析，畫出受力圖(空間任意力系)；

(2) 選坐標系Axyz，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
5-5 作用於半徑為120 mm的齒輪上的嚙合力F推動皮帶繞水平軸AB作勻速轉動。已知皮帶緊邊拉力為200 N，松邊拉力為100 N，尺寸如題5-5圖所示。試求力F的大小以及軸承A、B的約束力。(尺寸單位mm)。

解: (1) 研究整體，受力分析，畫出受力圖(空間任意力系)；

(2) 選坐標系Axyz，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。
5-6 某傳動軸以A、B兩軸承支承，圓柱直齒輪的節圓直徑d=17.3 cm，壓力角=20o。在法蘭盤上作用一力偶矩M=1030 Nm的力偶，如輪軸自重和摩擦不計，求傳動軸勻速轉動時的嚙合力F及A、B軸承的約束力(圖中尺寸單位為cm)。

解: (1) 研究整體，受力分析，畫出受力圖(空間任意力系)；

(2) 選坐標系Axyz，列出平衡方程；

約束力的方向如圖所示。

6-9 已知物體重W=100 N，斜面傾角為30o(題6-9圖a，tan30o=0.577)，物塊與斜面間摩擦因數為fs=0.38，f』s=0.37，求物塊與斜面間的摩擦力？並問物體在斜面上是靜止、下滑還是上滑？如果使物塊沿斜面向上運動，求施加於物塊並與斜面平行的力F至少應為多大？

解：(1) 確定摩擦角，並和主動力合力作用線與接觸面法向夾角相比較；

(2) 判斷物體的狀態，求摩擦力：物體下滑，物體與斜面的動滑動摩擦力為

(3) 物體有向上滑動趨勢，且靜滑動摩擦力達到最大時，全約束力與接觸面法向夾角等於摩擦角；

(4) 畫封閉的力三角形，求力F；

6-10 重500 N的物體A置於重400 N的物體B上，B又置於水平面C上如題圖所示。已知fAB=0.3，fBC=0.2，今在A上作用一與水平面成30o的力F。問當F力逐漸加大時，是A先動呢？還是A、B一起滑動？如果B物體重為200 N，情況又如何？

解：(1) 確定A、B和B、C間的摩擦角：

(2) 當A、B間的靜滑動摩擦力達到最大時，畫物體A的受力圖和封閉力三角形；

(3) 當B、C間的靜滑動摩擦力達到最大時，畫物體A與B的受力圖和封閉力三角形；

(4) 比較F1和F2；

物體A先滑動；
(4) 如果WB=200 N，則WA+B=700 N，再求F2；

物體A和B一起滑動；
6-11 均質梯長為l，重為P，B端靠在光滑鉛直牆上，如圖所示，已知梯與地面的靜摩擦因數fsA，求平衡時=？

解：(1) 研究AB桿，當A點靜滑動摩擦力達到最大時，畫受力圖(A點約束力用全約束力表示)；
由三力平衡匯交定理可知，P、FB、FR三力匯交在D點；
(2) 找出min和 f的幾何關系；

(3) 得出角的范圍；

6-13 如圖所示，欲轉動一置於V槽型中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M=1500 Ncm，已知棒料重G=400 N，直徑D=25 cm。試求棒料與V型槽之間的摩擦因數fs。

解：(1) 研究棒料，當靜滑動摩擦力達到最大時，畫受力圖(用全約束力表示)；

(2) 畫封閉的力三角形，求全約束力；

(3) 取O為矩心，列平衡方程；

(4) 求摩擦因數；

6-15 磚夾的寬度為25 cm，曲桿AGB與GCED在G點鉸接。磚的重量為W，提磚的合力F作用在磚對稱中心線上，尺寸如圖所示。如磚夾與磚之間的摩擦因數fs=0.5，試問b應為多大才能把磚夾起(b是G點到磚塊上所受正壓力作用線的垂直距離)。

解：(1) 磚夾與磚之間的摩擦角：

(2) 由整體受力分析得：F=W
(2) 研究磚，受力分析，畫受力圖；

(3) 列y方向投影的平衡方程；

(4) 研究AGB桿，受力分析，畫受力圖；

(5) 取G為矩心，列平衡方程；

6-18 試求圖示兩平面圖形形心C的位置。圖中尺寸單位為mm。

解:(a) (1) 將T形分成上、下二個矩形S1、S2，形心為C1、C2；

(2) 在圖示坐標系中，y軸是圖形對稱軸，則有：xC=0
(3) 二個矩形的面積和形心；

(4) T形的形心；

(b) (1) 將L形分成左、右二個矩形S1、S2，形心為C1、C2；

(3) 二個矩形的面積和形心；

(4) L形的形心；

6-19試求圖示平面圖形形心位置。尺寸單位為mm。

解：(a) (1) 將圖形看成大圓S1減去小圓S2，形心為C1和C2；

(2) 在圖示坐標系中，x軸是圖形對稱軸，則有：yC=0
(3) 二個圖形的面積和形心；

(4) 圖形的形心；

(b) (1) 將圖形看成大矩形S1減去小矩形S2，形心為C1和C2；

(2) 在圖示坐標系中，y軸是圖形對稱軸，則有：xC=0
(3) 二個圖形的面積和形心；

(4) 圖形的形心；

8-1 試求圖示各桿的軸力，並指出軸力的最大值。

解：(a)
(1) 用截面法求內力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的左段；

(3) 取2-2截面的右段；

(4) 軸力最大值：

(b)
(1) 求固定端的約束反力；

(2) 取1-1截面的左段；

(3) 取2-2截面的右段；

(4) 軸力最大值：

(c)
(1) 用截面法求內力，取1-1、2-2、3-3截面；

(2) 取1-1截面的左段；

(3) 取2-2截面的左段；

(4) 取3-3截面的右段；

(5) 軸力最大值：

(d)
(1) 用截面法求內力，取1-1、2-2截面；

(2) 取1-1截面的右段；

(2) 取2-2截面的右段；

(5) 軸力最大值：

8-2 試畫出8-1所示各桿的軸力圖。
解：(a)

(b)

(c)

(d)

8-5 圖示階梯形圓截面桿，承受軸向載荷F1=50 kN與F2作用，AB與BC段的直徑分別為d1=20 mm和d2=30 mm ，如欲使AB與BC段橫截面上的正應力相同，試求載荷F2之值。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的軸力；

(2) 求1-1、2-2截面的正應力，利用正應力相同；

8-6 題8-5圖所示圓截面桿，已知載荷F1=200 kN，F2=100 kN，AB段的直徑d1=40 mm，如欲使AB與BC段橫截面上的正應力相同，試求BC段的直徑。
解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的軸力；

(2) 求1-1、2-2截面的正應力，利用正應力相同；

8-7 圖示木桿，承受軸向載荷F=10 kN作用，桿的橫截面面積A=1000 mm2，粘接面的方位角θ= 450，試計算該截面上的正應力與切應力，並畫出應力的方向。

解：(1) 斜截面的應力：

(2) 畫出斜截面上的應力

8-14 圖示桁架，桿1與桿2的橫截面均為圓形，直徑分別為d1=30 mm與d2=20 mm，兩桿材料相同，許用應力[σ]=160 MPa。該桁架在節點A處承受鉛直方向的載荷F=80 kN作用，試校核桁架的強度。

解：(1) 對節點A受力分析，求出AB和AC兩桿所受的力；

AB和BC皆為細長壓桿，則有：

(3) 兩桿同時達到臨界壓力值， F為最大值；

由鉸B的平衡得：

15-9 圖示矩形截面壓桿，有三種支持方式。桿長l＝300 mm，截面寬度b＝20 mm，高度h＝12 mm，彈性模量E＝70 GPa，λp＝50，λ0＝30，中柔度桿的臨界應力公式為
σcr＝382 MPa – (2.18 MPa)λ
試計算它們的臨界載荷，並進行比較。

解：(a)
(1) 比較壓桿彎曲平面的柔度：

長度系數： μ=
(2) 壓桿是大柔度桿，用歐拉公式計算臨界力；b)
(1) 長度系數和失穩平面的柔度：
(2) 壓桿仍是大柔度桿，用歐拉公式計算臨界力；
(c)
(1) 長度系數和失穩平面的柔度：
(2) 壓桿是中柔度桿，選用經驗公式計算臨界
三種情況的臨界壓力的大小排序：
15-10 圖示壓桿，截面有四種形式。但其面積均為A＝3.2×10 mm2， 試計算它們的臨界載荷，並進行比較。材料的力學性質見上題。
解：(a)
(1) 比較壓桿彎曲平面的柔度：
矩形截面的高與寬
長度系數：μ=0.5
(2) 壓桿是大柔度桿，用歐拉公式計算臨界力：
(b)
(1) 計算壓桿的柔度：
正方形的邊長：
長度系數：μ=0.5
(2) 壓桿是大柔度桿，用歐拉公式計算臨界力：
(c)
(1) 計算壓桿的柔度：
圓截面的直徑：
長度系數：μ=0.5
(2) 壓桿是大柔度桿，用歐拉公式計算臨界力：
(d)
(1)計算壓桿的柔度：
空心圓截面的內徑和外徑：
長度系數：μ=0.5
(2) 壓桿是大柔度桿，用歐拉公式計算臨界力；
四種情況的臨界壓力的大小排序：
15-12 圖示壓桿，橫截面為bh的矩形， 試從穩定性方面考慮，確定h/b的最佳值。當壓桿在x–z平面內失穩時，可取μy＝0.7。
解：(1) 在x–z平面內彎曲時的柔度；

(2) 在x–y平面內彎曲時的柔度；

(3) 考慮兩個平面內彎曲的等穩定性；

❻ c語言求 非線性方程求根(循環)，尋求高手

計算機學習方法點滴談
計算機是一門以實踐為主的學科，這與我們從小到大接觸到的許多純理論學科，學習的方法是有很大差異的。所以，在學習的時候，方法必須有所突破，才能有好的學習效果。
一、預習
「預習」是學習中一個很重要的環節。但和其他學科中的「預習」不同的是，計算機學科中的預習不是說要把教材從頭到尾地看上一遍，這里的「預習」是指：在學習之前，應該粗略地了解一下諸如課程內容是用來做什麼的，用什麼方式來實現等一些基本問題。舉個例子來說，在學習FrontPage之前，應該了解這一軟體是用來製作網頁的，且方法較簡單，很適合初學者使用。
二、「任務驅動」學習方法
「任務驅動」學習方法，就是指先有結果，再研究實施策略的學習方法。在任務驅動教學中，打破了常規教學方法中由淺入深的基本順序，每一章節的知識點都是通過幾個有代表性的案例來學習的，甚至包括認識菜單。讓你先體會到效果，從而增加學習興趣。用這種方法來學習計算機，尤其是一些視窗界面的應用程序，往往可以達到事半功倍的效果。
三、積極動手實踐
計算機是一門操作性很強的學科，計算機學科中的實踐，不只是簡單地模仿別人的練習。在實踐中最難得的是有自己的想法，並盡力去尋求解決辦法。在這種開動了腦筋的實踐中，才會學到真正的東西。古時賢人哲士說：「學而時習之」、「學而不思則罔，思而不學則貽。」將所學的理論知識與具體實踐相結合，這是一種較好的方法，一方面可以用理論指導實際，另一方面可以加深對所學知識的理解和記憶，激發起學習興趣，邊學習，邊實踐，相互作用，相互促進。
總之，想在任何事情上學有所成，都必須遵循一定的方法。尤其是計算機這樣的工具學科，在知識的獲取過程中會遇到不少的困難和挫折，然而「寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來」。若有正確的學習方法，再加上認真刻苦的學習精神，就一定能掌握好所學的知識。
如何學好計算機科學
ruhexuejisuanji

計算機科學與技術反思錄
計算機科學與技術這一門科學深深的吸引著我們這些同學們，上計算機系已經有近三年了，自己也做了一些思考,我一直認為計算機科學與技術這門專業，在本科階段是不可能切分成計算機科學和計算機技術的，因為計算機科學需要相當多的實踐，而實踐需要技術；每一個人(包括非計算機專業)，掌握簡單的計算機技術都很容易（包括程序設計），但計算機專業的優勢就在於，我們掌握許多其他專業並不「深究」的東西，例如，演算法，體系結構，等等。非計算機專業的人可以很容易地做一個晶元，寫一段程序，但他們做不出計算機專業能夠做出來的大型系統。今天我想專門談一談計算機科學，並將重點放在計算理論上。

計算機理論的一個核心問題——從數學談起：
記得當年大一入學，每周六課時高等數學，天天作業不斷(那時是六日工作制)。頗有些同學驚呼走錯了門:咱們這到底念的是什麼系？不錯，你沒走錯門，這就是計算機科學與技術系。我國計算機科學系裡的傳統是培養做學術研究，尤其是理論研究的人（方向不見得有問題，但是做得不是那麼盡如人意）。而計算機的理論研究，說到底了，如網路安全，圖形圖像學，視頻音頻處理，哪個方向都與數學有著很大的關系，雖然也許是正統數學家眼裡非主流的數學。這里我還想闡明我的一個觀點：我們都知道，數學是從實際生活當中抽象出來的理論，人們之所以要將實際抽象成理論，目的就在於想用抽象出來的理論去更好的指導實踐，有些數學研究工作者喜歡用一些現存的理論知識去推導若干條推論，殊不知其一：問題考慮不全很可能是個錯誤的推論，其二：他的推論在現實生活中找不到原型，不能指導實踐。嚴格的說，我並不是一個理想主義者，政治課上學的理論聯系實際一直是指導我學習科學文化知識的航標（至少我認為搞計算機科學與技術的應當本著這個方向）。

其實我們計算機系學數學光學高等數學是不夠的（典型的工科院校一般都開的是高等數學），我們應該像數學系一樣學一下數學分析（清華計算機系開的好像就是數學分析），數學分析這門科學，咱們學計算機的人對它有很復雜的感情。在於它是偏向於證明型的數學課程，這對我們培養良好的分析能力極有幫助。我的軟體工程學導師北工大數理學院的王儀華先生就曾經教導過我們，數學系的學生到軟體企業中大多作軟體設計與分析工作，而計算機系的學生做程序員的居多，原因就在於數學系的學生分析推理能力，從所受訓練的角度上要遠遠在我們之上。當年出現的怪現象是：計算機系學生的高中數學基礎在全校數一數二(希望沒有冒犯其它系的同學)，教學課時數也僅次於數學系，但學完之後的效果卻不盡如人意。難道都是學生不努力嗎，我看未見得，方向錯了也說不一定，其中原因何在，發人深思。

我個人的淺見是：計算機系的學生，對數學的要求固然跟數學系不同，跟物理類差別則更大。通常非數學專業的所謂「高等數學」，無非是把數學分析中較困難的理論部分刪去，強調套用公式計算而已。而對計算機系來說，數學分析里用處最大的恰恰是被刪去的理論部分。說得難聽一點，對計算機系學生而言，追求算來算去的所謂「工程數學」已經徹底地走進了誤區。記上一堆曲面積分的公式，難道就能算懂了數學？那倒不如現用現查，何必費事記呢？再不然直接用Mathematics或是Matalab好了。
我在系裡最愛做的事情就是給學弟學妹們推薦參考書。中文的數學分析書，一般都認為以北大張築生老師的「數學分析新講」為最好。萬一你的數學實在太好，那就去看菲赫金哥爾茨的「微積分學教程」好了--但我認為沒什麼必要，畢竟你不想轉到數學系去。吉米多維奇的「數學分析習題集」也基本上是計算型的東東。書的名氣很大，倒不見得適合我們，還是那句話，重要的是數學思想的建立，生活在信息社會里我們求的是高效，計算這玩意還是留給計算機吧。不過現在多用的似乎是復旦大學的《數學分析》也是很好的教材。

中國的所謂高等代數，就等於線性代數加上一點多項式理論。我以為這有好的一面，因為可以讓學生較早感覺到代數是一種結構，而非一堆矩陣翻來覆去。這里不得不提南京大學林成森，盛松柏兩位老師編的「高等代數」，感覺相當舒服。此書相當全面地包含了關於多項式和線性代數的基本初等結果，同時還提供了一些有用的又比較深刻的內容，如Sturm序列，Shermon-Morrison公式，廣義逆矩陣等等。可以說，作為本科生如能吃透此書，就可以算高手。國內較好的高等代數教材還有清華計算機系用的那本，清華出版社出版，書店裡多多，一看就知道。從抽象代數的觀點來看，高等代數里的結果不過是代數系統性質的一些例子而已。莫宗堅先生的《代數學》里，對此進行了深刻的討論。然而莫先生的書實在深得很，作為本科生恐怕難以接受，不妨等到自己以後成熟了一些再讀。

正如上面所論述的，計算機系的學生學習高等數學：知其然更要知其所以然。你學習的目的應該是：將抽象的理論再應用於實踐，不但要掌握題目的解題方法，更要掌握解題思想，對於定理的學習：不是簡單的應用，而是掌握證明過程即掌握定理的由來，訓練自己的推理能力。只有這樣才達到了學習這門科學的目的，同時也縮小了我們與數學系的同學之間思維上的差距。

概率論與數理統計這門課很重要，可惜大多數院校講授這門課都會少些東西。少了的東西現在看至少有隨機過程。到畢業還沒有聽說過Markov過程，此乃計算機系學生的恥辱。沒有隨機過程，你怎麼分析網路和分布式系統？怎麼設計隨機化演算法和協議？據說清華計算機系開有「隨機數學」，早就是必修課。另外，離散概率論對計算機系學生來說有特殊的重要性。而我們國家工程數學講的都是連續概率。現在，美國已經有些學校開設了單純的「離散概率論」課程，乾脆把連續概率刪去，把離散概率講深些。我們不一定要這么做，但應該更加強調離散概率是沒有疑問的。這個工作我看還是盡早的做為好。

計算方法學（有些學校也稱為數學分析學）是最後一門由數理學院給我們開的課。一般學生對這門課的重視程度有限，以為沒什麼用。不就是照套公式嘛！其實，做圖形圖像可離不開它，密碼學搞深了也離不開它。而且，在很多科學工程中的應用計算，都以數值的為主。這門課有兩個極端的講法：一個是古典的「數值分析」，完全講數學原理和演算法；另一個是現在日趨流行的「科學與工程計算」，乾脆教學生用軟體包編程。我個人認為，計算機系的學生一定要認識清楚我們計算機系的學生為什麼要學這門課，我是很偏向於學好理論後用計算機實現的，最好使用C語言或C++編程實現。向這個方向努力的書籍還是挺多的，這里推薦大家高等教育出版社（CHEP）和施普林格出版社(Springer)聯合出版的《計算方法（Computational Methods）》,華中理工大學數學系寫的（現華中科技大學），這方面華科大做的工作在國內應算是比較多的，而個人認為以這本最好，至少程序設計方面涉及了：任意數學函數的求值，方程求根，線性方程組求解，插值方法，數值積分，場微分方程數值求解。李慶揚的那本則理論性過強，與實際應用結合得不太緊。

❼ 計算方法何滿喜主編的答案pdf

第一題：

(7)計算方法華中理工大學課後題答案擴展閱讀

這部分內容主要考察的是常微分方程的知識點：

n 階微分方程的解含有 n個任意常數。也就是說，微分方程的解中含有任意常數的個數和方程的階數相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構成一個函數族。

如果根據實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來，那麼求這種解的問題叫做定解問題，對於一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。對於高階微分方程可以引入新的未知函數，把它化為多個一階微分方程組。

常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當然，這個近似解的精確程度是比較高的。另外還應該指出，用來描述物理過程的微分方程，以及由試驗測定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。

❽ 計算方法大作業（見圖求答案）200分我送定了

看著像研一時候的數值方法考試題

❾ 大學數學(計算機專業)

計算機科學與技術學習反思錄
計算機理論的一個核心問題--從數學談起：
記得當年大一入學，每周六課時高等數學，天天作業不斷(那時是六日工作制)。頗有些同學驚呼走錯了門:咱們這到底念的是什麼系？不錯，你沒走錯門，這就是計算機科學與技術系。我國計算機科學系裡的傳統是培養做學術研究，尤其是理論研究的人（方向不見得有問題，但是做得不是那麼盡如人意）。而計算機的理論研究，說到底了，如網路安全，圖形圖像學，視頻音頻處理，哪個方向都與數學有著很大的關系，雖然也許是正統數學家眼裡非主流的數學。這里我還想闡明我的一個觀點：我們都知道，數學是從實際生活當中抽象出來的理論，人們之所以要將實際抽象成理論，目的就在於想用抽象出來的理論去更好的指導實踐，有些數學研究工作者喜歡用一些現存的理論知識去推導若干條推論，殊不知其一：問題考慮不全很可能是個錯誤的推論，其二：他的推論在現實生活中找不到原型，不能指導實踐。嚴格的說，我並不是一個理想主義者，政治課上學的理論聯系實際一直是指導我學習科學文化知識的航標（至少我認為搞計算機科學與技術的應當本著這個方向）。
其實我們計算機系學數學光學高等數學是不夠的（典型的工科院校一般都開的是高等數學），我們應該像數學系一樣學一下數學分析（清華計算機系開的好像就是數學分析），數學分析這門科學，咱們學計算機的人對它有很復雜的感情。在於它是偏向於證明型的數學課程，這對我們培養良好的分析能力極有幫助。我的軟體工程學導師北工大數理學院的王儀華先生就曾經教導過我們，數學系的學生到軟體企業中大多作軟體設計與分析工作，而計算機系的學生做程序員的居多，原因就在於數學系的學生分析推理能力，從所受訓練的角度上要遠遠在我們之上。當年出現的怪現象是：計算機系學生的高中數學基礎在全校數一數二(希望沒有冒犯其它系的同學)，教學課時數也僅次於數學系，但學完之後的效果卻不盡如人意。難道都是學生不努力嗎，我看未見得，方向錯了也說不一定，其中原因何在，發人深思。
我個人的淺見是：計算機系的學生，對數學的要求固然跟數學系不同，跟物理類差別則更大。通常非數學專業的所謂「高等數學」，無非是把數學分析中較困難的理論部分刪去，強調套用公式計算而已。而對計算機系來說，數學分析里用處最大的恰恰是被刪去的理論部分。說得難聽一點，對計算機系學生而言，追求算來算去的所謂「工程數學」已經徹底地走進了誤區。記上一堆曲面積分的公式，難道就能算懂了數學？那倒不如現用現查，何必費事記呢？再不然直接用Mathematics或是Matalab好了。
我在系裡最愛做的事情就是給學弟學妹們推薦參考書。中文的數學分析書，一般都認為以北大張築生老師的「數學分析新講」為最好。萬一你的數學實在太好，那就去看菲赫金哥爾茨的「微積分學教程」好了--但我認為沒什麼必要，畢竟你不想轉到數學系去。吉米多維奇的「數學分析習題集」也基本上是計算型的東東。書的名氣很大，倒不見得適合我們，還是那句話，重要的是數學思想的建立，生活在信息社會里我們求的是高效，計算這玩意還是留給計算機吧。不過現在多用的似乎是復旦大學的《數學分析》也是很好的教材。
中國的所謂高等代數，就等於線性代數加上一點多項式理論。我以為這有好的一面，因為可以讓學生較早感覺到代數是一種結構，而非一堆矩陣翻來覆去。這里不得不提南京大學林成森，盛松柏兩位老師編的「高等代數」，感覺相當舒服。此書相當全面地包含了關於多項式和線性代數的基本初等結果，同時還提供了一些有用的又比較深刻的內容，如Sturm序列，Shermon-Morrison公式，廣義逆矩陣等等。可以說，作為本科生如能吃透此書，就可以算高手。國內較好的高等代數教材還有清華計算機系用的那本，清華出版社出版，書店裡多多，一看就知道。從抽象代數的觀點來看，高等代數里的結果不過是代數系統性質的一些例子而已。莫宗堅先生的《代數學》里，對此進行了深刻的討論。然而莫先生的書實在深得很，作為本科生恐怕難以接受，不妨等到自己以後成熟了一些再讀。
正如上面所論述的，計算機系的學生學習高等數學：知其然更要知其所以然。你學習的目的應該是：將抽象的理論再應用於實踐，不但要掌握題目的解題方法，更要掌握解題思想，對於定理的學習：不是簡單的應用，而是掌握證明過程即掌握定理的由來，訓練自己的推理能力。只有這樣才達到了學習這門科學的目的，同時也縮小了我們與數學系的同學之間思維上的差距。
概率論與數理統計這門課很重要，可惜大多數院校講授這門課都會少些東西。少了的東西現在看至少有隨機過程。到畢業還沒有聽說過Markov過程，此乃計算機系學生的恥辱。沒有隨機過程，你怎麼分析網路和分布式系統？怎麼設計隨機化演算法和協議？據說清華計算機系開有「隨機數學」，早就是必修課。另外，離散概率論對計算機系學生來說有特殊的重要性。而我們國家工程數學講的都是連續概率。現在，美國已經有些學校開設了單純的「離散概率論」課程，乾脆把連續概率刪去，把離散概率講深些。我們不一定要這么做，但應該更加強調離散概率是沒有疑問的。這個工作我看還是盡早的做為好。
計算方法學（有些學校也稱為數學分析學）是最後一門由數理學院給我們開的課。一般學生對這門課的重視程度有限，以為沒什麼用。不就是照套公式嘛！其實，做圖形圖像可離不開它，密碼學搞深了也離不開它。而且，在很多科學工程中的應用計算，都以數值的為主。這門課有兩個極端的講法：一個是古典的「數值分析」，完全講數學原理和演算法；另一個是現在日趨流行的「科學與工程計算」，乾脆教學生用軟體包編程。我個人認為，計算機系的學生一定要認識清楚我們計算機系的學生為什麼要學這門課，我是很偏向於學好理論後用計算機實現的，最好使用C語言或C++編程實現。向這個方向努力的書籍還是挺多的，這里推薦大家高等教育出版社（CHEP）和施普林格出版社(Springer)聯合出版的《計算方法（Computational Methods）》,華中理工大學數學系寫的（現華中科技大學），這方面華科大做的工作在國內應算是比較多的，而個人認為以這本最好，至少程序設計方面涉及了：任意數學函數的求值，方程求根，線性方程組求解，插值方法，數值積分，場微分方程數值求解。李慶揚的那本則理論性過強，與實際應用結合得不太緊。
每個學校本系裡都會開一門離散數學，涉及集合論，圖論，和抽象代數，數理邏輯。不過，這么多內容擠在離散數學一門課里，是否時間太緊了點？另外，計算機系學生不懂組合和數論，也是巨大的缺陷。要做理論，不懂組合或者數論吃虧可就太大了。從理想的狀態來看，最好分開六門課：集合，邏輯,圖論，組合，代數，數論。這個當然不現實，因為沒那麼多課時。也許將來可以開三門課：集合與邏輯，圖論與組合，代數與數論。（這方面我們學校已經著手開始做了）不管課怎麼開，學生總一樣要學。下面分別談談上面的三組內容。
古典集合論，北師大出過一本《基礎集合論》不錯。
數理邏輯，中科院軟體所陸鍾萬教授的《面向計算機科學的數理邏輯》就不錯。現在可以找到陸鍾萬教授的講課錄像，http://www.cas.ac.cn/html/Dir/2001/11/06/3391.htm自己去看看吧。總的來說，學集合/邏輯起手不難，普通高中生都能看懂。但越往後越感覺深不可測。
學完以上各書之後，如果你還有精力興趣進一步深究，那麼可以試一下GTM系列中的《Introction to Axiomatic Set Theory》和《A Course of Mathematical Logic》。這兩本都有世界圖書出版社的引進版。你如果能搞定這兩本，可以說在邏輯方面真正入了門，也就不用再浪費時間聽我瞎侃了。
據說全中國最多隻有三十個人懂圖論。此言不虛。圖論這東東，技巧性太強，幾乎每個問題都有一個獨特的方法，讓人頭痛。不過這也正是它魅力所在：只要你有創造性，它就能給你成就感。我的導師說，圖論裡面隨便揪一塊東西就可以寫篇論文。大家可以體會裡面內容之深廣了吧！國內的圖論書中，王樹禾老師的「圖論及其演算法」非常成功。一方面，其內容在國內教材里算非常全面的。另一方面，其對演算法的強調非常適合計算機系(本來就是科大計算機系教材)。有了這本書為主，再參考幾本翻譯的，如Bondy & Murty的《圖論及其應用》，人民郵電出版社翻譯的《圖論和電路網路》等等，就馬馬虎虎，對本科生足夠了。再進一步，世界圖書引進有GTM系列的"Modern Graph Theory"。此書確實經典！國內好象還有一家出版了個翻譯版。不過，學到這個層次，還是讀原版好。搞定這本書，也標志著圖論入了門。 外版的書好就好在這里，最新的科技成果裡面都有論述，別的先不說，至少是「緊跟時代的理論知識」。
組合感覺沒有太適合的國產書。還是讀Graham和Knuth等人合著的經典「具體數學」吧，西安電子科技大學出版社有翻譯版。
抽象代數，國內經典為莫宗堅先生的「代數學」。此書是北大數學系教材，深得好評。然而對本科生來說，此書未免太深。可以先學習一些其它的教材，然後再回頭來看「代數學」。國際上的經典可就多了，GTM系列裡就有一大堆。推薦一本談不上經典，但卻最簡單的，最容易學的：http://www.math.miami.e/~ec/book/這本「Introction to Linear and Abstract Algebra"非常通俗易懂，而且把抽象代數和線性代數結合起來，對初學者來說非常理想，我校比較牛的同學都有收藏。
數論方面，國內有經典而且以困難著稱的」初等數論「(潘氏兄弟著，北大版)。再追溯一點，還有更加經典(可以算世界級)並且更加困難的」數論導引「(華羅庚先生的名著，科學版，九章書店重印，繁體的看起來可能比較困難)。把基礎的幾章搞定一個大概，對本科生來講足夠了。但這只是初等數論。本科畢業後要學計算數論，你必須看英文的書，如Bach的"Introction to Algorithmic Number Theory"。
計算機科學理論的根本，在於演算法。現在很多系裡給本科生開設演算法設計與分析，確實非常正確。環顧西方世界，大約沒有一個三流以上計算機系不把演算法作為必修的。演算法教材目前公認以Corman等著的"Introction to Algorithms"為最優。對入門而言，這一本已經足夠，不需要再參考其它書。
再說說形式語言與自動機。我看過北郵的教材，應該說寫的還清楚。但是，有一點要強調：形式語言和自動機的作用主要在作為計算模型，而不是用來做編譯。事實上，編譯前端已經是死領域，沒有任何open problems，北科大的班曉娟博士也曾經說過，編譯的技術已相當成熟。如果為了這個，我們完全沒必要去學形式語言--用用yacc什麼的就完了。北郵的那本在國內還算比較好，但是在深度上，在跟可計算性的聯繫上都有較大的局限，現代感也不足。所以建議有興趣的同學去讀英文書，不過國內似乎沒引進這方面的教材。可以去互動出版網上看一看。入門以後，把形式語言與自動機中定義的模型，和數理邏輯中用遞歸函數定義的模型比較一番，可以說非常有趣。現在才知道，什麼叫「宮室之美，百官之富」！
計算機科學和數學的關系有點奇怪。二三十年以前，計算機科學基本上還是數學的一個分支。而現在，計算機科學擁有廣泛的研究領域和眾多的研究人員，在很多方面反過來推動數學發展，從某種意義上可以說是孩子長得比媽媽還高了。但不管怎麼樣，這個孩子身上始終流著母親的血液。這血液是the mathematical underpinning of computer science(計算機科學的數學基礎)，也就是理論計算機科學。原來在東方大學城圖書館中曾經看過一本七十年代的譯本（書皮都沒了，可我就愛關注這種書），大概就叫《計算機數學》。那本書若是放在當時來講決是一本好書，但現在看來，涵蓋的范圍還算廣，深度則差了許多，不過推薦大一的學生倒可以看一看，至少可以使你的計算數學入入門。
最常和理論計算機科學放在一起的一個詞是什麼？答：離散數學。這兩者的關系是如此密切，以至於它們在不少場合下成為同義詞。（這一點在前面的那本書中也有體現）傳統上，數學是以分析為中心的。數學系的同學要學習三四個學期的數學分析，然後是復變函數，實變函數，泛函數等等。實變和泛函被很多人認為是現代數學的入門。在物理，化學，工程上應用的，也以分析為主。
隨著計算機科學的出現，一些以前不太受到重視的數學分支突然重要起來。人們發現，這些分支處理的數學對象與傳統的分析有明顯的區別：分析研究的問題解決方案是連續的，因而微分，積分成為基本的運算；而這些分支研究的對象是離散的，因而很少有機會進行此類的計算。人們從而稱這些分支為「離散數學」。「離散數學」的名字越來越響亮，最後導致以分析為中心的傳統數學分支被相對稱為「連續數學」。
離散數學經過幾十年發展，基本上穩定下來。一般認為，離散數學包含以下學科 ：
1) 集合論，數理邏輯與元數學。這是整個數學的基礎，也是計算機科學的基礎。
2) 圖論，演算法圖論；組合數學，組合演算法。計算機科學，尤其是理論計算機科學的核心是
演算法，而大量的演算法建立在圖和組合的基礎上。
3) 抽象代數。代數是無所不在的，本來在數學中就非常重要。在計算機科學中，人們驚訝地發現代數竟然有如此之多的應用。
但是，理論計算機科學僅僅就是在數學的上面加上「離散」的帽子這么簡單嗎？一直到大約十幾年前，終於有一位大師告訴我們：不是。D.E.Knuth(他有多偉大，我想不用我廢話了)在Stanford開設了一門全新的課程Concrete Mathematics。 Concrete這個詞在這里有兩層含義：
首先：對abstract而言。Knuth認為，傳統數學研究的對象過於抽象，導致對具體的問題關心不夠。他抱怨說，在研究中他需要的數學往往並不存在，所以他只能自己去創造一些數學。為了直接面向應用的需要，他要提倡「具體」的數學。在這里我做一點簡單的解釋。例如在集合論中，數學家關心的都是最根本的問題--公理系統的各種性質之類。而一些具體集合的性質，各種常見集合，關系，映射都是什麼樣的，數學家覺得並不重要。然而，在計算機科學中應用的，恰恰就是這些具體的東西。Knuth能夠首先看到這一點，不愧為當世計算機第一人。其次，Concrete是Continuous(連續)加上discrete(離散)。不管連續數學還是離散數學，都是有用的數學！
理論與實際的結合--計算機科學研究的范疇
前面主要是從數學角度來看的。從計算機角度來看，理論計算機科學目前主要的研究領域包括：可計算性理論，演算法設計與復雜性分析，密碼學與信息安全，分布式計算理論，並行計算理論，網路理論，生物信息計算，計算幾何學，程序語言理論等等。這些領域互相交叉，而且新的課題在不斷提出，所以很難理出一個頭緒來。想搞搞這方面的工作，推薦看中國計算機學會的一系列書籍，至少代表了我國的權威。下面隨便舉一些例子。
由於應用需求的推動，密碼學現在成為研究的熱點。密碼學建立在數論(尤其是計算數論)，代數，資訊理論，概率論和隨機過程的基礎上，有時也用到圖論和組合學等。很多人以為密碼學就是加密解密，而加密就是用一個函數把數據打亂。這樣的理解太淺顯了。

現代密碼學至少包含以下層次的內容：

第一，密碼學的基礎。例如，分解一個大數真的很困難嗎？能否有一般的工具證明協議正確？

第二，密碼學的基本課題。例如，比以前更好的單向函數，簽名協議等。

第三，密碼學的高級問題。例如，零知識證明的長度，秘密分享的方法。

第四，密碼學的新應用。例如，數字現金，叛徒追蹤等。

在分布式系統中，也有很多重要的理論問題。例如，進程之間的同步，互斥協議。一個經典的結果是：在通信信道不可靠時，沒有確定型演算法能實現進程間協同。所以，改進TCP三次握手幾乎沒有意義。例如時序問題。常用的一種序是因果序，但因果序直到不久前才有一個理論上的結果....例如，死鎖沒有實用的方法能完美地對付。例如,......操作系統研究過就自己去舉吧！

如果計算機只有理論，那麼它不過是數學的一個分支，而不成為一門獨立的科學。事實上，在理論之外，計算機科學還有更廣闊的天空。

我一直認為，4年根本不夠學習計算機的基礎知識，因為面太寬了，8年，應該差不多了......

這方面我想先說說我們系在各校普遍開設的《計算機基礎》。在高等學校開設《計算機基礎課程》是我國高教司明文規定的各專業必修課程要求。主要內容是使學生初步掌握計算機的發展歷史，學會簡單的使用操作系統，文字處理，表格處理功能和初步的網路應用功能。但是在計算機科學系教授此門課程的目標決不能與此一致。在計算機系課程中目標應是：讓學生較為全面的了解計算機學科的發展，清晰的把握計算機學科研究的方向，發展的前沿即每一個課程在整個學科體系中所處的地位。搞清各學科的學習目的，學習內容，應用領域。使學生在學科學習初期就對整個學科有一個整體的認識，以做到在今後的學習中清楚要學什麼，怎麼學。計算機基本應用技能的位置應當放在第二位或更靠後，因為這一點對於本系的學生應當有這個摸索能力。這一點很重要。推薦給大家一本書：機械工業出版社的《計算機文化》（New Perspective of Computer Science），看了這本書我才深刻的體會到自己還是個計算機科學初學者，才比較透徹的了解了什麼是計算機科學。

一個一流計算機系的優秀學生決不該僅僅是一個編程高手，但他一定首先是一個編程高手。我上大學的時候，第一門專業課是C語言程序設計，念計算機的人從某種角度講相當一部分人是靠寫程序吃飯的。關於第一程序設計語言該用哪一種。我個人認為，用哪種語言屬於末節，關鍵在養成良好的編程習慣。當年老師對我們說，打好基礎後學一門新語言只要一個星期。現在我覺得根本不用一個星期，前提是先把基礎打好。不要再猶豫了，學了再說，等你抉擇好了，別人已經會了幾門語言了。

匯編語言和微機原理是兩門特煩人的課。你的數學/理論基礎再好，也占不到什麼便宜。這兩門課之間的次序也好比先有雞還是先有蛋，無論你先學哪門，都會牽扯另一門課里的東西。所以，只能靜下來慢慢琢磨。這就是典型的工程課，不需要太多的聰明和頓悟，卻需要水滴石穿的漸悟。有關這兩門課的書，計算機書店裡不難找到。弄幾本最新的，對照著看吧。組成原理推薦《計算機組成與結構》清華大學王愛英教授寫的。匯編語言大家拿8086/8088入個門，之後一定要學80x86匯編語言。實用價值大，不落後，結構又好，寫寫高效病毒，高級語言里嵌一點匯編，進行底層開發，總也離不開他，推薦清華大學沈美明的《IBM-PC匯編語言程序設計》。有些人說不想了解計算機體系結構，也不想製造計算機，所以諸如計算機原理，匯編語言，介面之類的課覺得沒必要學，這樣合理嗎？顯然不合理，這些東西遲早得掌握，肯定得接觸，而且，這是計算機專業與其他專業學生相比的少有的幾項優勢。做項目的時候，了解這些是非常重要的，不可能說，僅僅為了技術而技術，只懂技術的人最多做一個編碼工人，而永遠不可能全面地了解整個系統的設計，而編碼工人是越老越不值錢。關於組成原理還有個講授的問題，在我學這門課程時老師講授時把CPU工作原理譽微程序設計這一塊略掉了，理由是我們國家搞CPU技術不如別的國家，搞了這么長時間好不容易出了個龍芯比Intel的還差個十萬八千里，所以建議我們不要學了。我看這在各校也未見得不是個問題吧！若真是如他所說，那中國的計算機科學哪個方向都可以停了，軟硬體，應用，有幾項搞得過美國，搞不過別人就不搞了，那我們坐在這里干什麼？教學的觀念需要轉變的。

模擬電路這東東，如今不僅計算機系學生搞不定，電子系學生也多半害怕。如果你真想軟硬體通吃，那麼建議你先看看邱關源的「電路原理」，也許此後再看模擬電路底氣會足些。教材：康華光的「電子技術基礎」（高等教育出版社）還是不錯的（我校電子系在用）。有興趣也可以參考童詩白的書。

數字電路比模擬電路要好懂得多。清華大學閻石的書算一本好教材，遺憾的一點是集成電路講少了些。真有興趣，看一看大規模數字系統設計吧（北航那本用的還比較多）。

計算機系統結構該怎麼教，國際上還在爭論。國內能找到的較好教材為Stallings的"Computer Organization and Architecture:Designing for Performance"(清華影印
本)。國際上最流行的則是「Computer architecture: aquantitative approach", by Patterson & Hennessy。

操作系統可以隨便選用《操作系統的內核設計與實現》和《現代操作系統》兩書之一。這兩部都可以算經典，唯一缺點就是理論上不夠嚴格。不過這領域屬於Hardcore System,所以在理論上馬虎一點也情有可原。想看理論方面的就推薦清華大學出版社《操作系統》吧，高教司司長張堯學寫的，我們教材用的是那本。 另外推薦一本《Windows操作系統原理》機械工業出版社的，這本書是我國操作系統專家在微軟零距離考察半年，寫作歷時一年多寫成的，教操作系統的專家除了清華大學的張堯學（現高教司司長）幾乎所有人都參加了。Bill Gates親自寫序。裡面不但結合windows2000,xp詳述操作系統的內核，而且後面講了一些windows編程基礎，有外版書的味道，而且上面一些內容可以說在國內外只有那本書才有對windows內核細致入微的介紹，

如果先把形式語言學好了，則編譯原理中的前端我看只要學四個演算法：最容易實現的遞歸下降；最好的自頂向下演算法LL(k)；最好的自底向上演算法LR(k)；LR(1)的簡化SLR(也許還有另一簡化LALR)。後端完全屬於工程性質，自然又是another story。

推薦教材：Kenneth C.Louden寫的「Compiler Construction Principles and Practice」即是《編譯原理及實踐》（機械工業出版社的譯本）

學資料庫要提醒大家的是，會用VFP，VB, Power builder不等於懂資料庫。(這世界上自以為懂資料庫的人太多了！)資料庫設計既是科學又是藝術，資料庫實現則是典型的工程。所以從某種意義上講，資料庫是最典型的一門計算機課程--理工結合，互相滲透。另外推薦大家學完軟體工程學後再翻過來看看資料庫技術，又會是一番新感覺。推薦教材：Abraham Silberschatz等著的 "Database System Concepts".作為知識的完整性，還推薦大家看一看機械工業出版社的《數據倉庫》譯本。

計算機網路的標准教材還是來自Tanenbaum的《Computer Networks》（清華大學有譯本）。還有就是推薦謝希仁的《計算機網路教程》（人民郵電出版社）問題講得比較清楚，參考文獻也比較權威。不過，網路也屬於Hardcore System，所以光看書是不夠的。建議多讀RFC，http://www.ietf.org/rfc.htm里可以按編號下載RFC文檔。從IP的讀起。等到能掌握10種左右常用協議，就沒有幾個人敢小看你了。再做的工作我看放在網路設計上就比較好了。

數據結構的重要性就不言而喻了，學完數據結構你會對你的編程思想進行一番革命性的洗禮，會對如何建立一個合理高效的演算法有一個清楚的認識。對於演算法的建立我想大家應當注意以下幾點：

當遇到一個演算法問題時,首先要知道自己以前有沒有處理過這種問題.如果見過,那麼你一般會順利地做出來;如果沒見過,那麼考慮以下問題:

1. 問題是否是建立在某種已知的熟悉的數據結構(例如,二叉樹)上?如果不是,則要自己設計數據結構。

2. 問題所要求編寫的演算法屬於以下哪種類型?(建立數據結構,修改數據結構,遍歷,查找,排序...)

3. 分析問題所要求編寫的演算法的數學性質.是否具備遞歸特徵?(對於遞歸程序設計,只要設計出合理的參數表以及遞歸結束的條件,則基本上大功告成.)

4. 繼續分析問題的數學本質.根據你以前的編程經驗,設想一種可能是可行的解決辦法,並證明這種解決辦法的正確性.如果題目對演算法有時空方面的要求,證明你的設想滿足其要求.一般的,時間效率和空間效率難以兼得.有時必須通過建立輔助存儲的方法來節省時間.

5. 通過一段時間的分析,你對解決這個問題已經有了自己的一些思路.或者說,你已經可以用自然語言把你的演算法簡單描述出來.繼續驗證其正確性,努力發現其中的錯誤並找出解決辦法.在必要的時候(發現了無法解決的矛盾),推翻自己的思路,從頭開始構思.

6. 確認你的思路可行以後,開始編寫程序.在編寫代碼的過程中,盡可能把各種問題考慮得詳細,周密.程序應該具有良好的結構,並且在關鍵的地方配有注釋.

7. 舉一個例子,然後在紙上用筆執行你的程序,進一步驗證其正確性.當遇到與你的設想不符的情況時,分析問題產生的原因是編程方面的問題還是演算法思想本身有問題.

8. 如果程序通過了上述正確性驗證,那麼在將其進一步優化或簡化。

9. 撰寫思路分析,注釋.

對於具體的演算法思路,只能靠你自己通過自己的知識和經驗來加以獲得,沒有什麼特定的規律(否則程序員全部可以下崗了,用機器自動生成代碼就可以了).要有豐富的想像力,就是說當一條路走不通時,不要鑽牛角尖,要敢於推翻自己的想法.我也只不過是初學者,說出上面的一些經驗,僅供大家參考和討論。

關於人工智慧，我覺得的也是非常值得大家仔細研究的，雖然不能算是剛剛興起的學科了，但是絕對是非常有發展前途的一門學科。我國人工智慧創始人之一，北京科技大學塗序彥教授（這老先生是我的導師李小堅博士的導師）對人工智慧這樣定義：人工智慧是模