插值型數值積分計算方法

A. 插值法計算公式是什麼

公式就是：Y=Y1+(Y2-Y1)×(X-X1)/(X2-X1)。

通俗地講，線性內插法就是利用相似三角形的原理，來計算內插點的數據。

內插法又稱插值法。根據未知函數f（x）在某區間內若干點的函數值，作出在該若干點的函數值與f（x）值相等的特定函數來近似原函數f（x），進而可用此特定函數算出該區間內其他各點的原函數f（x）的近似值，這種方法，稱為內插法。

按特定函數的性質分，有線性內插、非線性內插等；按引數（自變數）個數分，有單內插、雙內插和三內插等。

介紹：

線性插值是指插值函數為一次多項式的插值方式，其在插值節點上的插值誤差為零。線性插值相比其他插值方式，如拋物線插值，具有簡單、方便的特點。

線性插值的幾何意義即為概述圖中利用過A點和B點的直線來近似表示原函數。線性插值可以用來近似代替原函數，也可以用來計算得到查表過程中表中沒有的數值。

B. 數值分析中常用的求積公式有哪幾中

構造一個多項式近似代替某個未知函數或復雜函數.據此,可以推導用來近似計算該未知函數或復雜函數的定積分或導數的公式.這就是數值積分與數值微分的基本內容.推導積分和導數的數值計算公式的重要性是顯而易見的
插值理論是解決數值計算定積分的有效途徑之一.
插值型求積公式
復合求積公式
Romberg求積公式
牛頓－科特斯求積公式及其餘項
機械型求積公式
梯形求積公式
龍貝格求積公式
辛普森(Simpson)求積公式
拋物線求積公式
復合Simpson求積公式
牛頓求積公式
Gauss型求積公式
有理Gauss-Lobatto求積公式
Gauss - Legendre求積公式
復化Gauss型求積公式
柯特斯求積公式及其餘項公式
三角形三斜求積公式
辛普森 (Simpson) 求積公式或拋物線求積公式:
梯形求積公式對所有次數不超過1 的多項式是准確成立的；
辛普森求積公式對所有次數不超過3 的多項式是准確成立的；
牛頓求積公式對所有次數不超過3 的多項式是准確成立的；
柯特斯求積公式對所有次數不超過5 多項式是准確成立的.
此牛頓-柯特斯求積公式在求積系數不為負數時是數值穩定的.
由於龍格現象存在,不難得知,牛頓-柯特斯求積公式不一定具有收斂性.
穩定性和收斂性可知,數值計算中應主張使用低階的牛頓-柯特斯求積公式.太多了,不再列舉了,有時間切磋切磋

C. 插值的計算方法是什麼

計算方法：假設與A1對應的數據是B1，與A2對應的數據是B2，現在已知與A對應的數據是B，A介於A1和A2之間，則可以按照（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)計算得出A的數值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知數據。

根據（A1-A)/(A1-A2)=(B1-B)/(B1-B2)可知：（A1-A)＝(B1-B)/(B1-B2)×（A1-A2）

A＝A1－(B1-B)/(B1-B2)×（A1-A2）＝A1＋(B1-B)/(B1-B2)×（A2-A1）

插值法又稱「內插法」，是利用函數f (x)在某區間中已知的若干點的函數值，作出適當的特定函數，在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f (x)的近似值，這種方法稱為插值法。如果這特定函數是多項式，就稱它為插值多項式。

如果只需要求出某一個x所對應的函數值，可以用「圖解內插」。它利用實驗數據提供要畫的簡單曲線的形狀，然後調整它，使得盡量靠近這些點。

如果還要求出因變數p(x)的表達式，這就要用「表格內插」。通常把近似函數p(x)取為多項式(p(x)稱為插值多項式)，最簡單的是取p(x)為一次式，即線性插值法。在表格內插時，使用差分法或待定系數法(此時可以利用拉格朗日公式)。在數學、天文學中，插值法都有廣泛的應用。

D. 線性插值法計算公式是什麼

線性插值法計算公式：Y=Y1+(Y2-Y1)×(X-X1)/(X2-X1)。其中Y2>Y1，X2>X>X1。

線性插值是指插值函數為一次多項式的插值方式，其在插值節點上的插值誤差為零。線性插值相比其他插值方式，如拋物線插值，具有簡單、方便的特點。線性插值可以用來近似代替原函數，也可以用來計算得到查表過程中表中沒有的數值。

相關信息：

若函數f(x)在自變數x一些離散值所對應的函數值為已知，則可以作一個適當的特定函數p(x)，使得p(x)在這些離散值所取的函數值，就是f(x)的已知值。從而可以用p(x)來估計f(x)在這些離散值之間的自變數所對應的函數值，這種方法稱為插值法。

如果只需要求出某一個x所對應的函數值，可以用「圖解內插」。它利用實驗數據提供要畫的簡單曲線的形狀，然後調整它，使得盡量靠近這些點。

如果還要求出因變數p(x)的表達式，這就要用「表格內插」。通常把近似函數p(x)取為多項式(p(x)稱為插值多項式)，最簡單的是取p(x)為一次式，即線性插值法。

在表格內插時，使用差分法或待定系數法(此時可以利用拉格朗日公式)。在數學、天文學中，插值法都有廣泛的應用。

E. n+1個節點的插值型求積公式至少有幾次代數精度

n+1個節點的插值型求積公式至少有n次代數精度,如果是等距節點，n為偶數，可達到n+1次代數精度。

向量α1，α2.....αn是線性相關的，則α1可由α2...αn線性表示。

梯形公式：代數精度1次。梯形求積公式，指n=1時的牛頓一科特斯公式。公式左端是以[a,b]區間上積分，右端為b一a為高、端點函數值為上下底的梯形的面積值，故通稱為梯形公式，具有1次代數精確度。

(5)插值型數值積分計算方法擴展閱讀：

構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n 次插值多項式代替被積函數，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。特別在節點分布等距的情形稱為牛頓-柯茨公式，

當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，准確程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。數值積分還是微分方程數值解法的重要依據。許多重要公式都可以用數值積分方程導出。

F. excel插值法怎麼用公式計算

excel插值法怎麼用公式計算？插值法相信大家聽了都不陌生，可真正到了用的時候，就會感覺一下子摸不著頭腦今天，我就給大家說說如何運用插值法進行數值的計算。
插值法分步閱讀
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如下圖中數據，我們要根據 a 的值計算出與之對應的 b 的值。
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首先，我們假設 a 的值處於所列 x值的中間，如圖所示，假定為 a=3.5，我們即可鎖定 a 值處於 3-4 之間。
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鎖定范圍後，即可運用如圖所示的公式，帶入相應的數值進行 b值的計算，計算結果為750。
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接著，我們假設 a 的值小於最小的 x值，如圖所示，假定為 a=1.5，我們即可鎖定 a 值小於2。
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鎖定范圍後，即可運用如圖所示的公式，帶入相應的數值進行 b值的計算，計算結果為225。
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最後，我們假設 a 的值大於最大的 x值，如圖所示，假定為 a=7，我們即可鎖定 a 值大於6。
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鎖定范圍後，即可運用如圖所示的公式，帶入相應的數值進行 b值的計算，計算結果為1750。
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上述為三種情況下，插值法的計算方法，希望能夠幫到你們！

G. 數值積分方法求解答

求某函數的定積分時，在多數情況下，被積函數的原函數很難用初等函數表達出來，因此能夠藉助微積分學的牛頓-萊布尼茲公式計算定積分的機會是不多的。另外，許多實際問題中的被積函數往往是列表函數或其他形式的非連續函數，對這類函數的定積分，也不能用不定積分方法求解。由於以上原因，數值積分的理論與方法一直是計算數學研究的基本課題。對微積分學作出傑出貢獻的數學大師，如I.牛頓、L.歐拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在數值積分這個領域作出了各自的貢獻，並奠定了這個分支的理論基礎。
構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n 次插值多項式代替被積函數，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。特別在節點分布等距的情形稱為牛頓-柯茨公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)與拋物線公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。龍貝格演算法是在區間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權平均獲得准確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計算結果准確、使用方便、穩定性好等優點，因此在等距情形宜採用龍貝格求積公式(Rhomberg Integration)。當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，准確程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。數值積分還是微分方程數值解法的重要依據。許多重要公式都可以用數值積分方程導出。

H. 怎樣用在matlab中用 newton-cotes數值積分法

一、數值積分基本公式

數值求積基本通用公式如下
Eqn1.gif (1.63 KB)

2009-11-20 23:23

xk：求積節點
Ak：求積系數，與f(x)無關

數值積分要做的就是確定上式中的節點xk和系數Ak。可以證明當求積系數Ak全為正時，上述數值積分計算過程是穩定。

二、插值型數值積分公式

對f(x)給定的n+1個節點進行Lagrange多項式插值，故
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即求積系數為
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三、牛頓-柯特斯數值積分公式

當求積節點在[a,b]等間距分布時，插值型積分公式（先使用Lagrange對節點進行多項式插值，再計算求積系數，最後求積分值）稱為Newton-Cotes積分公式。

由於Newton-Cotes積分是通過Lagrange多項式插值變化而來的，我們都知道高次多項式插值會出現Runge振盪現象，因此會導致高階Newton-Cotes公式不穩定。

Newton-Cotes積分公式的求積系數為
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其中C(k,n)稱為柯特斯系數。

(1)當n=1時，Newton-Cotes公式即為梯形公式
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容易證明上式具有一次代數精度(對於Newton-Cotes積分公式，n為奇數時有n次迭代精度，n為偶數時具有n+1次精度，精度越高積分越精確，同時計算量也越大)

(2)當n=2時，Newton-Cotes公式即為辛普森(Simpson)公式或者拋物線公式
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上式具有3次迭代精度

(3)當n=4時，Newton-Cotes公式稱為科特斯(Cotes)公式
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上式具有5次迭代精度。由於n=3和n=2時具有相同的迭代精度，但是n=2時計算量小，故n=3的Newton-Cotes積分公式用的很少

(4)當≥8時，通過計算可以知道，在n=8時柯特斯系數出現負值

由於數值積分穩定的條件是求積系數Ak必須為正，所以n>=8以上高階Newton-Cotes公式，我們不能保證積分的穩定性(其根本原因是，Newton-Cotes公式是由Lagrange插值多項推導出來的，而高階多項式會出現Rung現象)。

四、復化求解公式

n階Newton-Cotes公式只能有n+1個積分節點，但是高階Newton-Cotes公式由不穩定。為了提高大區間的數值積分精度，我們採用了分段積分的方法，即先將原區間劃分成若干小區間，然後對每一個小區間使用Newton-Cotes積分公式，這就是復化Newton-Cotes求積公式。

(1)當n=1時，稱為復化梯形公式。將[a,b]等分為n份，子區間長度為h=(b-a)/n，則復化梯形公式為

(注意：復化求解公式不需要求積子區間等間距，只是Newton-Cotes公式分段積分時自動對小區間進行等分，我們這里採用等分子區間是為了便於計算而已)
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2009-11-20 23:28

(2)當n=2時，稱為復化辛普森公式。
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五、Newton-Cotes數值積分公式Matlab代碼

I. 數值積分的插值求積

通過插值途徑構成的求積公式。用(x)的以x0,x1，…，xm為結點的插值多項式近似替代(x)後，經過積分可以得到形如（2）的插值型求積公式，其中求積系數特別，若所有的xj都屬於【α,b】，則稱它為內插型求積公式。這是一類最基本的求積公式。由於m+1個結點的插值型求積公式的代數精度至少是m，所以具有一定代數精度的求積公式總是存在的。