特徵向量網路中心度計算方法

⑴ 怎麼計算特徵根 特徵向量

特徵根：

特徵根法也可用於通過數列的遞推公式（即差分方程，必須為線性）求通項公式，其本質與微分方程相同。

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矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非簡並的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。

一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。「特徵」一詞來自德語的eigen。1904年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為」自身的」、「特定於……的」、「有特徵的」、或者「個體的」，這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換的重要性。

從數學上看，如果向量v與變換A滿足Av=λv，則稱向量v是變換A的一個特徵向量，λ是相應的特徵值。這一等式被稱作「特徵值方程」。

假設它是一個線性變換，那麼v可以由其所在向量空間的一組基表示為：

其中vi是向量在基向量上的投影（即坐標），這里假設向量空間為n 維。由此，可以直接以坐標向量表示。利用基向量，線性變換也可以用一個簡單的矩陣乘法表示。上述的特徵值方程可以表示為：

但是，有時候用矩陣形式寫下特徵值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空間是無窮維的時候，上述的弦的情況就是一例。取決於變換和它所作用的空間的性質，有時將特徵值方程表示為一組微分方程更好。若是一個微分運算元，其特徵向量通常稱為該微分運算元的特徵函數。例如，微分本身是一個線性變換因為（若M和N是可微函數，而a和b是常數）

考慮對於時間t的微分。其特徵函數滿足如下特徵值方程：

其中λ是該函數所對應的特徵值。這樣一個時間的函數，如果λ = 0，它就不變，如果λ為正，它就按比例增長，如果λ是負的，它就按比例衰減。例如，理想化的兔子的總數在兔子更多的地方繁殖更快，從而滿足一個正λ的特徵值方程。

特徵根法是數學中解常系數線性微分方程的一種通用方法。特徵根法也可用於通過數列的遞推公式（即差分方程，必須為線性）求通項公式，其本質與微分方程相同。例如 稱為二階齊次線性差分方程： 加權的特徵方程。

⑵ 誰是微信群里最重要的人----社會網路：網路科學之中心度的核心思想

    我們都知道，我們每個人無時不刻都生活在網路之中。朋友圈是一張網，公司是一張網，城市也是一張網。很多問題，你只有上升到網路的高度，才能找答案。

    假設你被好友拉進了一個微信群，裡面有好幾百個人，誰是群里最重要的人呢？

是群主嗎？

是發言最活躍的人嗎？

還是那位三甲醫院的醫生，似乎所有人都對他對都很尊敬？

再進一步說，你作為一個新人，有什麼辦法去提高你在這個圈子裡的重要性呢？

網路科學里有一個工具，叫做「 中心度 」 ，英文是centrality。它測量的是節點在網路中的重要程度。

怎麼測量呢？我們看節點的連接。一個網路由幾百個、幾萬個、甚至上億個節點組成。指向一個節點的連接越多，節點的中心度就越高。

換句話說，在社交圈裡， 你的價值，不取決於你，而是取決於周圍人對你的評價。

中心度，這乍一聽是一個很簡單的概念，其實不然。在網路科學里，中心度有30多種測量方法。而且手算是算不過來的，你必須藉助計算機。把網路先是轉化成一個數學矩陣，輸入到計算機軟體里，然後統計節點之間的連接情況，最後得出各種各樣的中心度。

具體操作比較復雜，但是，你如果只是掌握中心度的核心思想，知道三個最重要、也是最基本的維度就夠了。

這三個維度分別從連接的數量、位置和質量，來衡量節點在網路中的重要性。下面我一一介紹給你。

中心度的三個維度

1. 數量：度中心度 

節點的重要性首先體現在數量上。一般而言，在一個圈子裡， 越多人認識你，你就越重要。

網路科學家把這個維度叫「 度中心度 」，英文叫degree centrality。就是看這個節點周圍有多少節點與它直接相連。連接的數量越多，說明它的影響力和受歡迎程度越高。

公司里，與你協作的同事數量，微信里，你好友的數量，都是你的「度中心度」。

「度中心度」這個概念可以解釋我們生活中的很多現象。比如，為什麼明星的收入高？因為他們的粉絲多，他們的度中心度高，所以，對其他的人，也就是對網路中其他的節點影響力更大。所以，他們作為一個節點的價值就更大。我發一條微博，可能沒有什麼人看。但是，吳亦凡發一條微博，廣告商就願意花上百萬。

在公共衛生領域，對 「度中心度」的關注，也引發了防控傳染病思維上的一次飛躍。比方說，一場傳染病即將來襲，在有限的時間內，衛生部門只能給少部分人注射疫苗。我們應該把這些有限的資源給誰？

基於常識，你也許會毫不遲疑地回答，當然是體質最弱的小孩和老人，他們是最應該受到保護的群體，這也是我們預防傳染病的一貫做法。然而，當科學家把網路分析用於對傳染病的研究後，發現更有效的辦法是給社交網中與他人連接數量最多，也就是「度中心度」最高的人先注射疫苗，才能最大程度地防止病毒的擴散。

2. 位置：中介中心度

衡量節點重要性的第二個維度強調的是一個節點在網路中所處中間人的位置。看的是網路中的其他人之間要傳遞信息或者資源，是不是一定要通過你才能實現。

在網路科學中，這個指標叫 「 中介中心度 」。中介，就是中間人的意思。英文叫Betweeness Centrality。

舉一個例子，我們來看一座城市，莫斯科。莫斯科為什麼會成為俄羅斯的首都？

你如果打開地圖，會發現一件很奇怪的事，莫斯科的位置是很偏的，在俄羅斯的西部，不在帝國的地理中心。

你可能會想猜想，是不是因為莫斯科的「度中心度」比較高呢？

你如果再看歷史，會發現這個解釋也不成立。在12世紀初的時候，俄羅斯公國已經有了39個貿易發達的城市，這些城市都分布在運河沿岸。然而，在這些城市中，莫斯科能夠直接通航的城市並不是最多的，甚至連前三名都擠不進去，只能排第五。也就是說，莫斯科的「度中心度」不佔優勢。但是，就在短短的100年後，莫斯科居然就成為了俄羅斯公國的都城，進而在15世紀成為俄羅斯帝國的首都和經濟中心。這是為什麼呢？

讓莫斯科成為首都的原因，是「中介中心度」，莫斯科在這個維度上排在首位。莫斯科處在很多城市間的航運通道上，換句話說，就是從一個城市到另一個城市，你必須得經過莫斯科。這樣，莫斯科就對俄羅斯的政治、經濟、信息等各種資源具有強大的掌控能力，其他城市對它的依賴性也日益增強。

而且，當時的河運貿易，每經過一個城市都要支付一定的關稅。經過莫斯科的城市間貿易量越大，收的稅就越多。因此，在這場城市崛起的競爭賽中，莫斯科最終成為了俄羅斯帝國最重要的經濟和政治中心。

再舉一個我們生活中的例子。

在辦公室里，大家最不願意坐的位置就是過道，人來人往地，很容易被人打擾。但其實，在過道辦公有一個天大的好處，就是能夠提高你的「中介中心度」。

有人研究了MIT的學生宿舍就發現，最受歡迎的學生往往住在樓梯口或者垃圾桶附近。這些地段天然會提高你和大家打招呼、互動的概率，增加讓大家了解你、喜歡你的機會，所以，你的人緣就會更好。在公司里也一樣，如果你想跟大家打成一片，最簡單的辦法，就是從安靜的角落搬到過道去。

中介中心度告訴我們，你的價值，不僅取決於周圍人對你的評價，而且取決於周圍人對你的依賴程度。

3. 質量：特徵向量中心度 

剛剛講的兩個維度，一個衡量的是節點的數量，一個衡量的是節點在網路內中介的位置。還有一個維度沒有考慮到，那就是與你相連接的節點的質量。

這就是我今天要介紹的測量中心度的第三個維度，叫「 特徵向量中心度 」，英文是Eigenvector Centrality。

這個測度不僅關注一個節點，有多少節點指向它，還關注指向它的節點自身有多大的影響力，品質如何？也就是說，你的「鄰居」越重要，你也就越重要。

搜索引擎在給網頁排名的時候，就遇到了這么一個問題。最早的搜索結果排名，都是按照與一個網頁建立鏈接的其它網頁的數量來排的。想起來也很有道理，如果願意和一個網站或網頁產生鏈接的其它網頁越多，那就說明這個網站越重要。

但是道高一尺魔高一丈，有的網站了解這個規則後，就製造了大量的「水軍」網頁，把它們與想要提高排名的網頁連起來，讓後者在搜索結果里能夠排在最前面。而谷歌的創始人就採用了一種新的演算法，它不僅關注一個網頁有多少網頁指向它，還關注指向它的網頁自身有多大的影響力，即指向它的網頁又有多少。這就是特徵向量中心度。

就好比，一個人有很多朋友，但都是普通人，另一個人朋友不多，但是與他交往的都是商業大佬，顯然是後者的朋友圈更有價值。

特徵向量中心度告訴我們， 你的價值，不僅取決於周圍人對你的評價和依賴程度，還取決於這些人的分量和價值。

職場上有一句話，首先要你自己行，然後要有人說你行，最後說你行的人要行。「說你行的人要行」，就是特徵向量中心度。

微信群里誰最重要？

你可能會問，講了這么多維度，那這三種中心度之間的關系是什麼呢？哪個維度更重要呢？

科學地說，首先，這三個維度在統計上具有很高的相關性，在一個維度上重要性很高的節點，在其他維度上一般也比較重要。

比如說，一個微信群里，群主是建立微信群的人，所以，群里誰和他都認識。他的度中心度是最高的。但與此同時，你要認識一個什麼人，可以通過群主的介紹，所以，群主的中介中心度也很高。

但是，這三個維度又各有側重，因此一個網路里並沒有一個最重要的節點，而是有好幾個重要節點，它們的重要性體現在了不同的維度上。

比如說，群主可能只是一個熱心的組織者，群里有老闆，有大V，還有專家，所以，群主的特徵向量中心度並不高。

比如說，群里有一個人經常潛水，不怎麼發言，群里很多人也不認識他，但是，群里最有地位、最有聲望的幾個人都對他評價很高，那麼，即使他的度中心度和中介中心度都很低，他的特徵向量中心度反而是最高的。

再比如說，群里有一位三甲醫院的醫生，這可是人人都仰仗的資源，即便他在群微信里的度中心度和特徵向量中心度不高，他在這個微信群和醫生群體之間的中介中心度可是最高的。

你看，一個微信群，群主、大V、三甲醫院的醫生，誰最重要，取決於你最看重哪個維度。這就是工具的價值。它把我們腦子里原本一團漿糊的東西，梳理得清清楚楚。

最後還有一個問題。假如你進入了一個新的圈子，不管它是一個微信群，還是一個公司或者行業，如果你想提升自己的中心度，可以怎麼辦呢？

你也可以從今天講的中心度的三個維度去思考：

比如，作為一個新人，要在短時間內提高人脈的數量（度中心度），可能比較困難，但是你可以考慮從質量（特徵向量中心度）入手，看看能否得到圈內大佬的親睞。搞定這一個人或者幾個人，就可以迅速提高你在網路中的中心度。

你也可以考慮從位置（中介中心度）著手，讓你成為他人發生聯系時很難被替代的中間人。我在下一講會講到一個概念，叫做「結構洞」，講的就是這件事，或許對你有啟發。

總結一下，中心度，是衡量節點重要程度的工具。衡量中心度有三個最基本的維度

度中心度 ：越多人認識你，你就越重要；

中介中心度 ：越多人依賴你，你就越重要。

特徵向量中心度 ：「鄰居」越重要，你也就越重要。

這三個維度分別從連接的數量、位置和質量，來衡量節點的重要性。了解了「中心度」這個概念後，你還可以用它來重新評估一下你的人脈，考慮是否應該調整在不同圈子裡的社交策略。

⑶ 特徵向量怎麼求

從定義出發，Ax=cx：A為矩陣，c為特徵值，x為特徵向量。

矩陣A乘以x表示，對向量x進行一次轉換（旋轉或拉伸）（是一種線性轉換），而該轉換的效果為常數c乘以向量x（即只進行拉伸）。

通常求特徵值和特徵向量即為求出該矩陣能使哪些向量（當然是特徵向量）只發生拉伸，使其發生拉伸的程度如何（特徵值大小）。

(3)特徵向量網路中心度計算方法擴展閱讀：

數值計算的原則：

在實踐中，大型矩陣的特徵值無法通過特徵多項式計算，計算該多項式本身相當費資源，而精確的「符號式」的根對於高次的多項式來說很難計算和表達：阿貝爾－魯費尼定理顯示高次（5次或更高）多項式的根無法用n次方根來簡單表達。

對於估算多項式的根的有效演算法是有的，但特徵值的小誤差可以導致特徵向量的巨大誤差。求特徵多項式的零點，即特徵值的一般演算法，是迭代法。最簡單的方法是冪法：取一個隨機向量v，然後計算一系列單位向量。

⑷ 如何用Pajek或Ucinet計算網路的流介數中心性和特徵向量中心性

在gephi裡面 有自帶的 算介數中心性 和 特徵向量中心度的 功能

⑸ 線性代數特徵值的特徵向量計算，要詳細過程

求特徵值就是求解下面方程的解(s是待求的特徵值, E是單位矩陣 |B|表示B的行列式)
|s*E-A| = 0 帶入得到 (s+1)*(s-1)^2 = 0
所以特徵值為-1, 1, 1
分別帶入 s = -1, 1, 1
求解方程 (A-s*E)*x = 0 得到特徵向量分別為
對應於-1 的特徵向量 :(-3,1,0)
對應於 1 的特徵向量 :(1,0,1)

⑹ 特徵值的計算方法

設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

(6)特徵向量網路中心度計算方法擴展閱讀

判斷相似矩陣的必要條件

設有n階矩陣A和B，若A和B相似（A∽B），則有：

1、A的特徵值與B的特徵值相同——λ(A)=λ(B)，特別地，λ(A)=λ(Λ)，Λ為A的對角矩陣；

2、A的特徵多項式與B的特徵多項式相同——|λE-A|=|λE-B|；

3、A的跡等於B的跡——trA=trB/ ，其中i=1,2,…n（即主對角線上元素的和）；

4、A的行列式值等於B的行列式值——|A|=|B|；

5、A的秩等於B的秩——r(A)=r(B)。[1]

因而A與B的特徵值是否相同是判斷A與B是否相似的根本依據。

⑺ 怎樣求特徵值和特徵向量

求特徵值的傳統方法是令特徵多項式｜ AE－A｜ ＝ 0，求出A的特徵值，對於A的任一特徵值h，特徵方程（ aE－ A）X＝ 0的所有非零解X即為矩陣A的屬於特徵值N的特徵向量兩者的計算是分割的，一個是計算行列式，另一個是解齊次線性方程組，且計算量都較大。使用matlab可以方便的計算任何復雜的方陣的特徵值和特徵向量：

1、首先需要知道計算矩陣的特徵值和特徵向量要用eig函數，可以在命令行窗口中輸入help eig，查看一下eig函數的用法，如下圖所示：

注意事項：

特徵值和特徵向量的應用：

1、可以用在研究物理、化學領域的微分方程、連續的或離散的動力系統中。例如，在力學中，慣量的特徵向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質心轉動的關鍵數據；

2、數學生態學家用來預測原始森林遭到何種程度的砍伐，會造成貓頭鷹的種群滅亡；

3、著名的圖像處理中的PCA方法，選取特徵值最高的k個特徵向量來表示一個矩陣，從而達到降維分析+特徵顯示的方法，還有圖像壓縮的K-L變換。再比如很多人臉識別，數據流模式挖掘分析等方面。

⑻ （在線等！）求特徵值和特徵向量的步驟是

令|A-λE|=0，求出λ值。A是n階矩陣，Ax=λx，則x為特徵向量，λ為特徵值。

設矩陣為A，特徵向量是t，特徵值是x，At=x*t，移項得（A-x*I）t=0，

∵t不是零向量

∴A-x*I=0，（2-x）（1-x）（-x）-4（2-x）=0，化簡得（x-2）（x^2-x-4）=0，

∴矩陣有三個特徵值：2，（1±根號17）/2。把特徵值分別代入方程，設x=（a，b，c），可得到對於x=2，b=0，a+c=0，對應x=2的特徵向量為（-1，0，1）（未歸一化），其它x的一樣做。

求矩陣的全部特徵值和特徵向量：

1、計算的特徵多項式；

2、求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；

3、對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組：的一個基礎解系，則的屬於特徵值的全部特徵向量是（其中是不全為零的任意實數）

[注]：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定。反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。

以上內容參考：網路-特徵值