計算方法中不動點是什麼意思

1. 非線性運算元的不動點及可解性

下面是幾類重要的不動點定理。 單調運算元的概念起源於可微凸泛函的導數。設φ是在B 空間X 上定義的這種函數，則〈φ┡(x)-φ┡(y)，x－y〉≥0，對任意的x,y∈X,其中<，>表示X與X 之間的對偶。直線上的可微凸函數的導函數是單調不減的，於是就把滿足下面這些條件的運算元T:X→X，
稱為單調運算元，如果α>0則稱為強單調運算元。自反B空間上弱線段連續的強單調運算元是 X→X 的滿射(所謂弱線段連續，指對任意的x,y∈X，T(x+ty)→T(x)當 t→0)。這個滿射性定理是G.J.明蒂、F.E.布勞德給出的，它在非線性運算元半群理論、非線性發展方程以及一類非線性橢圓型方程的存在性理論中經常用到。 在從有窮維到無窮維空間的過渡中，運算元的緊性概念起重要的作用。所謂T是緊運算元,是指它連續，並映有界閉集入緊集。利用緊性，J.P.紹德爾把布勞威爾不動點定理推廣到賦范線性空間：任意一個映非空、有界、閉、凸集C於自身的緊運算元至少在C上有一個不動點。這個定理是一個非常基本的不動點定理。尤其在微分方程理論中，它是證明存在性的一個重要依據。
紹德爾不動點定理的另一種形式是把運算元的緊性減弱為連續性，而集合 C則加強要求是緊的。從幾何上看，這種形式的不動點的存在問題可以化歸更一般的一族集合具有非空交的問題:對任意x∈C,令G(x)={y∈C|‖y－Ty‖≤‖x－Ty‖}。顯然,若有∈∩{G(x)|x∈C}，則是T的不動點。樊畿在一般拓撲線性空間的子集A上考察到這空間的集值映射F。他證明：設F滿足對任意的有窮子集，又設F(x)是閉子集，並且其中至少有一個是緊的，則∩{F(x)|x∈A}≠═。從這定理導出的一系列不動點定理和相交性定理在對策論與數理經濟學中占據重要的位置。
有窮維空間之間的連續映射的拓撲度常被用來估計不動點的個數，它也是證明各種不動點定理的有力工具。J.勒雷、紹德爾將這一概念推廣到B 空間上的恆同運算元的緊擾動T=Id－K其中K是緊運算元。對於有界開集Ω，當p唘T(дΩ)時，記degLS(T,Ω,p)為對應的勒雷－紹德爾度，它具有下列基本性質。①同倫不變性：設Kt在捙×【0,1】上緊,Tt=Id-Kt,當p唘Tt(дΩ)對任意的t∈【0,1】時，則degLS(Tt,Ω,p)=常數。②平移不變性：degLS(T，Ω,p)=degLS(T-p,Ω，θ)。③區域可加性：設開集Ω1，Ω2嶅Ω滿足：且，則④規范性：
涉及到緊性的勒雷－紹德爾度以及由其導出的不動點定理可以推廣到一些非緊運算元類。由K.庫拉托夫斯基的非緊性度量概念規定的一些運算元類，例如,α集壓縮運算元,它包含緊運算元為特殊情形,就屬這種非緊運算元類。此外，對非線性弗雷德霍姆運算元也能定義拓撲度，使之保持許多重要性質。後者在無窮維流形的研究中經常要用到。
在另一個方向上,勒雷-紹德爾度和有關的不動點定理還被推廣到集值映射F，其中F(x)是凸集。 在關序空間(P,≤)上，一個運算元T:P→P稱為是保序的，如果x≤y蘊含了Tx≤Ty對任意的x，y∈P。對保序運算元也有許多不動點定理,類似於壓縮映射定理，在半序結構中有如下結論：若存在b∈P使得b≤Tb，且P的每個全序子集都有上確界,則T的不動點集非空,且有極大元。這種類型的不動點定理在代數學、自動機理論以及計算方法中很有用。
即使在完備度量空間(X，d)上，本來沒有半序結構，但可藉助於一個實值函數 φ來規定半序。下列不動點定理甚至對運算元T沒有連續要求。設T:X→X是任一映射,滿足：d(x,Tx)≤φ(x)-φ(Tx)，對任意x∈X,式中φ是下半連續的、有下界的實值函數，則T至少有一個不動點。

2. 不動點方法求解析式，不動點是什麼（具體）為什麼可以用一般情況下，怎麼用理論依據是

至於為什麼用不動點法可以解得遞推數列的通項，這足可以寫一本書。但大致下面結合不動點法求通項的各種方法看幾個具體的例子吧。 例1：已知a[1]=

3. 不動點求數列通項公式的原理是什麼

關於方程的一種一般理論。數學里到處要解方程,諸如代數方程、函數方程、微分方程等等，種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成ƒ(x)=x的形狀，這里x 是某個適當的空間Χ中的點，ƒ是從Χ到Χ的一個映射或運動，把每一點x移到點ƒ(x)。方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ這個運動之下被留在原地不動的點,故稱不動點。於是,解方程的問題就化成了找不動點這個幾何問題。不動點理論研究不動點的有無、個數、性質與求法。研究方法主要是拓撲的和泛函分析的（見非線性運算元）。
http://ke..com/view/591450.html

4. 不動點法解數列通項公式問題

當f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。

典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)

註：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定系數，又要求倒數之類的，太復雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了。

令x=(ax+b)/(cx+d) ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。令此方程的兩個根為x1，x2，若x1=x2 ，則有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，其中P可以用待定系數法求解，然後再利用等差數列通項公式求解。

註：如果有能力，可以將p的表達式記住，p=2c/(a+d)若x1≠x2則有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)

其中q可以用待定系數法求解，然後再利用等比數列通項公式求解。

(4)計算方法中不動點是什麼意思擴展閱讀：

設含有n個未知數與n個方程的非線性方程組為F(x)=0，然後把方程組改為便於迭代的等價形式x=ψ(x)，由此就可以構造出不動點迭代法的迭代公式為xk+1=ψ(xk)，如果得到的序列{xk}滿足lim(k→∞)xk=x*，則x*就是ψ的不動點，這樣就可以求出非線性方程組的解。

不動點法(fixed point method)是解方程的一種一般方法，對研究方程解的存在性、唯一性和具體計算有重要的理論與實用價值。數學中的各種方程，諸如代數方程、微分方程和積分方程等等，均可改寫成中的不動點。這一方法把解方程轉化為求某個映射的不動點，故而得此名。其優點在於可以把幾何、拓撲和泛函分析中較深刻的工具應用於方程論。

5. 數學中的不動點理論是怎麼回事

常見的不動點定理

壓縮映射原理
(C.(C.-)É.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：設X是一個完備的度量空間，映射ƒ:Χ→Χ
把每兩點的距離至少壓縮λ倍，即d（ƒ（x），ƒ(y))≤λd(x,y)，這里λ是一個小於1的常數，那麼ƒ必有而且只有一個不動點,而且從Χ的任何點x0出發作出序列x1=ƒ（x0），x2=ƒ（x1），...，xn=ƒ（x(n-1)），...，這序列一定收斂到那個不動點。這條定理是許多種方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理論基礎。由於分析學的需要，這定理已被推廣到非擴展映射、概率度量空間、映射族、集值映射等許多方面。

Brouwer不動點定理
(1910):
設Χ是歐氏空間中的緊凸集,那麼Χ到自身的每個連續映射都至少有一個不動點。用這定理可以證明代數基本定理：復系數的代數方程一定有復數解。把布勞威爾定理中的歐氏空間換成巴拿赫空間，就是紹德爾不動點定理(1930)，常用於偏微分方程理論。這些定理可以從單值映射推廣到集值映射，除微分方程理論外還常用於對策論和數理經濟學。

Kakutani不動點定理
:
設C是R^n中的緊凸集,
f為從C到C的非空凸子集的上半連續的點-集映射.
則至少存在一點x*,
使得x*∈f(x*).
1941年,
Kakutani把Brouwer不動點定理推廣到有限維空間中多值映射的情形.
不動點指數
不動點的個數有兩種數法。代數上通常說n次復多項式有n個復根，是把一個k重根算作k個根的;如果不把重數統計在內，根的個數就可以小於n。推廣根的重數概念，可以定義不動點的指數，它是一個整數，可正可負可零，取決於映射在不動點附近的局部幾何性質。一個映射的所有不動點的指數的總和，稱為這映射的不動點代數個數，以別於不動點的實際個數。萊夫謝茨不動點定理:設Χ是緊多面體,ƒ:Χ→Χ是映射,那麼ƒ的不動點代數個數等於ƒ的萊夫謝茨數L(ƒ)，它是一個容易計算的同倫不變數，可以利用同調群以簡單的公式寫出。當L(ƒ)≠0時，與ƒ同倫的每個映射都至少有一個不動點。這個定理既發展了布勞威爾定理，也發展了關於向量場奇點指數和等於流形的歐拉數的龐加萊－霍普夫定理，把它進一步推廣到泛函空間而得的勒雷－紹德爾參數延拓原理，早已成為偏微分方程理論的標準的工具。
J.尼爾斯1927年發現，一個映射ƒ
的全體不動點可以自然地分成若干個不動點類，每類中諸不動點的指數和都是同倫不變數。指數和不為0的不動點類的個數,稱為這映射的尼爾斯數N(ƒ)。只要Χ是維數大於2的流形，N(ƒ)恰是與
ƒ同倫的映射的最少不動點數。這就提供了研究方程的解的實際個數（而不只是代數個數）的一種方法。
萊夫謝茨定理的一個重要發展是關於微分流形上橢圓型運算元與橢圓型復形的阿蒂亞－辛格指標定理與阿蒂亞-博特不動點定理。
不動點的計算
上述各種不動點定理，除壓縮映射原理外，都未給出不動點的具體求法。由於應用上的需要，不動點演算法的研究正在蓬勃發展，以求把拓撲的思路落實為快速、實用的計算方法。

6. 不動點法求解數列通項公式問題

嗯，是這樣的，首先你要明白，並非所有函數都有不動點，作為特殊函數的數列當然也是如此
沒有解的話有兩種情況，一種就是上面說的，沒有不動點，不能用這種方法求通項
二，存在不動點，但不動點非整
同時建議這位同學，不動點是一個方法但非萬能，而且在很多時候即使可用也非最優的方法，考試切勿作首選方法

7. 什麼是不動點原理 還有 Brouwer 不動點定理，不動點法，不動點的運用，證明

好像是滿足f(x)=x的點，這個好像用於求近似解什麼的。
網上是這么寫的：
布勞威爾不動點定理得名於荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（英語：L. E. J. Brouwer）。布勞威爾不動點定理說明：對於一個拓撲空間中滿足一定條件的連續函數f，存在一個點x0，使得f(x0) = x0。布勞威爾不動點定理最簡單的形式是對一個從某個圓盤D射到它自身的函數f。而更為廣義的定理則對於所有的從某個歐幾里得空間的凸緊子集射到它自身的函數都成立。
數列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A後的括弧代表下標）求An通項

這道體我當時記了個方法：原式變形後 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝為公比-2的數列；｛A(n+1)+2An｝為公比1的數列
然後聯立 解出來

上述方法，應該說是特徵根法和不動點法。
特徵根：
對於多個連續項的遞推式（不含常數項），可化為X的(n-1)次方程.
即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可寫為：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然後求出根（實根虛根都可以），不同項寫成C*x^(n-1),相同項寫成關於n的整式，有多少同根，n的次數就是同根數減1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通項就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系數，要靠已知項聯立方程求解。

不動點：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大於等於1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
{(an-2)/(an+1)}為等比數列
令(an-2)/(an+1)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]
(將a(n+1)用*式換成an)
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)
an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1

註：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不為0的分式遞推式都可用不動點法求。讓a(n+1)=an=x，代入化為關於x的二次方程
(1)若兩根x1不等於x2，有{(an-x1)/(an-x2)}為等比數列，公比由兩項商求出
(2)若兩根x1等於x2，有{1/(an-x1)}為等差數列，公差由兩項差求出
若無解，就只有再找其他方法了。
並且不動點一般只用於分式型上下都是一次的情況，如果有二次可能就不行了。
當你打開地圖，找到你所在的位置，也許你不知道，但是你驗證了一個數學中重要的定理——「不動點原理」中的「壓縮影像定理」。如果你的地圖還很不規則，嚴重的變形，那麼你還做了數學家認為很困難的事—在復雜的情況下，找到了不動點。

解方程無疑是數學中非常重要的問題，諸如代數方程、函數方程、微分方程等等，這些方程都能改寫成ƒ(x)=x形式，這就是不動點原理，數學家證明了很多不動點存在定理，但是具體找到不動點，除了特殊情況，依然是十分困難的事情。

不動點原理有很多種形式，涉及到很多數學分支，有關科普性的介紹可以參見【1】，【2】，在此我們不展開詳細討論。

不動點原理有著很直觀的幾何意義，本文我們通過幾個例子，試圖使大家對不動點原理抽象的概念有一個直觀的理解。
不動點例子：
例一

假設你有一把精確的理想米尺A、將A縮小為B（不要求均勻按比例），再任意的放到A上，這時在相同的位置上，A與B刻度很可能不同，例如B的10cm也許在A的15cm上。但是，不動點原理告訴我們，B上必有一點，在A，B上有相同的刻度，即所謂的「不動點」。用數學語言描述這一過程：如果一條線段經過連續變換F，但其每個點仍然在這個線段上，也就是F(A)包含在A中，則必有一點位置c不變，即F(c)=c。

如果是按比例縮小，我們可以用幾何方法很容易證明這一命題【3，p136】。對一般情況，我們可以這樣直觀的證明：

設A的參數是t，壓縮變換F: A→B（A包含B），假設F可微分，v=dF/dt。想像兩只螞蟻a、b分別在A，B的起始端向終端爬行，a以速度1勻速運動，b以速度v（變速）運動，則a，b在相同的時刻分別在A，B的相同刻度上，直觀的看，必有某個時刻T，a，b相遇，相遇的點就是「不動點」。

（但是要是具體找出這個點，隨著F的復雜性會變得很困難。）

例二

我們再看二維的情景：將地圖A，例如中國地圖，縮小（不要求均勻按比例）後記為B，將B任意地放到原圖A上，地圖B的每一個點在A上都有了新的位置，也許B的北京在A的上海位置，南京在成都位置。但不動點原理告訴我們：B上必有一個點位置沒有動，即該點在兩張地圖A、B上表示相同的位置。

如果按比例縮小，我們可以用平面幾何（不很容易）證明【3，p138】。對一般情況，這個例子我們很難給出一個簡單直觀的證明（如果學過區間套定理，可以利用該定理證明，證明思路可參考後面列舉的一段微博對話），但我們可以給出一個很直觀的解釋：

想像你有一台精確的理想GPS，但是屏幕嚴重變形，如此，屏幕上顯示一個變形且縮小的中國地圖。如果我們把中國國土看作一個大的地圖A，GPS屏幕上的地圖看作這個地圖的縮小B，那麼屏幕上顯示你當前位置的點就是這個所謂的「不動點」。

事實上，當你用地圖查找你所處的位置，就是尋找不動點（附近）的過程，假若你的地圖又很不規則，那麼你正在做一件數學上很困難的事情，找到不動點（附近）。

例三

再看三維的例子：我們把一塊理想的蛋糕A從各個方向（不一定各向均勻）壓縮成B，並在A內部任意移動，則不動點原理告訴我們：蛋糕中必有一個點沒有位移，即不動點。

類似例二，直觀上，我們可以這樣理解：

把中國國土連同1000米上空看作一個大的蛋糕，假設你有一台未來的三維精確理想的GPS，而且假設你在空中懸浮（坐飛機，熱氣球？），你可以想像這個三維的GPS就是那個壓縮後的蛋糕，這個GPS顯示的你當前位置就是這個不動點。

看過上述3個例子，我們可以發現它們只是同一個問題在一、二、三維空間的直觀描述。在這個過程中「圖像壓縮」了，因而，這一現象在數學中稱作 「壓縮影像定理」，它是諸多「不動點原理」中的一個，「壓縮影像定理」有更一般的表述方式【1】，【2】。

微博上曾有一個關於壓縮影像的有趣的對話：
實際上這段對話描述的就是壓縮影像定理的證明思路。你可以類似的證明壓縮影像定理，設壓縮的函數表達為F，即F：A→A，B=B(1)=F(A)，B(n)=F(B(n-1))，如果F類似我們上述三個例子的條件，則B(n)收斂，其極限就是我們要求的不動點。

下面我們再看一個很不直觀的例子，及一個有趣，但有些不可思議的推論。

例四

數學家總是充滿好奇，總是試圖討論更廣泛的問題。按照這個思維定勢，下面很自然會問，球面上會如何？球面由於其空間的結構不同，問題要復雜得多，我們有如下結論：

Brouwer定理：設F是（2維）球面到球面自身的連續映射，則必有一個點c，使得F(c)=c 或者 –c。即F或者有一個不動點，或者有一個點映射到其對徑點（過c的直徑在球面上連接的另一個點）。

這個命題證明很復雜，需要用到代數拓撲理論，即使直觀理解起來也很困難（至少我沒有辦法像前面的例子那樣去直觀的描述）。但是，利用這個命題，數學家（不是氣象學家）可以得到一個很有趣，又很不直觀的斷言：任何時刻，地球上總有一點不刮風（水平方向風速為零）。

這個斷言看起來與Brouwer定理風馬牛不相干，但證明並不難。我們可以用反證法這樣證明這個斷言：

為了方便起見，不妨假設地球是單位球面（半徑為1），球面上的點可以看作單位向量，而球面到球面的映射可以看作單位向量間的映射。假設在某一時刻，地球任何一點x的風速V(x)（水平方向向量）都不為零，那麼向量V(x)與圓心o到點x的向量ox垂直，而V(x)/ |V(x)|，其中|V(x)|為向量V(x)的長度，可以看作（單位）球面上的點，且與ox垂直。於是我們可以構造一個（單位）球面到自身的映射F：ox→V(x)/ |V(x)|。不難看出該映射把向量ox映射到與其垂直的向量，所以既不是其自身，也不是其對徑點-ox，而這與Brouwer定理矛盾。因而，假設不成立，所以在任一時刻地球上必有一點沒有風。

更一般的，對所有偶數維球面上述Brouwer定理，及我們的斷言仍然成立。

但是對奇數維球面上述命題並不成立，Brouwer定理有更為復雜的形式。

對奇數維球面，我們可以利用線性代數構造一個反例：

用一個偶數2n階的沒有實特徵根的正交矩陣O，自然作用在2n維歐氏空間上，它將奇數2n-1維單位球面變換到自身，易證：不存在這樣的點，在O的作用下，不動（特徵根為1的特徵向量），或者變為對徑點（特徵根為-1的特徵向量）。

註： Brouwer定理在有些科普書以及網上（如：【1】、【3】）錯誤的表述為：設F是球面到球面自身的連續映射，則必有一個點使得F(x)=x，即有不動點。

註：作為慣例，一般中文數學教科書或數學論文為了避免混淆，句號不使用「。」，而是用英文句號「.」，本文作為科普文章，沒有沿襲這個慣例。
比較亂，因為我也很無知....

8. 求詳細的不動點和特徵根解數列方法（要有詳細過程）

函數的不動點，在數學中是指被這個函數映射到其自身一個點
也就是說不動點(x,f(x))在直線y=x,若存在就滿足方程
比如說,如果f(1)=1,那麼這個點(1,1)就是函數f(x)的不動點
特徵方程就是解某些類型的數列,一般都可以構造出一個等比數列或等差數列
Aa(n+1)+Ba(n+2)+Ca(n+3)=0(ABC≠0)
此類一般設a(n+2)-αa(n+1)=β[a(n+3)-αa(n+2)]
a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D),有例題
http://..com/question/118794652.html?si=6
a(n+1)=pan+q
一般設a(n+1)-α=β(an-α)
a(n+1)=pan+qn+t
一般設a(n+1)+[x(n+1)+y]=p(xn+y)