曲面積分計算方法

❶ 第一類曲面積分如何求

計算步驟如下：
cosαds=dx
cosβds=dy
cosγds=dz
α、β、γ分別為曲線與x軸、y軸、z軸的夾角則I=∫[L]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))sqrt[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt
曲線積分簡介：設有一曲線形構件佔xOy面上的一段曲線
，設構件的質量分布函數為ρ(x,y)，設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續，求構件的質量。對於密度均勻的物件可以直接用ρS求得質量；對於密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。定義：設L為xOy平面上的一條光滑的簡單曲線弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一點列M1,M2,M3…,Mn
把L
分成
n個小弧段ΔLi的長度為ds，又Mi(x,y)是L上的任一點，作乘積f(x,y)i*ds,並求和即Σ
f(x,y)i*ds，記λ=max(ds)
，若Σ
f(x,y)i*ds的極限在當λ→0的時候存在，且極限值與L的分法及Mi在L的取法無關，則稱極限值為f(x,y)在L上對弧長的曲線積分，記為:∫f(x,y)*ds
;其中f(x,y)叫做被積函數，L叫做積分曲線，對弧長的曲線積分也叫第一類曲線積分。

❷ 第二類曲面積分如何計算

第二類曲面積分是矢量場通過有向曲面的面積分，不會遇到投影圖為一條線段或者是封閉的曲線的情況，因為矢量v
和ds的點乘在正交情況下為零。
三重積分計算的是對空間體積內的積分，不會在所圍體積外積分，對球體的積分利用球面坐標來計算，最後轉化成
定積分算出，談不上要加什麼負號問題！只有調換積分的上下限才改變符號！
從以上問題來看基礎知識你掌握的不好！

❸ 曲面積分

不難學的，哥們給你說說吧：
第一類曲線積分，可以通過將ds轉化為dx或dt變成定積分來做，但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關系，只有通過轉化為第二類曲線積分後，要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件，可以用公式轉化為簡單的曲面積分，再將曲面積分投影到坐標面上轉化為二重積分來計算，這是第一類曲線積分和二重積分關系，但是第一類曲線積分和三重積分么有任何關系……
第一類曲面積分，可以通過公式變換，將dS轉化為dxdy，直接轉化為二重積分來做，但是和三重積分沒有任何關系，只有通過轉化為第二類曲面積分，滿足了高斯公式條件，才能用高斯公式轉化為三重積分來計算
曲線積分與定積分，曲面積分與二重積分的區別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式，意思是在曲線上或曲面上進行積分的，而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz坐標上進行積分，所以要將第一類曲線積分，第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz坐標進行積分，另外既然給定了曲線或曲面方程，就可以根據方程把一個量表示成其他的兩個量的關系，因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的，所以要滿足給定的曲線或曲面的方程，所以各個量之間可以代換的，這個普通的定積分和二重積分不能這么做的……
第一類曲線積分：對線段的曲線積分，有積分順序，下限永遠小於上限……求解時米有第二類曲線積分簡單，需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式，進行積分，這個公式書裡面有的，就是對參數求導，然後再表示成平分和的根式……
第二類曲線積分：對坐標的曲線積分，沒有積分順序，意思是積分上下限可以顛倒了……
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關系：可以用餘弦進行代換，餘弦值指的是線段的切向量，這個書本裡面的，我就不寫了
第一類曲面積分：對面積的曲面積分，求解時要通過給定的曲面方程形式，轉化成x與y的形式，這個公式書裡面也有的，就是求偏導吧？然後表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分：對坐標的曲線積分，這個簡單一些，好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯系：可以用餘弦代換，但是這個餘弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯系，方便你記憶：都是要轉化成在xyz坐標面上的積分，都是平方和的根式形式，但是第一類曲線積分是對參數求導，第一類曲面積分是求偏導，為何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直線代替曲線，相當於正方體求對角線，你想想是不是，肯定要出現平方和的根式，你好好看看推導過程……
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關系：
第二類曲線積分如果封閉的話，可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話，可以用高斯公式進行化簡
這些東西很有趣的，你要學會對應的記憶啊……
希望對你能有所幫助。

❹ 利用高斯公式計算曲面積分

利用高斯公式計算曲面積分是3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫[(y-1/2)+1/2]dxdydz，在靜電場中，穿過任一封閉曲面的電場強度通量只與封閉曲面內的電荷的代數和有關，且等於封閉曲面的電荷的代數和除以真空中的電容率。
曲面積分定義在曲面上的函數或向量值函數關於該曲面的積分。曲面積分一般分成第一型曲面積分和第二型曲面積分。
第一型曲面積分物理意義來源於對給定密度函數的空間曲面，計算該曲面的質量。第二型曲面積分物理意義來源對於給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量。

❺ 第二類曲面積分的計算方法z=z(x,y)

從你的表述上來看,你只要化dydz為dxdy,
給出S曲面的方向即可了.
令p(x,y,z)=yf(x,y,z)+x a為曲面上點的法向量,與x軸正向的夾角,c為法向量與y正向的夾角
則∫∫S p(x,y,z)dydz=∫∫S p(x,y,z)cosads 由於dydz=cosads 所以不必考慮方向
=∫∫S p(x,y,z) cosa/cosc *cosc ds
=∫∫S p(x,y,z) cosa/cosc dxdy
所以只要確定了cosa,cosb,cosc的正負,在曲面積分坐標轉換時就不必再考慮方向問題了.
至於什麼時候要考慮方向問題,我也提一下吧:
在我們要計算第二類曲面積分的時候:
出了高斯公式等,我們一般就是先把他們轉化成各個坐標平面上的二重積分:
此時就應該考慮方向問題:
比如根據c (即曲面法向量與z軸的夾角)
積分曲面S由單值函數z=z(x,y)給出,S在x0y平面的投影為Dxy,
我們有∫∫S R(x,y,z)dxdy=±∫∫(Dxy) R[x,y,z(x,y)]dxdy

❻ 第二類曲面積分公式

第二類曲面積分的計算有三種方法
,利用高斯公式可以簡化曲面積分的計算。該文通過糾正同濟大學數學教研室主編的《高等數學》教材中的一典型錯誤
,重點分析高斯公式的條件和結論
,進而說明在曲面積分計算中如何運用好高斯公式
第二類曲面積分
∑Pdydz
+Qdzdx
+Rdxdy的計算方法有
:(一
)通過投影法化為二重積分。(二
)利用兩類曲面積分之間的聯系進行轉化。(三
)利用高斯公式1、若
P、Q、R在閉曲面所圍成的空間閉區域Ω上具有一階連續偏導數
,則
∑Pdydz
+Qdzdx
+Rdxdy
=
Ω
P
x+
Q
y+
R
z
dv其中
∑

❼ 曲面積分補面法公式

曲面積分補面法公式∫∫∫（x+y+z）dv。

在靜電學中，表明在閉合曲面內的電荷之和與產生的電場在該閉合曲面上的電通量積分之間的關系。 高斯定律表明在閉合曲面內的電荷分布與產生的電場之間的關系。

定義

在曲面上的函數或向量值函數關於該曲面的積分。曲面積分一般分成第一型曲面積分和第二型曲面積分。第一型曲面積分物理意義來源於對給定密度函數的空間曲面，計算該曲面的質量。第二型曲面積分物理意義來源對於給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量。

❽ 求曲面積分

是指曲面表面的面積。把光滑曲面S分成沒有公共內點的n塊S1,... , Sn，且每一塊仍是光滑曲面，在每個S上取一點P，過P作S的切平面T，將s投影到T上，所有這些投影的面積之和的極限(當所有S的直徑趨於零時)如果存在，就是曲面S的面積，對有界簡單光滑曲面而言，這樣的極限總是存在的，而且與曲面的光滑等價的參數表示的選擇無關。
設空間有界曲面
為
其中
是
在
面上的投影區域，
在
上具有連續的偏導數，下面討論曲面
的面積的計算問題。
現用平行於x軸和y軸的兩組平行直線分割投影區域
，任取其中的一塊記作
，其面積也記作
，則當
的直徑很小時，

表示以
的邊界為准線，母線平行於z軸的柱面截得的曲面
上的那部分，設
是
上的任一點，根據條件，曲面
在點P處有切平面，則可用柱面截得切平面上的那一小片平面的面積dS近似地代替
的面積
，則
其中，
是切平面與
面的夾角，也就是切平面的法向量n與
面的法線
軸的夾角，由曲面
的方程可知
所以
代人式(1)得
則曲面的面積微元為
將dS在投影區域
上積分，便得計算曲面面積的二重積分公式

❾ 曲面積分求詳細計算

這是第二型曲面積分，曲面的顯示表達式為z＝－根號(R^2－x^2－y^2)
法向量的第三個分量是－1，記D為x^2+y^2<=R^2，於是
原積分＝二重積分_(D) x^2*y^2*(－根號(R^2－x^2－y^2))*(－1)dxdy
注意上式最後一個－1是因為求的是下側。
用極坐標x＝rcosa，y＝rsina，jacobian行列式為r，
＝積分（從0到R）dr 積分（從0到2pi）r^4*cos^2a*sin^2a*根號(R^2－r^2)rda
關於a的積分＝積分（從0到2pi）(1－cos4a)/8=pi/4。
關於r的積分在做變數替換r＝sina，0<=a<=pi/2，
化為積分（從0到pi/2）sin^5a*cos^2ada
=1/3－2/5+1/7＝8/105，最後得
＝2pi/105。