組合計算方法大全

❶ 排列組合A和C都有哪些計算方法

計算方法——

（1）排列數公式

排列用符號A(n,m)表示，m≦n。

計算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)!

此外規定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2)…1

例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。

（2）組合數公式

組合用符號C(n,m)表示，m≦n。

公式是：C(n,m)=A(n,m)/m!或C(n,m)=C(n,n-m)。

例如：C(5,2)=A(5,2)/[2!x(5-2)!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10。

(1)組合計算方法大全擴展閱讀：

排列有兩種定義，但計算方法只有一種，凡是符合這兩種定義的都用這種方法計算；定義的前提條件是m≦n，m與n均為自然數。

（1）從n個不同元素中，任取m個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

（2）從n個不同元素中，取出m個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數。

❷ 排列組合的公式

排列組合計算公式如下：

1、從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號 A（n,m）表示。

排列就是指從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序。組合則是指從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序。

排列組合的中心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現的情況總數。 排列組合與古典概率論關系密切。

(2)組合計算方法大全擴展閱讀

排列組合的發展歷程：

根據組合學研究與發展的現狀，它可以分為如下五個分支：經典組合學、組合設計、組合序、圖與超圖和組合多面形與最優化。

由於組合學所涉及的范圍觸及到幾乎所有數學分支，也許和數學本身一樣不大可能建立一種統一的理論。

然而，如何在上述的五個分支的基礎上建立一些統一的理論，或者從組合學中獨立出來形成數學的一些新分支將是對21世紀數學家們提出的一個新的挑戰。

❸ 常見排列組合問題的計算公式

在進行排列組合計算以及概率計算時我們經常會遇到一些具有相同性質的問題。假設問題的樣本空間Ω中一共有k種類型的元素α, β,γ... κ。每種類型的元素個數分別為Nα, Nβ,Nγ... Nκ。那麼這些元素組成的重復元素的集合Ω為：
Ω= { Nα * α, Nβ * β, Nγ * γ, ... Nκ * κ}

總的元素數量 N = Nα + Nβ + Nγ + ... Nκ

在實踐中我們會遇到從集合Ω中取子集Ε的問題，取子集的問題從概率論的角度來說就是某種事件出現的概率。 如果是同時取的話就不會考慮排列的順序因此這就會歸類為一個求組合的問題。而如果是依次取的話就需要考慮排列的順序了因此這個就可以歸類為一個排列的問題，而對於排列的問題我們又可以細分為放回排列和不放回排列兩種場景。因此我們可以將從集合Ω中取元素分類為三種大類型的問題：組合、放回排列、不放回排列。

對於組合類型的問題來說總是描述為從N個元素的集合Ω中同時取出M個元素組成的子集Ε， 然後再問其中的某種類型元素或者某幾種類型元素出現的個數的問題。 這里之所以用組合的原因是強調 同時 以及不需要排列的概念，因此不需要考慮每次取的順序，就不存在排列的問題。因此我們從N個元素裡面取M個元素的總共的取法有 C(N,M) 種方法。

這里的γ 是k種類型的元素中的任意一種，數量為Nγ。 因為所有M個元素中γ的數量固定為R，因此其他剩下的元素的組合數量是C(N-Nγ, M-R)， 而在Nγ個中取R個元素γ的組合數量是 C(Nγ, R)。因此一共有：

C(Nγ,R) * C(N-Nγ, M-R)

_ 答 _ ：C(5,0) * C(3,2) / C(8,2) = 3 / 28

_ 答 _： C(5,0) * C(3,2) + C(3,0) * C(5,2) = 13

這個問題可以理解為分別計算出現0次到R次的和：

R
ΣC(Nγ, i) * C(N-Nγ, M-i)
i=0

C(5,2) * C(3,0) / C(8,2) = 10 / 28 //紅球0次

M
Σ C(Nγ, i) * C(N-Nγ, M-i)
i=R

C(Nα, A) * C(Nβ, B) * ... C(Nγ, R) * C(Nα-Nβ - ... Nγ , M - A - B -... R)

_ 答 _: C(5,1) * C(3,1) * C(8-8, 2-1-1) / C(2,8) = 15 / 28

_ 答 _: C(5,1) * C(3,1) * C(8-8, 3-1-1) / C(2,8) = 0 / 28 // 因為C(0,1) == 0, 這是因為白色和紅色取3個，不可能只有一個白球和一個紅球的情況。

_ 答 _: 這個問題可以簡化為 5個大於5的元素為一類，5為一類，4個小於5的元素為一類，這樣就轉化為了大於5的元素出現2次，等於5的元素出現1次的數量了： C(5,2) * C(1,1) * C(10 - 5 - 1, 3 -2 -1) = 10

這個問題可以先選擇β 再來選擇α。

M - B
C(Nβ, B) * Σ C(Nα, i ) * C(N-Nα-Nβ, M - i - B)
i = A

M-B-..R M-i-.. RM - i - j -..
Σ C(Nα, i) * Σ C(Nβ, j) * ... Σ C(Nγ, w) * C(N-Nα-Nβ - ... Nγ, M - i - j - ..w )
i=A j = Bw = R

_ 答：_ 按上述公式套入即可

A min(B, M-i)min(R, M - i - j -.. .)
ΣC(Nα, i) * Σ C(Nβ, j) * ... ΣC(Nγ,w) * C(N-Nα - Nβ -... Nγ, M - i - j - ..w)
i=0 j = 0w = 0

可放回排列每次從N個元素中取出一個元素，然後再放回，然後再繼續取，依次取M次。這樣一次就有N種取法，M次就一共有 N^M 種取法，因為是依次取所以需要考慮排列的順序。 可放回排列也稱為n重伯努利實驗。每次取的元素都是獨立的。

第i次有Nγ種取法，其他M-1次都有N種。因此結果是：

Nγ * N^(M-1)

上面公式中無論哪次取的概率都是： Nγ / N。這個就像可重復抽獎一樣，對於獎品每次的概率都是一樣的。

因為只有第i次取到元素γ，因此前面和後面都不能再出現γ了，這樣的數量為：

(N-Nγ)^(i-1) * Nγ * (N - Nγ)^(M-i) == Nγ * (N-Nγ)^(M-1)

某元素一次可能出現在任何一個位置，某次出現的次數是: Nγ * (N-Nγ)^(M-1) 。而因為出現R次所以有：Nγ^R * (N - Nγ)^(M - R), 而這R次一共有 C(M, R)種位置擺放。因此最終的數量是：

C(M, R) * Nγ^R * (N - Nγ)^(M - R)

概率為C(M, R) * Nγ^R * (N - Nγ)^(M - R) / N^M = C(M,R) *(Nγ / N)^R * ((N-Nγ)/N)^(M-R) 。如果只有2種類型的元素，這個結果正是二項分布的公式。因此二項裡面的概率p其實就是這種元素的個數Nγ/N。

_ 答：_ 每次有6種結果，可重復排列，因為這里要求最小為2，因此我們可以劃分為 {3，4，5，6} {2} 2個集合,這樣可以用 { 4 * a, 1*b} 這種形式，因此問題變為了求b出現1次或者出現2次的問題：

1 ^1*(5-1) (2-1) * C(2,1) + 1 ^2*(5-1) (2-2)*C(2,2) = 8 + 1 = 9

Nα * Nβ * ... Nγ * N^(M - R)

C(M, A) * C(M-A, B) *... C(M-A-B-..., R) * Nα^A * Nβ^B *... Nγ^R * (N - Nα -Nβ - ...Nγ) ^ (M - A - B - ... R)

_ 答: _ 10^3 * 4^2 * 6 ^ 2 * C(7,3) * C(4,2)

不放回排列是從N個元素裡面依次取，每次取1個，然後一共取M次。這樣第一次有N種取法，第二次有N-1種取法，第M次有N-M+1種取法，因此總的可取的數量是： A(N,M) 。這里的排列是要考慮順序的。

前i-1次不能取到γ，i+1次以後也不能取到，而第i次有Nγ種取法，因此得到：

A(N-1, i-1) * Nγ * A(N-i, M-i) = Nγ * A(N-1, M-1)

某一個位置上一共有 A(Nγ, R) * A(N-Nγ, M-R)，一共有 C(M,R)種放置方法。因此結果是：

C(M,R) * A(Nγ, R) * A(N-Nγ,M-R)

這個問題因為每次取到的值和其他位置取到的值無關，每種類型的方法都是其元素的數量，因此可以用乘法，剩餘的再用排列來計算。

Nα * Nβ * ...*Nγ * A(N-R, M-R)

這個問題中每種類型出現的次數固定，因此這種類型用排列，每種元素之間用乘法來實現，同時每種元素的位置則是用組合。

C(M, A)*C(M-A, B) *...C(M-A-B..., R) * A(Nα, A) *A(Nβ, B) * ..A(Nγ, R) * A(N-Nα-Nβ-...Nγ, M-A-B-...R)

_ 答: _ C(7,3) * C(4,2) * A(10, 3) * A(4,2) * A(6 , 2)

通過上面的公式，我們可以發現這些公式之間的一些相似的特徵:

❹ 排列組合知識的計算方法有哪幾種

1、C的計算公式：

C表示組合方法的數量，比如：C（3，2），表示從3個物體中選出2個，總共的方法是3種，分別是甲乙、甲丙、乙丙（3個物體是不相同的情況下）。

2、A的計算公式：

A表示排列方法的數量，比如：n個不同的物體，要取出m個（m<=n）進行排列，方法就是A（n，m）種，也可以這樣想，排列放第一個有n種選擇，第二個有n-1種選擇，第三個有n-2種選擇·····第m個有n+1-m種選擇，所以總共的排列方法是n（n-1）（n-2）···（n+1-m），也等於A（n，m）。

兩個常用的排列基本計數原理及應用：

1、加法原理和分類計數法：

每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務，兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)，完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類(即分類不漏)。

2、乘法原理和分步計數法：

任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務，各步計數相互獨立，只要有一步中所採取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同。

❺ 組合公式怎麼算

排列指從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序。
比如從m個元素中取出n個進行排列，通常用符號a(m,n)表示，計算式為a(m,n)=m!/(m-n)!，其中！表示階乘。
組合指從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序。
比如從m個元素中取出n個，不考慮排序，通常用符號c(m,n)表示，計算式為c(m,n)=m!/(n!(m-n)!)
希望對你有幫助，望採納，謝謝~