計算方法牛頓迭代法的基本理論

㈠ 如何通俗易懂地講解牛頓迭代法求開方

五次及以上多項式方程沒有根式解（就是沒有像二次方程那樣的萬能公式），這個是被伽羅瓦用群論做出的最著名的結論。但是，沒有王屠夫難道非得吃帶毛豬？工作生活中還是有諸多求解高次方程的真實需求（比如行星的軌道計算，往往就是涉及到很復雜的高次方程），這日子可怎麼過下去啊？要講牛頓迭代法之前我們先說一個關鍵問題：切線是曲線的線性逼近。因為切線是一條直線（也就是線性的），所以我們可以說，A點的切線是f(x)的線性逼近。離A點距離越近，這種逼近的效果也就越好，也就是說，切線與曲線之間的誤差越小。所以我們可以說在A點附近，「切線approx f(x) 」。牛頓迭代法又稱為牛頓-拉弗森方法，實際上是由牛頓、拉弗森（又是一個被牛頓大名掩蓋的傢伙）各自獨立提出來的。牛頓-拉弗森方法提出來的思路就是利用切線是曲線的線性逼近這個思想。牛頓、拉弗森們想啊，切線多簡單啊，研究起來多容易啊，既然切線可以近似於曲線，我直接研究切線的根不就成了。隨便找一個曲線上的A點（為什麼隨便找，根據切線是切點附近的曲線的近似，應該在根點附近找，但是很顯然我們現在還不知道根點在哪裡），做一個切線，切線的根（就是和x軸的交點）與曲線的根，還有一定的距離。牛頓、拉弗森們想，沒關系，我們從這個切線的根出發，做一根垂線，和曲線相交於B點，比如求平方根：x^2=78 ，可以轉為求 x^2-78=0 這個方程的根，就可以用牛頓-拉弗森方法求。求平方根用牛頓-拉弗森方法是安全的，沒有我之前說的那麼多坑。不過我看了有一些工程師寫的代碼，就有點濫用牛頓-拉弗森方法了，沒有從數學角度進行更多的考慮。數學的魅力就在於，哪怕18世紀就證明了五次及以上多項式方程沒有根式解，隨著時間的發展，這個證明並不會被推翻，不像技術一樣會日新月異。所以牛頓-拉弗森方法仍然在計算機學科中被廣泛使用。

㈡ 如何通俗易懂地講解牛頓迭代法求開方

利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作： 一、確定迭代變數。在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。 二、建立迭代關系式。所謂迭代關系式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。 三、對迭代過程進行控制。在什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地重復執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析出用來結束迭代過程的條件。

㈢ 牛頓迭代法公式

牛頓迭代法公式：1x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(0))。牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。
多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可解，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。

㈣ 牛頓迭代法的介紹

牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。

㈤ 牛頓迭代法的牛頓迭代公式

設r是的根，選取作為r的初始近似值，過點做曲線的切線L，L的方程為，求出L與x軸交點的橫坐標，稱x1為r的一次近似值。過點做曲線的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標，稱為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中，稱為r的次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。
用牛頓迭代法解非線性方程，是把非線性方程線性化的一種近似方法。把在點的某鄰域內展開成泰勒級數，取其線性部分（即泰勒展開的前兩項），並令其等於0，即，以此作為非線性方程的近似方程，若，則其解為， 這樣，得到牛頓迭代法的一個迭代關系式：。
已經證明，如果是連續的，並且待求的零點是孤立的，那麼在零點周圍存在一個區域，只要初始值位於這個鄰近區域內，那麼牛頓法必定收斂。 並且，如果不為0, 那麼牛頓法將具有平方收斂的性能. 粗略的說，這意味著每迭代一次，牛頓法結果的有效數字將增加一倍。
軍人在進攻時常採用交替掩護進攻的方式，若在數軸上的點表示A，B兩人的位置，規定在前面的數大於後面的數，則是A>B，B>A交替出現。但現在假設軍中有一個膽小鬼，同時大家又都很照顧他，每次沖鋒都是讓他跟在後面，每當前面的人占據一個新的位置，就把位置交給他，然後其他人再往前佔領新的位置。也就是A始終在B的前面，A向前邁進，B跟上，A把自己的位置交給B（即執行B = A），然後A 再前進佔領新的位置，B再跟上，直到佔領所有的陣地，前進結束。像這種兩個數一前一後逐步向某個位置逼近的方法稱為迭代法。
迭代法也稱輾轉法，是一種不斷用變數的舊值遞推新值的過程，跟迭代法相對應的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代演算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變數的原值推出它的一個新值。
利用迭代演算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
一、確定迭代變數
在可以用迭代演算法解決的問題中，至少存在一個可直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變數，這個變數就是迭代變數。
二、建立迭代關系式
所謂迭代關系式，指如何從變數的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。迭代關系式的建立是解決迭代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。
三、對迭代過程進行控制
在什麼時候結束迭代過程？這是編寫迭代程序必須考慮的問題。不能讓迭代過程無休止地執行下去。迭代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的迭代次數是個確定的值，可以計算出來；另一種是所需的迭代次數無法確定。對於前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對迭代過程的控制；對於後一種情況，需要進一步分析得出可用來結束迭代過程的條件。

㈥ 什麼是「牛頓法」或「牛頓迭代法」 請簡述過程及原理,有例子更好

牛頓法是牛頓在17世紀提出的一種求解方程f(x)=0.多數方程不存在求根公式,從而求精確根非常困難,甚至不可能,從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.
設r是f(x)=0的根,選取x0作為r初始近似值,過點（x0,f(x0)）做曲線y=f(x)的切線L,L的方程為y=f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L與x軸交點的橫坐標 x1=x0-f(x0)/f'(x0),稱x1為r的一次近似值,過點（x1,f(x1)）做曲線y=f(x)的切線,並求該切線與x軸的橫坐標 x2=x1-f(x1)/f'(x1)稱x2為r的二次近似值,重復以上過程,得r的近似值序列{Xn},其中Xn+1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),稱為r的n+1次近似值.上式稱為牛頓迭代公式.

㈦ 牛頓迭代法原理

二分法是一步步逼近零點，比較好理解，但收斂的速度比較慢。而牛頓迭代法是用切線來逼近零點的，收斂的速度很快，但要求的條件也高。首先要有一個區間，在這個區間的端點函數值反向，其次第一次迭代點不能隨意取，否則第一次迭代後的點可能跑出原先的區間，收斂性就不一定能保證了（即有的情況也能有收斂性，有的情況就沒有收斂性了，全看函數的性能）。你舉的例子，如果取xn=- a/2，還會收斂到你要的那個零點嗎？