Ⅰ 三重積分計算
被積函數推廣到三元函數,切條法(
先z次y後x
)
注意
用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分,
則一定可積
由定義可知
三重積分與二重積分有著完全相同的性質
三重積分的物理背景
以
f
(
x
這里有一個幻燈片
其實,得平面區域
⑵穿越法定限.
二,三角形,用截面法較為方便,
就是截面的面積,如截面為圓,橢圓,就得到三重積分的定義
其中
dv
稱為體積元,三重積分可化成三次積分進行計算
具體可分為先單後重和先重後單
①先單後重
——也稱為先一後二,其它術語與二重積分相同
若極限存在,則稱函數可積
若函數在閉區域上連續,就是先求關於某兩個變數的二重積分再求關於另一個變數的定積分
若
f(x,y,z)
在
上連續
介於兩平行平面
z
=
c1
,
z
=
c2
(c1
<
c2
)
之間
用任一平行且介於此兩平面的平面去截
得區域
則
②先重後單
易見,若被積函數與
x
,
y
無關,或二重積分容易計算時,y)作平行於
z
軸的直線
交邊界曲面於兩點,各邊界面平行於坐標面
解
將
投影到xoy面得D,它是一個矩形
在D內任意固定一點(x
,穿入點—下限,穿出點—上限
對於二重積分,y)
例2
計算
其中
是三個坐標面與平面
x
+
y
+
z
=1
所圍成的區域
D
x
y
z
o
解
畫出區域D
解
除了上面介紹的先單後重法外,利用先重後單法或切片法也可將三重積分化成三次積分
先重後單,我們已經介紹過化為累次積分的方法
例1
將
化成三次積分
其中
為長方體,其豎坐標為
l
和
m
(l
<
m)
o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
.(x,
y,
z
)
為體密度的空間物體的質量
下面我們就藉助於三重積分的物理背景來討論其計算方法.
化三次積分的步驟
⑴投影,在直角坐標系中的計演算法
如果我們用三族平面
x
=常數,y
=常數,
z
=常數對空間區域進行分割那末每個規則小區域都是長方體
其體積為
故在直角坐標系下的面積元為
三重積分可寫成
和二重積分類似,三重積分的概念
將二重積分定義中的積分區域推廣到空間區域,三重積分,就是把一重積分和二重積分的擴展
三重積分及其計算
一
Ⅱ 高數。三重積分怎麼求。總結下方法。詳細講解。
分直角坐標,直角坐標,柱坐標,球坐標。
直角坐標有兩種方法:一是化為三次積分;另一種是先重後單。
柱坐標:遇到積分域是圓柱;旋轉拋物面;圓錐面與平面圍成區域一般用柱坐標。
球坐標:遇到積分域是球域,圓錐面與球面圍成區域一般用球坐標。
Ⅲ 二重積分,三重積分的計算方法一般有哪幾種
二重積分一般有直接計算和極坐標計算兩種方法~
三重積分一般有直接計算,柱坐標和極坐標三種方法,積分技巧有先一後二或者先二後一兩種技巧~
Ⅳ 三重積分的求法
一共有三種類型
(1)直角坐標計算三重積分。
已知體積的x,y,z各各范圍
作法:
1 投影到xy(或xz,yz),這時先計算z, x y 已知,用x,y 表示z.
2 計算x,y,用X型,或Y型.(前面已經寫過博客)
(2)用柱坐標計算。
有三項
1 角度a
2 r x=pcosa y=psina r的取值范圍,聯立@1 z=x+y @2 z=ax^2+by ,求出x^2+y^2=r(r已知)。
3 z z的范圍用r表示聯立兩個z= z= 求出x^2+y^2=r,z用r表示。
Ⅳ 三重積分的計算方法及經典例題
三重積分的計算方法:
⑴先一後二法投影法,先計算豎直方向上的一豎條積分,再計算底面的積分。
①區域條件:對積分區域Ω無限制;
②函數條件:對f(x,y,z)無限制。
⑵先二後一法(截面法):先計算底面積分,再計算豎直方向上的積分。
①區域條件:積分區域Ω為平面或其它曲面(不包括圓柱面、圓錐面、球面)所圍成
②函數條件:f(x,y)僅為一個變數的函數。
示例:
設Ω為空間有界閉區域,f(x,y,z)在Ω上連續
(1)如果Ω關於xOy(或xOz或yOz)對稱,且f(x,y,z)關於z(或y或x)為奇函數,則:
(2)如果Ω關於xOy(或xOz或yOz)對稱,Ω1為Ω在相應的坐標面某一側部分,且f(x,y,z)關於z(或y或x)為偶函數,則:
(3)如果Ω與Ω』關於平面y=x對稱,則:
(5)三重積分的計算方法及坐標擴展閱讀
設三元函數f(x,y,z)在區域Ω上具有一階連續偏導數,將Ω任意分割為n個小區域,每個小區域的直徑記為rᵢ(i=1,2,...,n),體積記為Δδᵢ,||T||=max{rᵢ},在每個小區域內取點f(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ);
作和式Σf(ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ)Δδᵢ,若該和式當||T||→0時的極限存在且唯一(即與Ω的分割和點的選取無關),則稱該極限為函數f(x,y,z)在區域Ω上的三重積分,記為∫∫∫f(x,y,z)dV,其中dV=dxdydz。
Ⅵ 怎樣計算三重積分盡量通俗易懂。
其實,三重積分,就是把一重積分和二重積分的擴展
三重積分及其計算
一,三重積分的概念
將二重積分定義中的積分區域推廣到空間區域,被積函數推廣到三元函數,就得到三重積分的定義
其中 dv 稱為體積元,其它術語與二重積分相同
若極限存在,則稱函數可積
若函數在閉區域上連續, 則一定可積
由定義可知
三重積分與二重積分有著完全相同的性質
三重積分的物理背景
以 f ( x, y, z ) 為體密度的空間物體的質量
下面我們就藉助於三重積分的物理背景來討論其計算方法.
二,在直角坐標系中的計演算法
如果我們用三族平面 x =常數,y =常數, z =常數對空間區域進行分割那末每個規則小區域都是長方體
其體積為
故在直角坐標系下的面積元為
三重積分可寫成
和二重積分類似,三重積分可化成三次積分進行計算
具體可分為先單後重和先重後單
Ⅶ 高數中三重積分如何計算
三重積分確實比較難的
常見的有直角坐標系下計算這個 還有極坐標也可以來計算三重積分
Ⅷ 三重積分的計算方法 三重積分怎麼計算
直角坐標系法,適用於被積區域Ω不含圓形的區域,且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法:
1、先一後二法投影法,先計算豎直方向上的一豎條積分,再計算底面的積分。
區域條件:對積分區域Ω無限制;
函數條件:對f(x,y,z)無限制。
2、先二後一法(截面法):先計算底面積分,再計算豎直方向上的積分。
區域條件:積分區域Ω為平面或其它曲面(不包括圓柱面、圓錐面、球面)所圍成
函數條件:f(x,y)僅為一個變數的函數。