變分的計算方法

⑴ 變分法的變分法與微分法

變分法概念與尋常分析中的微分概念很為類似，但所聯系的不是x的變化，而是函數y（x）的變化。如果函數y（x）使U（y）達其極值，則U的變分δU變為0。
幾乎所有的物理和力學的基本規律都陳述為規定某一泛函的變分應該是0的「變分法原理」，由於這個原故變分法使許多重要的物理物理問題及技術問題得以解決。

⑵ 什麼是變分法應該如何理解變分法

教材中的變分法嚴格的說與泛函分析教材無關，是大學實分析或者最優控制課程里的知識點，

了解變分法，首先要理解泛函這一概念:

泛函是一種映射，原像空間(定義域)是函數空間，像空間(值域或達域)是實數(復數)空間，

與一般函數不同的是函數的自變數的取值在復數空間，因變數的取值亦是如此。而泛函則是把函數作為自變數，因變數在復數空間。

變分，即可視作對泛函這一特殊函數的微分。詳細說明如下:

⑶ 變分法是什麼

變分在數學和物理裡面都有，學物理的人用的時候都不是那麼嚴格，一般來說函數對自變數我們用偏導，而泛函的自變數是函數，對函數就只能用變分了。
物理上變分法一般是讓泛函的自變數（函數）有小的變動，但是兩個端點不能動。然後要求泛函的變分為0，這樣可以求得運動方程，如果和實際的運動方程一致，我們認為我們選擇的泛函是合理的
上面哥們答得也很不錯。這里我就不重復了

⑷ 拉格朗日方程的變分

1638年，伽利略（Galileo Galilei）提出了「最速降線」應該是直線下方的某條線，引發了求解最值函數的需求，注意不是函數最值哦。
1687年，牛頓在解決了最小阻力問題(Newton's minimal resistance problem)，該問題被認為是首個變分問題，拉開了變分法的序幕。
1696年，瑞士數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli）向所有數學家提出了挑戰，收到了牛頓、他哥雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）等5人的答案，變分法思想已初步呈現。
1733年，歐拉（Leonhard Euler）首次完成了歐拉方程。
1755年，年僅17歲的拉格朗日將使用 \delta 算符的工作寄給歐拉，歐拉看後放棄了自己使用部分幾何的方法，轉向拉格朗日純分析的方法，歐拉-拉格朗日方程誕生！
1756年，歐拉在其講座中正式稱這種方法為：變分（calculus of variations）

⑸ 變分原理的變分原理

把一個力學問題（或其他學科的問題）用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，就稱為該物理問題 （或其他學科的問物理題）的變分原理。如果建立了一個新的變分原理，它解除了原有的某問題變分原理的某些約束條件，就稱為該問題的廣義變分原理；如果解除了所有的約束條件，就稱為無條件廣義變分原理，或稱為完全的廣義變分原理。1964年，錢偉長教授明確提出了引進拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有約束條件的變分原理化為較少（或沒有）約束條件的變分原理的方法。日本的鷲津一郎教授、中國科學院院士錢偉長教授和劉高聯教授等都是這方面的世界級大師。變分原理在物理學中尤其是在力學中有廣泛應用，如著名的虛功原理、最小位能原理、余能原理和哈密頓原理等。在當代變分原理已成為有限元法的理論基礎，而廣義變分原理已成為混合和雜交有限元的理論基礎。在實際應用中，通常很少能求出精確的解析解，因此大多採用近似計算方法。近似計算方法主要有：李茲法、伽遼金法、康托洛維奇法、屈列弗茲法等。

⑹ 變分學簡介

変分學即為變分法。

變分法是17世紀末發展起來的一門數學分支，是處理函數的數學領域，和處理數的函數的普通微積分相對。它最終尋求的是極值函數：它們使得泛函取得極大或極小值。變分法起源於一些具體的物理學問題，最終由數學家研究解決。

有些曲線上的經典問題採用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。

變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。

歐拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 簡稱E-L方程，在力學中則往往稱為拉格朗日方程。正如上面所說，變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。

值得指出的是，E-L方程只是泛函有極值的必要條件，並不是充分條件。就是說，當泛函有極值時，E-L方程成立。在應用中，外界給定的條件可以使得E-L方程在大多數情況下滿足我們的需求。

所以盡管下面我們要在比較強的條件下推導，並且這種推導在某些意義上有些不太嚴謹，完全可以在較弱的情況下予以完全嚴謹的證明，但是就我們所要用的層面而言，也是足夠的了。

(6)變分的計算方法擴展閱讀：

變分法與微分法

變分法概念與尋常分析中的微分概念很為類似，但所聯系的不是x的變化，而是函數y（x）的變化。如果函數y（x）使U（y）達其極值，則U的變分δU變為0。

幾乎所有的物理和力學的基本規律都陳述為規定某一泛函的變分應該是0的「變分法原理」，由於這個原故變分法使許多重要的物理問題及技術問題得以解決。

⑺ 變分方法

9.1.1 泛函與變分

所謂變分法就是研究泛函極值的方法。實際上泛函是函數概念的推廣，變分是微分概念的推廣。數學中函數的概念是眾所周知的，若設x為自變數，y為因變數，則函數可表示為

y=y（x）

x和y存在著對應關系，即x的每一個值都與y的某個值相對應，則稱y是x的函數。

若J又是y的函數，即每一個函數都有變數J的值與之相對應，則稱變數J是y（x）的泛函，並表示為

J=J［y］=J［y（x）］

由此可見泛函與一般的函數不同，它的自變數是一個函數，即泛函是具有函數的函數的意思，而且應注意，這里因變數J是一個實數。

圖9.1 AB兩點間最短線問題

為了對泛函有一個具體的認識，這里舉一個簡單的例子。設平面上有A、B兩點，求連接A、B且長度最短的線（顯然是連接A、B的直線）。這個問題在數學上可以表述如下，作連接A、B兩點的任意曲線y=y（x），見圖9.1，曲線元弧長為ds=

，於是曲線長度為

地球物理數據處理教程

式中y是x的函數，曲線長度J又是y的函數，所以J［y（x）］稱為泛函。求最短線問題在數學上可表述為，在滿足邊界條件

地球物理數據處理教程

的情況下，找出一個函數y=y（x），使泛函（9.1.1）式取極小值。

有了泛函的概念，下面便可以討論泛函自變數的變分和泛函的變分概念。

若自變數y（x）取函數y₁（x），則y（x）在y₁（x）上的增量是指y₁（x）附近函數

（x）與y₁（x）的差：

地球物理數據處理教程

自變數y₁（x）的增量δy（x）稱為自變數y（x）的變分。

如果泛函J［y（x）］的自變數的增量為δy（x），則

ΔJ=J［y（x）+δy（x）］-J［y（x）］

就是泛函的增量。若泛函的增量ΔJ可以表示為

ΔJ=L［y（x），δy（x）］+α （9.1.3）

其中L［y（x），δy（x）］關於δy（x）是齊次線性的，即

L［y（x），δy₁（x）+δy₂（x）］=L［y（x），δy₁（x）］+L［y（x），δy₂（x）］

=L［y（x），λδy（x）］=λL［y（x），δy（x）］

且當δy（x）為無窮小時，α為高階無窮小；則稱（9.1.3）式中的L［y（x），δy（x）］為J［y（x）］在y（x）處的變分，記作δJ［y（x）］。即有

ΔJ=δJ+α（高階無窮小）

簡單地說，泛函的變分是泛函增量的線性主部，這是函數變分的一個定義。下面介紹泛函變分的另一個定義。

給定泛函J=J［y（x）］，考慮泛函在y（x）+tδy（x）的值J［y（x）+tδy（x）］。根據前一定義，若泛函在泛函增量線性主部意義下有變分存在，則

ΔJ=J［y（x）+tδy（x）］-J［y（x）］

=L［y（x），tδy（x）］+α

考慮到

地球物理數據處理教程

其中因為L［y（x），tδy（x）］關於δy（x）是線性的，所以

L［y（x），tδy（x）］=tL［y（x），δy（x）］，且

地球物理數據處理教程

所以泛函J［y（x）］在y=y（x）處的變分等於泛函J［y（x）+tδy（x）］在t=0時關於t的導數。即

地球物理數據處理教程

9.1.2 泛函的極值

前面已敘述了變分方法是研究泛函極值的方法。設泛函J［y（x）］，如果存在y₀（x），使得y的存在域中所有的y（x），均滿足

J［y₀（x）］≤J［y（x）］（或J［y₀（x）］≥J［y（x）］）

則稱J［y（x）］在y₀（x）取極小值（或極大值）。如果僅對於鄰近y₀的y，上式成立，則稱J（y）在y₀取局部極小（大）值。

若泛函J=J［y（x）］有變分，且在y₀（x）處達到極小值或極大值，則在y₀（x）處的一階變分為：

δJ=δJ［y₀（x）］=0 （9.1.6）

（9.1.6）式就是J［y（x）］在 y₀取極值的必要條件。函數 y=y₀（x）稱為極值函數（或極值曲線）。

實際上，若J［y（x）］在y₀取極值，記y（x）-y₀（x）=δy（x），則對於任意的t，

J［y（x）］=J［y₀（x）+tδy（x）］

當y₀（x）、δy（x）固定時J［y₀（x）+tδy（x）］=φ（t）是t的函數。因為J在y₀處達到極值，所以當t=0時φ（t）達到極值。即

地球物理數據處理教程

故有ΔJ=L［y₀（x），δy（x）］=0

下面討論泛函

地球物理數據處理教程

在邊界條件（9.1.2）式，即

y₁=y（x₁） y₂=y（x₂）

條件下的極值問題。

按定義，泛函（9.1.7）式的增量為

地球物理數據處理教程

由台勞公式

地球物理數據處理教程

其中α′為高階無窮小量。故有

地球物理數據處理教程

上式中第一項關於δy是齊次線性的，第二項是高階無窮小量，所以J（y）的變分是

地球物理數據處理教程

應當指出，泛函的變分是由δy引起的。但δy並非由x變化引起，恰恰相反，δy=y（x）-y₀（x）是在x為同一數值時得到的。所以在上式的變分計算中，把x看作常數。其中y₀（x）為極值曲線，y（x）為一條與y₀（x）靠得很近的曲線。

根據分部積分公式

地球物理數據處理教程

（9.1.8）式右側第二項可寫成

地球物理數據處理教程

將積分限代入上式右側第一項，且由邊界條件顯然有δy（x₁）=0，δy（x₂）=0，故該項為零。於是

地球物理數據處理教程

由極值必要條件，為了使任意函數δy都滿足δJ（y）=0，則必須有

地球物理數據處理教程

上式稱為歐拉方程，是泛函（9.1.7）式取極值的必要條件。（9.1.9）式是一個微分方程，求解這個微分方程，可得無窮多個極值曲線。再把邊界條件代入，就可得到唯一的極值曲線。這樣，泛函的極值問題可歸結為相應的微分方程的解。

例如，對於泛函（9.1.1）式，有F（x，y，y′）=

，所以相應的微分方程為

地球物理數據處理教程

這個微分方程很易求解。對x積分後，得y′=c₁

，化簡後y′=c₂，再積分，得y=c₂x+c₃。式中c₁，c₂，c₃均為常數，將邊界條件（9.1.2）代入上式，可求得

地球物理數據處理教程

即得

地球物理數據處理教程

這就是連接圖9.1中A、B兩點的直線方程，即所求的最短線方程。

數學上還可以反過來證明，一個微分方程的解可以歸結為相應泛函的極值，所以泛函的極值與相應的微分方程的解是等價的。

⑻ 變分法的介紹

《變分法》是工程力學專業本科生的專業課之一，是選修課，是《彈性力學》課程提高和延伸部分。用廣泛的變分方法來解決彈性力學的邊值問題，建立了彈性力學的幾個變分原理，從這些變分原理出發，用一致的方法導出各種類型彈性力學的平衡方程。變分原理為各種近似解奠定了理論基礎，是從事固體力學研究人員必備的專業理論，為進一步學習有限元理論，塑性力學等提供了必要的理論基礎。（《變分法》教學大綱）

⑼ 如何對hamilton原理進行變分運算

變分法的應用多集中於最優化、極值等方面，通過求取極值等條件求得對應的曲線、曲面等。通過基本原理列出泛函式子，再由變分原理求取極值，從而得到所求解答。