旋量計算方法

① 塵封的往事：量子場論研究的「中國魔術」

2016年的10月10日到21日，一場關於量子場論中的散射振幅的workshop在位於北京北四環的中科院卡弗里理論物理所舉行。這workshop的中國當地組織者是來自浙江大學的馮波、來自科學院理論物理所的何頌以及楊剛。

② 機器人機構學的數學基礎的目錄

序
前言
符號表
第1章 緒論
1.1 機構學與機器人學的發展歷史概述
1.2 機構學及機器人學基礎
1.2.1 機構與機器人的基本組成元素：構件與運動副
1.2.2 運動鏈、機構與機器人
1.2.3 自由度、活動度與約束
1.2.4 機器人機構的分類
1.3 機器人機構學的主要研究內容
1.3.1 機構與機器人的結構分析與綜合
1.3.2 機構與機器人的運動學性能評價指標
1.3.3 機構與機器人動力學
1.3.4 機構與機器人的設計理論
1.4 機構學與機器人學研究的數學方法
1.4.1 李群、李代數
1.4.2 旋量理論
1.4.3 現代數學工具在機構學與機器人學中的應用舉例
1.5 本書概述及使用建議
1.5.1 本書概述
1.5.2 文獻使用與說明
第2章 預備知識
2.1 線性空間
2.2 歐氏幾何
2.3 射影幾何與齊次坐標
2.3.1 射影直線、射影平面與射影空間
2.3.2 點線面的齊次表示與P1ucker坐標
2.4 線幾何
2.4.1 線矢量的定義與P1ucker坐標
2.4.2 線矢量的運算
2.4.3 Kiein映射
2.5 微分流形
習題
第3章 李群與李子群
3.1 群與李群的定義
3.2 幾種典型的李群
3.3 李群的映射
3.4 李群的作用
3.5 李子群的運算
3.6 SE（3）及其子群
3.7 位移子群的正則表示與共軛表示
3.8 位移於流形
3.9 參考文獻說明
習題
第4章 李代數
4.1 李代數的定義
4.2 幾種特殊的李代數
4.3 指數映射
4.4 SE（3）伴隨表達的指數映射
4.5 參考文獻說明
習題
第5章 李群與剛體運動
5.1 剛體運動與剮體變換
5.2 剛體運動與李群
5.3 剮體運動的指數坐標
5.4 參考文獻說明
習題
第6章 旋量與剛體運動
6.1 旋量的基本概念
6.1.1 旋量的定義
6.1.2 旋量的性質與運算
6.2 旋量與螺旋運動
6.2.1 螺旋運動的定義
6.2.2 運動旋量與瞬時螺旋運動
6.3 剛體速度的旋量表示
6.3.1 質點的瞬時運動速度
6.3.2 剛體速度的運動旋量坐標
6.3.3 剛體速度的坐標變換
6.3.4 剛體速度的復合變換
6.3.5 螺旋運動的速度
6.4 力旋量
6.4.1 力旋量的概念
6.4.2 力旋量的旋量坐標
6.5 反旋量
6.5.1 反旋量的概念
6.5.2 反旋量的特性
6.5.3 幾種特殊的反旋量
6.6 旋量的時間導數
6.7 參考文獻說明
習題
第7章 旋量系與反旋量系
7.1 旋量系
7.1.1 旋量集與旋量系
7.1.2 旋量集的線性相關性
7.2 特殊旋量系
7.2.1 旋量系的分類
7.2.2 旋量一系
7.2.3 旋量二系
7.2.4 旋量三系
7.2.5 旋量四、五、六系
7.2.6 可實現連續運動的旋量系
7.3 反旋量系
7.3.1 反旋量系的定義
7.3.2 特殊旋量系與其反旋量系之間的關系
7.4 反旋量系的快速計算方法
7.5 旋量集在不同幾何條件下的維數
7.6 參考文獻說明
習題
第8章 運動旋量系與約束旋量系
8.1 約束旋量系與運動鏈
8.2 等效運動副旋量系
8.2.1 等效運動副旋量系的概念
8.2.2 等效運動副旋量系的應用舉例
8.3 約束作用下運動副旋量系的配置
8.4 約束作用下允許存在的運虧
8.5 機構可連續運動的條件
8.5.1 瞬時運動機構
8.5.2 機構可連續運動的條件
8.5.3 約束力及其允許的轉動
8.6 參考文獻說明
習題
第9章 復雜機構的自由度分析
9.1 與機構自由度相關的幾個基本概念
9.2 機構自由度的計算公式
9.3 旋量集及旋量系的集合表示
9.4 並聯機構的自由度分析
9.5 含復雜鉸鏈的並聯機構及其自由度分析
9.6 參考文獻說明
習題
第10章 並聯機構的構型綜合
10.1 幾種主流的構型綜合方法概述
10.2 基於現代數學工具的並聯機構構型綜合研究內容
10.3 數綜合
10.4 少自由度並聯機構的約束特性
10.5 基於旋量系理論的約束綜合法
1O.6 基於位移子群及位移流形的運動綜合法
1O.6.1 位移子群、位移子流形與之對應的運動鏈
10.6.2 基於位移子群及位移子流形的運動綜合法的般步驟
10.6.3 綜合實例
10.7 並聯機構的主動輸人選取理論
10.8 參考文獻說明
習題
第11章 串聯機器人運動學
11.1 串聯機器人正向運動學分析的指數積公式
11.1.1 DH參數與串聯機器人正向運動學
11.1.2 串聯機器人正向運動學的指數積（POE）公式
11.1.3 慣性坐標系與初始位形的選擇
11.1.4 實例分析
11.1.5 nH參數法與POE公式的關系
11.2 串聯機器人反向運動學的指數積公式
11.2.1 反向運動學的指數積公式
11.2.2 子問題的分類與求解
11.2 ，3應用舉例
11.3 參考文獻說明
習題
第12章 機器人機構的運動性能分析
12.1 機器人的速度雅可比矩陣
12.1.1 串聯機器人的速度雅可比矩陣
12.1.2 並聯機器人的速度雅可比矩陣
12.2 機器人機構的奇異位形分析
12.2.1 機器人奇異位形的定義
12.2.2 奇異位形的分類
12.2.3 機器人奇異位形的一般求解方法
12.2.4 典型機器人機構的奇異位形分析
12.3 機器人機構的靈巧性分析
12.4 機器人的運動解耦性分析
12.5 機器人機構的傳動性能
12.6 機器人機構型綜合的再討論
12.7 參考文獻說明
習題
第13章 機器人的靜力學及靜剛度分析
13.1 機器人的力雅可比矩陣
13.2 靜剛度分析
13.2.1 剛性體機器人機構的靜剛度映射
13.2.2 柔性機構的靜剛度分析
13.3 參考文獻說明
習題
第14章 機器人動力學基礎
14.1 剛體的慣性
14.1.1 剛體動能與廣義慣性矩陣
14.1.2 剛體的動量旋量
14.2 剛體運動的牛頓歐拉方程
14.2.1 一般剛體運動的牛頓歐拉方程
14.2.2 串聯機器人緊湊形式的牛頓一歐拉方程
14.3 串聯機器人的拉格朗日方程
14.3.1 質點系的拉格朗日方程
14.3.2 串聯機器人的拉格朗日方程
14.4 參考文獻說明
習題
附錄：幾何代數與剛體運動
A.1 幾何代數概論
A23D幾何代數與剛體運動
名詞索引
參考文獻

③ 有誰知道國際數學大師嘉當的資料

生： 西元1869年4月9日 於 法國Isere縣的小村Dolomieu
卒： 西元1951年5月6日 於 巴黎
國籍： 法國
詳細內容 : Elie Joseph Cartan(嘉當)是有名的法國數學家。其主要貢獻在李群、微分方程和幾何學等方面；他的貢獻對現代數學的發展有重要影響。

早期繼續了李（Lie）和德國數學家基靈（Killing）的工作，1894發表《有限維連續變換群的構造》，文中修正了基靈的連續變換群論，對復數域上單李代數完全分類給定嚴格證明。1913年完成了半單純李氏代數有限為表示理論，奠定了李群表示理論的基礎。在解決單李代數的表示時，他發現了旋量(旋量以後在量子力學和基本粒子理論中有重要應用)，提出正交群李代數的旋表示。

他對李群研究的第二個方面是討論李群的整體性質，即它的拓撲性質。他用一種極富創見性的方法計算李群的貝蒂數，斷言比利時數學家德．拉姆上同調群的維數就是貝蒂數（此斷言後來由德．拉姆證明），他用左不變微分式來代替微分式，將貝蒂數的計算化為純算術問題，從而最終得到解決。

在偏微分方程方面，他發展了普法夫的方程組理論，在他的方法中表現出強烈的幾何傾向。他的偏微分方程組理論使他在無限李群、微分幾何學、分析力學和廣義相對論等方面又得出了傑出的結果。1920年以後，嘉當在相對論發展的影響下，對微分幾何學進行了一系列的工作。他發展了一般流形上活動標架法，創立仿射聯絡、射影聯絡、保角聯絡的幾何學，發現和研究對稱黎曼空間，對聯絡進行深入研究。他提出的廣義空間是纖維叢概念的前身，是克萊因幾何學與黎曼幾何學的統一。1930年發表的《有限連續群理論及位置分析》中，他總結了以前的研究並證明一系列新定理，其中包括:更明確的流形、連 續群、李群、齊性空間等概念，證明李群的閉子群是李群，首次證明李的第三基本定理的逆定理，證明單連通李群同胚於極大緊子群與歐氏空間的拓撲積。

其將G.Darboux所創立的動座標系的方法，自由自在的發揮，給了李氏群論、Pfaff形式論、不變積分理論、位相學、微分幾何學(特別是連通幾何學)、理論物理學等等...，無數的貢獻。他的學位論文，到現在還吸引許多年輕研究者的注意，他創設的連通的概念也成為微分幾何學上的基本慨念。嘉當晚年發展了對稱空間理論，提出擬保形映象理論。

④ 有什麼比較好的方法求解散射矩陣的級聯嗎

S矩陣program是一個非常精彩，同時也在研究的課題，這個問題提出好久都沒人來答，正好最近看了一點這方面的內容，弱弱的說一下 S－matrix理論的研究源自於這樣一個事實，如果計算膠子的散射矩陣，將它平方，再對偏振求和啥的，我們發現即使兩點都如此麻煩。但是有趣的是，它算出來的結果卻出奇的簡單。如此復雜的算式居然得到了如此簡單的答案，這就會讓人思考可能是計算的方法本身出現了問題， 的確，由於通常的場論堅持用拉格朗日密度和作用量這些局域的東西進行描述，不得不出現很多冗餘的自由度，也就是規范不變性帶來的自由度，比如量子電動力學中的縱向偏振，規范場中的鬼場等都是規范自由度帶來的不好的副產品。如果能拋棄費曼圖，重新的基於可觀測量formulate量子場論，避開了規范對稱性帶來的冗餘自由度，那麼可能計算就會大大的簡化，並且看到一些新的東西。就像拉格朗日和哈密頓重新表述了牛頓力學，讓量子力學得以在此基礎上自然的出現。 散射振幅用的記號是旋量－螺旋度方法，它的出現基於這樣一個事實，因為矢量是在這個表示下變換的，所以可以拆成一個左旋和一個右旋的旋量來表示。根據螺旋度的正負對於旋量進行分類。對於無質量的旋量場，4分量的dirac旋量可以脫耦合成兩分量的外爾旋量，螺旋度為正的用方括弧表示，螺旋度為負的用表示，因為無質量螺旋度和手征性又是一樣的，所以也可以說用方括弧表示右手，用尖括弧表示左手旋量。這樣，動量和偏振實際上都可以表示成spinor-helicity形式。

⑤ 在計算機構的自由度時，要注意哪些事項

(1)正確運用機構自由計算的公式

平面機構自由度的計算公式是個一般表達式，在實際計算中必須考慮各注意事項。

(2)要搞清楚構件、運動副及約束的概念

只有搞清楚構件、運動副及約束的概念，才能正確判斷活動構件數、運動副的類型和各類運動副的數目。構件是獨立的運動單元體。

對於貌似能獨立運動而實際上不能做相對運動的所謂「構件」的組合應看作一個構件，如固結在同一軸上的凸輪、齒輪，同軸同速轉動，應視為一個構件。運動副是指兩個構件直接接觸形成的可動連接。

要構成運動副必須滿足以下條件：要有兩個構件相接觸，一個構件構不成運動副，兩個以上的構件在一處接觸可能構成多個運動副；兩構件要直接接觸。

否則不可能對構件的某些獨立運動產生約束或限制，不能形成運動副；兩構件要形成可動連接，若形成不可相對運動的連接，則這種連接稱為固結，這兩個「構件」實際上為一個構件。

(3)正確識別和處理機構中存在的復合鉸鏈、局部自由度和虛約束

准確識別復合校鏈、局部自由度和虛約束，並做出正確處理，是自由度計算中的難點，也是容易出現錯誤的地方。

(5)旋量計算方法擴展閱讀

1、基於群論、李代數、微分幾何的知識來解決自由度計算的問題。群論、李代數、微分幾何是解決復雜機構學問題的法寶。如果掌握，對於機構的設計與分析，並聯機構的設計及計算，甚至機構的概念設計都有著十分積極的意義。

現代的機構學與機器人學很多理論都是基於此而形成的。然而此種方法對設計人員的知識水平要求較高，對於普通的設計人員以及大學本科生來說不太實用。

2、基於螺旋理論的自由度計算方法。旋量也是解決機構學問題的利器。該種方法雖然並不能完美地解決所有的自由度問題。但在理解上更接近於第一種。

在理解難度上大於第二種，計算難度上小於第二種。可以對於機構的概念設計有潛移默化的影響。不過對於普通的設計人員與大學本科生來說，理解還是困難的。

⑥ 自由度的分類

一個桿件（剛體）在平面可以由其上任一點A的坐標x和y，以及通過A點的垂線AB與橫坐標軸的夾角等3個參數來決定，因此桿件具有3個自由度。
【計算公式】 F=3n－(2PL +Ph ) n:活動構件數，PL：低副約束數Ph:高副約束數
計算平面機構自由度的注意事項： 復合鉸鏈 －－兩個以上的構件在同一處以轉動副相聯。復合鉸鏈處理方法:如有K個構件在同一處形成復合鉸鏈，則其轉動副的數目為（k-1）個。 局部自由度：構件局部運動所產生的自由度，它僅僅局限於該構件本身，而不影響其他構件的運動。局部自由度常發生在為減小高副磨損而將滑動摩擦變為滾動磨擦所增加的滾子處。處理方法：在計算自由度時，從機構自由度計算公式中將局部自由度減去。 虛約束 －－對機構的運動實際不起作用的約束。計算自由度時應去掉虛約束。虛約束都是在一定的幾何條件下出現的。常見有以下幾種情況： 兩構件聯接前後，聯接點的軌跡重合。如：平行四邊形機構，火車輪，橢圓儀。 兩構件構成多個移動副，且導路平行。 兩構件構成多個轉動副，且同軸。 運動時，兩構件上的兩點距離始終不變。 對運動不起作用的對稱部分。如多個行星輪 兩構件構成高副，兩處接觸，且法線重合。如等寬凸輪
【注意】機構中出現虛約束是有條件的！虛約束一般有以下作用：改善機構受力情況；傳遞較大功率；
增加機構的剛度，如軸與軸承、機床導軌；使機構運動順利，避免運動不確定，如車輪。 一個桿件（剛體），在空間上完全沒有約束，那麼它可以在3個正交方向上平動，還可以以三個正交方向為軸進行轉動，那麼就有6個自由度。
空間機構自由度的計算：
第一種方法：
傳統方法，通過公式F=6n－
也就是通過所有剛體的自由度數之和減去每一個運動副所約束的自由度數。這種方法的優點是，便於設計分析人員的分析與計算。尤其在平面機構的自由度分析上，通過計算者識別虛約束與局部自由度，幾乎可以完成大部分機構的自由度計算。然而對於空間機構來說，由於虛約束與局部自由度難以識別，而且機構本身的尺寸，約束的位置不同、機構的實際運動自由度會有很大的差異。該公式已經難以勝任間機構的自由度計算任務。不過難以否認的是該公式在機械設計史上的突出貢獻，很多經典的機構，機械裝置都是基於該公式設計而成的。
第二種方法
通過構建機構的運動學分析方程並分析其秩來計算其自由度，或是拆分出機構的每一個閉鏈，通過虛位移矩陣法來分析機構自由度。此種方法的好處是在理論上可以完美的計算出機構的自由度，計算方法在理解上較為簡單。然而該種方法雖然理解簡單但計算過程本身較繁瑣，而且該方法適用於對於已設計出機構的分析，利用該公式進行機構設計並不太方便。不過這種方法也較為成熟，也最好理解，很多書籍上都有介紹。
第三種方法
對機構的Jacobian矩陣計算其零空間，來分析機構的自由度。這種方法雖然理論上也可以解決自由度計算但是應用較為少見。其一是零空間的計算十分困難，甚至利用軟體也難以解決。其二是該種方法也適用於對已有機構的分析計算，難以利用該方法實現創新。
第四種方法
基於群論、李代數、微分幾何的知識來解決自由度計算的問題。群論、李代數、微分幾何是解決復雜機構學問題的法寶。如果掌握，對於機構的設計與分析，並聯機構的設計及計算，甚至機構的概念設計都有著十分積極的意義。現代的機構學與機器人學很多理論都是基於此而形成的。然而此種方法對設計人員的知識水平要求較高，對於普通的設計人員以及大學本科生來說不太實用。
第五種方法
基於螺旋理論的自由度計算方法。旋量也是解決機構學問題的利器。該種方法雖然並不能完美的解決所有的自由度問題。但在理解上更接近於第一種。在理解難度上大於第二種，計算難度上小於第二種。可以對於機構的概念設計有潛移默化的影響。不過對於普通的設計人員與大學本科生來說，理解還是困難的。
總體來說，直到2015年還沒有機構自由度計算的完美解決方案

⑦ 旋量是什麼

跡規劃是機器人控制問題的重要方面，根據作業要求通地軌跡序列控制點控制機器人位姿軌跡。Paul〔1〕首先利用齊次變換矩陣將手部在直角坐標下的位置、速度和加速度變換成各關節的位移、速度和加速度，然後規劃成二次平滑函數。Paul方法的計算量非常大，Taylor〔2〕採用四元數表示法改進了Paul方法。後來Lin和Luh〔3，4〕提出規劃軌跡的3次樣條函數方法，可得到優化的關節運動規律，但當軌跡中間路徑點個數n較多時，此法所需計算量也較大，而且缺乏時姿態插補的考慮。在許多高精度應用場合，如切割、弧焊等不僅要求機器人位置精確，還需要在該位置具有任意確定的姿態，對外部品質的要求是很高的。因此，必須解決機器人姿態在插補結點處相應的空間坐標，以尋求更具一般意義的位姿軌跡生成的通用演算法。
本文運用旋量法來描述機器人末端夾持器在直角坐標空間中的位置和姿態對時間函數所顯示的運動軌跡，由於姿態旋量的直觀和簡便對描述瞬時姿態有獨特的優點，且計算量也小。文中還利用速度矢量是雅可比矩陣列向量的線性組合關系，對廣義坐標的速度量進行線性規劃，免去了求解運動學方程，並適合於具有冗餘自由度的操作器。

1 機器人位姿軌跡
1.1 姿態旋量
機器人的位姿就是終端夾持器的位置和姿態。我們可以用角位移矢量Ω來描述機器人的姿態，設ψ為基坐標系中繞瞬時軸加轉的等效旋轉角，K表示基系中瞬時轉軸的單位向量，則角位移矢量：
Ω＝ψK。
根據旋量定義，可以證明等效角位移矢量的姿態矢量是旋量，表示為

式中，OP為用位移矢量上給定的初始點位置，基系原點O為旋量參考點。

由對偶數理論可知：三維歐氏空間中直線與三維對偶空間中的點是一一對應，於此可將直角坐標空間中的姿態旋量映射到對偶空間，得到對應點，位姿軌跡的規劃問題便轉化為對偶空間中由姿態旋量所映射的點運動軌跡的選擇問題。

圖1 姿態旋量

1.2 位姿軌跡
設T為機器人由起始點到結束點完成運動所需的總時間，t為分段軌跡算起的時間，令

若在時間間隔〔0，t〕內，機器人完成一個給定的工作，整個工作軌跡上需計算的采樣點數：
N0＝Int(t／T)。
姿態旋量時應的對偶空間中的點假設沿著一連續軌跡運動

是λ(t)的對偶函數，寫成對偶坐標形式。
(1)
式中Ωxi,Ωyi,Ωzi為姿態坐標分量，的Plücker坐標(Ωi，Soi，用坐標分量的純量形式表示為(Ωxi,Ωyi,Ωzi,S0xi,S0yi,S0zi)
姿態矢量Ωi為瞬時轉動軸上的自由矢量，只有當Pi點位置確定後，它才在軸線上唯一定位。Ωi在空間的定位可通過瞬時轉動軸線上Pi的位置矢量rip給定，於此S0i＝rip×Ωi〔5〕，將式(1)改寫成行列式形式的參數方程為
(2)
式中，xpi,ypi,zpi為夾持器姿態矢量Ωi在軸線上Pi點相對於基系的坐標，式(2)就是機器人位姿的姿態旋量表示。由Ωxi，Ωyi,Ωzi確定機器人夾持器的姿態軌跡，由xpi,ypi,zpi導出其位置軌跡，設定理想位置及姿態軌跡為
(3)
(4)
代入式(2)便可確定機器人在對偶空間的姿態旋量。機器人在進行焊接或切割工作，圓弧曲線軌跡運動中姿態的變化，需要按式(2)求出每一采樣時刻的姿態角。

2 機器人運動螺旋方程
設為終端速度旋量，為姿態角速度向量，vpi為終端位置速度，基旋量，
(5)
(6)
於端夾持器的瞬時運動螺旋方程為
(7)
螺旋軸線Plücker坐標為

3 關節運動速度
設固聯於機器人各可動件上的附件參考系原點O′i放在運動副關節處，相鄰運動副軸線之間的合法線長度為a12，a23，……；相鄰兩桿之間的偏距分別為d1，d2，…；相鄰軸線之間的扭向角為v12，v23，…；運動副相對回轉角為θ1，θ2，…。
定義函數

令
取第i關節的轉角θi，或滑移距離zi作為廣義坐標，qi＝(1－μi)zi＋μiθi(i＝1，2，…，n)
將螺旋運動旋量方程(7)作轉換後可得
(8)
或表示為
(9)
式中，J1，J2，J3是雅可比矩陣J的三個3×3子陣，這里注意到六關節機器人決定姿態的關節4、5、6的變數沒有影響vx,vy,vz的移動，可將式(9)分解寫成
(10)
(11)
由上式可知終端執行器移動線速度和轉動角速度與各關節角速度的關系由雅可比矩陣聯系，它由機器人各桿件的位姿矩陣和旋轉矩陣組合給出。
根據工作過程的需要，規劃終端執行器的位姿軌跡及速度必需與末端的實際測定的數值一致。然而，機器人各桿件的彈性變動，關節間隙，重力負載及桿件離心效應等因素的影響致使機器人位姿動態精度形成誤差。設為期望軌跡上的速度旋量，為機器人末端測定的實際速度旋量，由感測器可獲得實際位姿軌跡與期望作業偏差為

機器人的位置和姿態誤差分別小於給定誤差R及G的概率〔6〕。為使誤差收斂反回軌跡，以消除誤差的累積效果，需使位置及姿態誤差得到校正補償，式(10)，(11)改寫為
(12)
(13)
式(12)、(13)適用於J滿秩的情況，當機器人具有冗餘自由度時，對應的有無窮多解，對此可取能量損失為最小，選取最優解
(14)
為尋求滿足式(14)使損失函數N()，為最小，應用拉格朗日運算元解
(15)
W為n×n對稱正定矩陣，λ為Lagrange乘子，滿足最優解的必要條件是

即
(16)
(17)
在式(16)，(17)中消去λ，得最優解。
(18)
考慮到使誤差得到收斂，式(18)改寫成
(19)
其中均為正定陣。式(19)適用於有冗餘自由度時的規劃。要求關節運動速度不應達到邊界位置極限速度，設M為允許的最大速度，必需使＜M，以適應電機最大轉速的要求。

4 算 例
設斯坦福機械手在擬定軌跡中通過空間3個已知點P1(50，0，118)，P2(110.5，50，84)，P3(50.2，100，50)，並在三點保持姿態為Ω1(0，0，1.57)T，Ω2（0，－0.045，0)T，Ω3(0，0，1.57)T。P1，Ω1狀態相對應的關節坐標及其相應的正弦和餘弦值如表1，試規劃其運動和位姿軌跡。
表1

關節坐標

坐 標 數 值 正 弦 余 弦
θ1 0° 0 1

θ2 90° 1 0

θ3 ／ ／
θ4 0° 0 1
θ5 90° 1 0
θ6 90° 1 0

解 設機械手終端以圓弧軌跡規劃，其位置坐標函數及姿態坐標函數為
xp＝f1〔λ(t)〕＝60.5sin(2.9966°t)＋50，
yp＝f2〔λ(t)〕＝－50.03cos(2.9966°t)＋50，
zp＝f3〔λ(t)〕＝34cos(2.9966°t)＋84，
Ωx＝ζ1〔λ(t)〕＝－0.05cos2(2.9966°t)＋0.05sin(2.9966°t)＋0.05，
Ωy＝ζ2〔λ(t)〕＝－0.065sin(2.9966°t)＋0.02cos2(2.9966°t)＋0.02，
Ωz＝ζ3〔λ(t)〕＝0.0012cos2(2.9966°t)－1.57sin(2.9966°t)＋1.569。
設運動總時間為T＝60s，據式(2)當t＝40s時終端夾持器的位置，姿態為

據式(5)、(6)可求得t＝40s終端的位姿速度值，

斯坦福機械手雅可比矩陣的三個子陣為

其中，
J11＝－d2〔C2(C4C5C6－S4S6)－S2S5C6〕＋S2d3(S4C5C6＋C4S6)，
J21＝－d2〔－C2(C4C5C6＋S4S6)＋S2S5S6〕＋S2d3(－S4C5S6＋C4C6)，
J31＝－d2(C2C4S5＋S2C5)＋S2d3(S4S5)，
J12＝d3(C4C5C6－S4S6)，J13＝－S5C6，
J22＝－d3(C4C5S6＋S4C6)，J23＝S5S6,
J32＝d3C4S5，J33＝C5。
d2＝－t6041S1＋t6042C1，
d3＝S2(t6041C1＋t6042S1)＋t6043C2，
Ci＝cosθi，Si＝sinθi，(i＝1，2，…，6)，
t6041＝102.5，t6042＝25.09，t6043＝67.07，
可得d2＝25.09，d3＝102.5。
據測定手部位姿誤差統計值為Δx＝0.08465，Δy＝0.1269，Δz＝0.1050，Δφx＝0.0022，Δφy＝0.0025，Δφz＝0.0041。取

據式(12)，(13)可得關節速度

5 結 論
1)本文用對偶映射原理來描述機器人的姿態旋量，用Plücker線坐標表達機器人位姿。
2)在機器人軌跡規劃中，利用旋量方法時描述瞬時姿態具有直觀、簡便的獨特優點，比較全面地表達了終端執行器的位置和姿態的軌跡生成，且計算量較少。
3)根據實際工作軌跡進行規劃，提高了操作器運行精確性，並使非線性優化問題化為線性優化問題，利用速度矢量是雅可比矩陣列向量的線性組合關系，免去了求解逆運動學方程，並適合於具有冗餘自由度的操作器。■

基金項目：福建省自然科學基金資助項目
作者單位：林瑞麟(華僑大學機電工程系，福建泉州362011)

參考文獻：

〔1〕Paul R P. Manipulator cartesian path contor〔J〕. IEEE Transaction on Systems,Man, and Cybernetics,1979,9(11)：702～711.
〔2〕Taylor R H. Planning and execution of straight line trajectories〔J〕. IBM Journal of Research and Development,1979,23：424～436.
〔3〕Lin C S, Chang P R, Luh JYS. Formulation and optimization of cubic polynomial joint trajectories for instrial robots〔J〕. IEEE Jransaction on Automatic Control,1983,28(12)：1066～1073.
〔4〕Luh J Y S, Lin C S. Approximate join trajectories for control of instrial robots along cartesian paths〔J〕. IEEE Trans System, Man and Cybernetico，1984，14(3)：444～450.
〔5〕林瑞麟，蔣少茵，林碧. 旋量法在機器人動力學分析中的應用〔J〕.應用數學和力學，1996，17(1)：75～80.
〔6〕徐衛良，張啟先. 機器人誤差分析的蒙特卡洛方法〔J〕.機器人，1988，2(4)：1～5.

(湯任基推薦)
收稿日期：1998-02-05

修訂日期：1999-10-30

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