特殊有理數計算方法

㈠ 有理數運算的常見簡便方法是

有理數的運演算法則
一、加法。

有理數的加法與小學的加法大有不同，小學的加法不涉及到符號的問題，而有理數的加法運算總是涉及到兩個問題：一是確定結果的符號；二是求結果的絕對值。在進行有理數加法運算時，首先判斷兩個加數的符號：是同號還是異號，是否有0，從而確定用那一條法則。

在應用過程中，一定要牢記「先符號，後絕對值"。多個有理數的加法，可以從左向右計算，也可以用加法的運算定律計算，但是在下筆前一定要思考好，哪一個要用定律哪一個要從左往右計算。

1、同號相加，取相同符號，並把絕對值相加。

2、絕對值不等的異號相加，取絕對值較大的加數符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。

3、一個數同0相加，仍得這個數。

4、相反數相加結果一定得0。

交換律和結合律

有理數的加法同樣擁有交換律和結合律。(和整數得交換律和結合律一樣)。

用字母表示為：

交換律：a+b=b+a 兩個數相加，交換加數的位置和不變。

結合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把後兩個數相加，和不變。

二、減法

有理數減法法則：減去一個數，等於加上這個數的相反數。其中：兩變：減法運算變加法運算，減數變成它的相反數做加數。一不變：被減數不變。可以表示成： a-b=a+（-b）。

三、乘法

1、兩數相乘，同號為正，異號為負，並把絕對值相乘。

例：（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 。

2、任何數同0相乘，都得0。

例：0×1=0

3、幾個不等於0的數字相乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個數時，積為負；當負因數有偶數個數時，積為正。並把其絕對值相乘。

例：（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=積為正數，而（-4）×（-7）×(-25）=積為負數。

4、幾個數相乘，有一個因數為0時，積為0。

例：3×（-2）×0=0 。

5、乘積為1的兩個有理數互為倒數。例如，-3與-1/3，-3/8與-8/3。

四、除法

1、除以一個數等於乘以這個數的倒數。（注意：0沒有倒數）。

2、兩數相除，同號為正，異號為負，並把絕對值相除。

3、0除以任何一個不等於0的數，都等於0。

基本釋義

有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。

整數也可看做是分母為一的分數。不是有理數的實數稱為無理數，即無理數的小數部分是無限不循環的數。是「數與代數」領域中的重要內容之一，在現實生活中有廣泛的應用，是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角坐標系、函數、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。

有理數集可以用大寫黑正體符號Q代表。但Q並不表示有理數，有理數集與有理數是兩個不同的概念。有理數集是元素為全體有理數的集合，而有理數則為有理數集中的所有元素。

以上資料參考：網路-有理數

㈡ 有理數的公式

．理解有理數除法的意義，熟練掌握有理數除法法則，會進行有理數的除法運算；

2．了解倒數概念，會求給定有理數的倒數；

3．通過將除法運算轉化為乘法運算，培養學生的轉化的思想；通過有理數的除法運算，培養學生的運算能力。

教學建議

（一）重點、難點分析

本節教學的重點是熟練進行有理數的除法運算，教學難點是理解有理數的除法法則。

1．有理數除法有兩種法則。法則1：除以一個數等於乘以這個數的倒數。是把除法轉化為乘法來解決問題。法則2是把有理數除法納入有理數運算的統一程序：一確定符號；二計算絕對值。如：按法則1計算：原式；按法則2計算：原式。

2．對於除法的兩個法則，在計算時可根據具體的情況選用，一般在不能整除的情況下應用第一法則。如；在有整除的情況下，應用第二個法則比較方便，如；在能整除的情況下，應用第二個法則比較方便，如，如寫成就麻煩了。

（二）知識結構

（三）教法建議

1.學生實際運算時，老師要強調先確定商的符號，然後在根據不同情況採取適當的方法求商的絕對值，求商的絕對值時，可以直接除，也可以乘以除數的倒數。

2．關於0不能做除數的問題，讓學生結合小學的知識接受這一認識就可以了，不必具體講述0為什麼不能做除數的理由。

3．理解倒數的概念

（1）根據定義乘積為1的兩個數互為倒數，即：，則互為倒數。如：，則2與，－2與互為倒數。

（2）由倒數的定義，我們可以得到求已知數倒數的一種基本方法：即用1除以已知數，所得商就是已知數的倒數。如：求的倒數：計算，－2就是的倒數。一般我們求已知數的倒數很少用這種方法，實際應用時我們常把已知數看作分數形式，然後把分子、分母顛倒位置，所得新數就是原數的倒數。如－2可以看作，分子、分母顛倒位置後為，就是的倒數。

（3）倒數與相反數這兩個概念很容易混淆。要注意區分。首先倒數是指乘積為1的兩個數，而相反數是指和為0的兩個數。如：，2與互為倒數，2與－2互為相反數。其次互為倒數的兩個數符號相同，而互為相反數符號相反。如：－2的倒數是，－2的相反數是+2；另外0沒有倒數，而0的相反數是0。

4．關於倒數的求法要注意：

（1）求分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母顛倒位置即可．

（2）正數的倒數是正數，負數的倒數仍是負數．

（3）負倒數的定義：乘積是－1的兩個數互為負倒數．
教學設計示例

有理數的除法

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．了解有理數除法的定義．

2．理解倒數的意義．

3．掌握有理數除法法則，會進行有理數的除法運算．

（二）能力訓練點

1．通過有理數除法法則的導出及運算，讓學生體會轉化思想．

2．培養學生運用數學思想指導思維活動的能力．

（三）德育滲透點

通過學習有理數除法運算、感知數學知識具有普遍聯系性、相互轉化性．

（四）美育滲透點

把小學算術里的乘法法則推廣到有理數范圍內，體現了知識體系的完整美．

二、學法引導

1．教學方法：遵循啟發式教學原則，注意創設問題情境，精心構思啟發導語並及時點撥，使學生主動發展思維和能力．

2．學生學法：通過練習探索新知→歸納除法法則→鞏固練習

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1．重點：除法法則的靈活運用和倒數的概念．

2．難點：有理數除法確定商的符號後，怎樣根據不同的情況來取適當的方法求商的絕對值．

3．疑點：對零不能作除數與零沒有倒數的理解．

四、課時安排

1課時

五、教具學具准備

投影儀、自製膠片、彩粉筆．

六、師生互動活動設計

教師出示探索性練習，學生討論歸納除法法則，教師出示鞏固性練習，學生以多種形式完成．

七、教學步驟

（一）創設情境，復習導入

師：以上我們學習了有理數的乘法，這節我們應該學習有理數的除法，板書課題．

【教法說明】有理數的除法同小學算術中除法一樣—除以一個數等於乘以這個數的倒數，所以必須以學好求一個有理數的倒數為基礎學習有理數的除法．

（二）探索新知，講授新課

1．倒數．

（出示投影1）

4×（ ）＝1； ×（ ）＝1； 0.5×（ ）＝1；
0×（ ）＝1； －4×（ ）＝1； ×（ ）＝1．

學生活動：口答以上題目．

【教法說明】在有理數乘法的基礎上，學生很容易地做出這幾個題目，在題目的選擇上，注意了數的全面性，即有正數、0、負數，又有整數、分數，在數的變化中，讓學生回憶、體會出求各種數的倒數的方法．

師問：兩個數乘積是1，這兩個數有什麼關系？

學生活動：乘積是1的兩個數互為倒數．（板書）

師問：0有倒數嗎？為什麼？

學生活動：通過題目0×（ ）＝1得出0乘以任何數都不得1，0沒有倒數．

師：引入負數後，乘積是1的兩個負數也互為倒數，如－4與，與互為倒數，即的倒數是．

提出問題：根據以上題目，怎樣求整數、分數、小數的倒數？

【教法說明】教師注意創設問題情境，讓學生參與思考，循序漸進地引出，對於有理數也有倒數是．對於怎樣求整數、分數、小數的倒數，學生還很難總結出方法，提出這個問題是讓學生帶著問題來做下組練習．

（出示投影2）

求下列各數的倒數：

（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）－5； （6）1．

學生活動：通過思考口答這6小題，討論後得出，求整數的倒數是用1除以它，求分數的倒數是分子分母顛倒位置；求小數的倒數必須先化成分數再求．

2．有理數的除法

計算：8÷（－4）．

計算：8×（）＝？ （－2）

∴8÷（－4）＝8×（）．

再嘗試：－16÷（－2）＝？ －16×（）＝？

師：根據以上題目，你能說出怎樣計算有理數的除法嗎？能用含字母的式子表示嗎？

學生活動：同桌互相討論．（一個學生回答）

師強調後板書：

〔板書〕

【教法說明】通過學生親自演算和教師的引導，對有理數除法法則及字母表示有了非常清楚的認識，教師放手讓學生總結法則，尤其是字母表示，訓練學生的歸納及口頭表達能力．

（三）嘗試反饋，鞏固練習

師在黑板上出示例題．

計算（1）（－36）÷9， （2）（）÷（）．

學生嘗試做此題目．

（出示投影3）

1．計算：

（1）（－18）÷6； （2）（－63）÷（－7）； （3）（－36）÷6；

（4）1÷（－9）； （5）0÷（－8）； （6）16÷（－3）．

2．計算：

（1）（）÷（）； （2）（－6.5）÷0.13；

（3）（）÷（）； （4）÷（－1）．

學生活動：1題讓學生搶答，教師用復合膠片顯示結果．2題在練習本上演示，兩個同學板演（教師訂正）．

【教法說明】此組練習中兩個題目都是對的直接應用．1題是整數，利用口答形式訓練學生速算能力．2題是小數、分數略有難度，要求學生自行演算，加強運算的准確性，2題（2）小題必須把小數都化成分數再轉化成乘法來計算．

提出問題：（1）兩數相除，商的符號怎樣確定，商的絕對值呢？（2）0不能做除數，0做被除數時商是多少？

學生活動：分組討論，1—2個同學回答．

〔板書〕

2．兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除．

0除以任何不等於0的數，都得0．

【教法說明】通過上組練習的結果，不難看出有理數的除法與有理數乘法有類似的法則，這個法則的得出為計算有理數除法又添了一種方法，這時教師要及時指出，在做有理數除法的題目時，要根據具體情況，靈活運用這兩種方法．

（四）變式訓練，培養能力

回顧例1 計算：（1）（－36）÷9； （2）（）÷（）．

提出問題：每個題目你想採用哪種法則計算更簡單？

學生活動：（1）題採用兩數相除，異號得負並把絕對值相除的方法較簡單．

（2）題仍用除以一個數等於乘以這個數的倒數較簡單．

提出問題：－36：9＝？；：（）＝？它們都屬於除法運算嗎？

學生活動：口答出答案．

（出示投影4）

例2 化簡下列分數

（1）； （2）； （3）或3：（－36）

（4）； （5）．

例3 計算

（1）（）÷（－6）； （2）－3.5÷×（）；

（3）（－6）÷（－4）×（）．

學生活動：例2讓學生口答，例3全體同學獨立計算，三個學生板演．

【教法說明】例2是檢查學生對有理數除法法則的靈活運用能力，並滲透了除法、分數、比可互相轉化，並且通過這種轉化，常常可能簡化計算．例3培養學生分析問題的能力，優化學生思維品質：

如在（1）（）÷（－6）中．

根據方法①（）÷（－6）＝×（）＝．

根據方法②（）÷（－6）＝（24＋）×＝4＋＝．

讓學生區分方法的差異，點明方法②非常簡便，肯定當除法轉化成乘法時，可以利用有理數乘法運算律簡化運算．（2）（3）小題也是如此．

（五）歸納小結

師：今天我們學習了有理數的除法及倒數的概念，回答問題：

1．的倒數是__________________（）；

2．；

3．若、同號，則；

若、異號，則；

若，時，則；

學生活動：分組討論，三個學生口答．

【教法說明】對這節課全部知識點的回顧不是教師單純地總結，而是讓學生在思考回答的過程中自己把整節內容進行了梳理，並且上升到了用字母表示的數學式子，逐步培養學生用數學語言表達數學規律的能力．

八、隨堂練習

1．填空題

（1）的倒數為__________，相反數為____________，絕對值為___________

（2）（－18）÷（－9）＝_____________；

（3）÷（－2.5）＝_____________；

（4）；

（5）若，是；

（6）若、互為倒數，則；

（7）或、互為相反數且，則，；

（8）當時，有意義；

（9）當時，；

（10）若，，則，和符號是_________，___________．

2．計算

（1）－4.5÷（）×；

（2）（－12）÷〔（－3）＋（－15）〕÷（＋5）．

九、布置作業

（一）必做題：1．仿照例1、例2自編2道題，同桌交換解答．

2．計算：（1）（）×（）÷（）；

（2）－6÷（－0.25）×．

3．當，，時求的值．

（二）選做題：1．填空：用「＞」「＜」「＝」號填空

（1）如果，則，；

（2）如果，則，；

（3）如果，則，；

（4）如果，則，；

2．判斷：正確的打「√」錯的打「×」

（1）（ ）；

（2）（ ）．

3．（1）倒數等於它本身的數是______________．

（2）互為相反數的數（0除外）商是________________．

【教法說明】必做題為本節的重點內容，首先在這節課學習的基礎上讓同學仿照例題編題，學生也有這方面的能力，極大調動了學生積極性，提高了學生運用知識的能力．

選作題是對這節課重點內容的進一步理解和運用，為學有餘力的學生提供了展示自己的機會．

十、板書設計

㈢ 有理數的四則運算方法

有理數四則運算
 
1、有理數的加法（1）符號相同的兩數相加，
和的符號與兩個加數的符號一致，和的絕對值等於兩個加數絕對值之和；+14+12=+|14+12|=+26    -15-14=-|15+14|=-29 
（2）符號相反的兩數相加：
當兩個加數絕對值不等時，和的符號與絕對值較大的加數的符號相同，和的絕對值等於加數中較大的絕對值減去較小的絕對值；
 35+（-25）=+|35-25|=+10 
32+（-60）=-|60-32|=-28 
（3）互為相反的兩個數相加得0；-26+（+26）=0 
（4）一個數同0相加，仍得這個數。
  -26+0=-26   35+0=35 注意：一個有理數由符號和絕對值兩部分組成，所以進行加法運算時，必須分別確定和的符和絕對值。
2、有理數的減法
減去一個數，等於加上這個數的相反數。
例如：(-25)(-17)= -25+17=|2517|=-8 
 14-（+35）=14+（-35）=-|35-14|=-21 (-25)+(-17)可以寫成省略括弧的形式：14+12-25-17，可以讀作「正14加12減25減17」，也可以讀作「正14、正12、負25、負17的和。」在把有理數加減混合運算統一為最簡的形式，負數前面的加號可以省略不寫。
 3、有理數的乘法
 （1）兩數相乘，同號得正，異號得負。任何數同0相乘，都得0；（＋2）×（＋3）＝＋6
（－2）×（－3）＝＋6（同號相乘得正）
 （－2）×（＋3）＝－6
 （＋2）×（－3）＝－6（異號相乘得負）

 0×3=0；  0×(－3)=0；2×0=0；(－2)×0=0．（任何數乘0都得0）
（2）互為倒數的兩個數乘積是1，符號相反的兩個互為倒數的乘積是-1；
6/5×5/6=1      （-6/5）×（-5/6）=1 
  6/5×（-5/6）=-1   （-6/5）×5/6=-1   
 （3）幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數
（＋2）×（-3）×（-5）＝＋30 （負因數的個數是偶數積為正）
（＋2）×（＋3）×（-5）＝-30 （負因數的個數是奇數積為負）
（4）兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。
 即ab＝ba （－2）×（＋3）＝（＋3）×（－2）
 （5）三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把後兩個數相乘，積相等。
 （ab）c＝a（bc）（－25）×（＋3）×（－4）＝（－25）×（－4）×（＋3） 
（6）一個數同兩個數的和相乘，等於把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。
 a（b＋c）＝ab＋ac （－25）×（4＋8）＝（－25）×4＋（－25）×（＋8）
 4、有理數的除法
（1）兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。
 72÷9=8      （-72）÷（-9）=8 （同號相除得正）
（2）0除以任何一個不等於的數，都得0。
0÷9=0       0÷（-9）=0
 （3）除以一個不等於0的數，等於乘這個數的倒數。
   15÷6/5=15×5/6=18    15÷（-6/5）=15×(-5/6)=-18
（4）因為有理數的除法可以化為乘法，所以可以利用乘法的運算性質簡化運算。
乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然後確定積的符號，最後求出結果。
 例：-35÷8/7×(-4/3)                  
原式=-35×7/8×(-4/3)   （變除為乘）
=-40×(-3)     （約分）
= 30 
 

㈣ 誰可以給我講講有理數的計算方法【盡量講的好懂一些】/步驟。

加減
負數加負數
無視符號把他們加起來再在前面寫個負號。
正數加正數不解釋。
正數加負數
無視符號用大的減小的，然後看大的是正數結果就是正，負數結果就是負。
正數減正數如果不夠減就倒過來減結果加負號。
正數減負數等於加這個數的相反數。比如-（-7）等於7.
負數減負數同上。然後可以轉變成加法。
乘除
正正得正，負負得正，正負得負。很簡單。
夠好理解了吧-
-。初二黨飄過。

㈤ 數學有理數加減乘除運算的計算方法

有理數的加法法則：
①同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加。
②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加和為0。
③一個數同0相加，仍得這個數。
有理數的減法法則：
減去一個數，等於加上它的相反數.
有理數乘法法則：
兩數相乘，同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。
任何數與0相乘，都得0。
有理數除法法則：
①兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。
0除以任何一個不等於0數，都得0。
②除以一個不等於0的數，等於乘這個數的倒數。
加法交換律：
兩個數相加，交換加數的位置，和不變。
加法結合律：
三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把後兩個數相加，和不變。
乘法交換律：
兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。
分配律：
一個數同兩個數的和相乘，等於把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。
字母表示：(a＋b)c＝ac＋bc
(a、b、c表示任意有理數)
有理數的運算順序
（1）先乘除，再加減。
（2）同級運算，按從左到右的順序進行。
（3）如有括弧，先做括弧內的運算，按小括弧、中括弧、大括弧依次進行。

㈥ 如何計算有理數

有理數的加法法則：

同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加

絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值

有理數減法法則：

減去一個數等於加上這個數的相反數

減法可以化成加法，揭示事物之間相互轉化的規律

有理數的乘法法則;

兩數相乘，同號的正異號得負，並把絕對值相乘

有理數除法法則：

除以任何數等於乘以這個數的倒數

(6)特殊有理數計算方法擴展閱讀

1、一般情況下，四則運算的計算順序是：有括弧時，先算括弧裡面的；只有同一級運算時，從左往右；含有兩級運算，先算乘除後算加減。

2、由於有的計算題具有它自身的特徵，這時運用運算定律，可以使計算過程簡單，同時又不容易出錯。

加法交換律：a+b=b+a

乘法交換律：a×b=b×a

加法結合律：（a+b）+c=a+（b+c）

乘法結合律：（a×b）×c=a×(b×c)

㈦ 有理數的運算

有理數是整數和分數的統稱，一切有理數都可以化成分數的形式。
有理數加減混合運算
1.有理數加減統一成加法的意義：
對於加減混合運算中的減法，我們可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法，這樣就可將混合運算統一為加法運算，統一後的算式是幾個正數或負數的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數和。
2.有理數加減混合運算的方法和步驟：
（1）運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。
（2）運用加法法則，加法交換律，加法結合律簡便運算。
一般情況下，有理數是這樣分類的：
整數、分數；正數、負數和零；負有理數，正有理數。整數和分數統稱有理數，有理數可以用a/b的形式表達，其中a、b都是整數，且互質。我們日常經常使用有理數的。比如多少錢，多少斤等。
凡是不能用a/b形式表達的實數就是無理數，又叫無限不循環小數。
在有理數中，不是無限不循環小數的小數就是分數。

有理數的運演算法則
一、加法
有理數的加法與小學的加法大有不同，小學的加法不涉及到符號的問題,而有理數的加法運算總是涉及到兩個問題:一是確定結果的符號;二是求結果的絕對值. 在進行有理數加法運算時,首先判斷兩個加數的符號:是同號還是異號,是否有0.從而確定用那一條法則。在應用過程中，一定要牢記"先符號,後絕對值"，熟練以後就不會出錯了. 多個有理數的加法，可以從左向右計算,也可以用加法的運算定律計算，但是在下筆前一定要思考好,哪一個要用定律哪一個要從左往右計算.

1.同號相加，取相同符號，並把絕對值相加。
2.絕對值不等的異號相加，取絕對值較大的加數符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
3.一個數同0相加，仍得這個數。
4.相反數相加結果一定得0。
交換律和結合律
有理數的加法同樣擁有交換律和結合律(和整數得交換律和結合律一樣)用字母表示為:
交換律:a+b=b+a 兩個數相加，交換加數的位置和不變。
結合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) 三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把後兩個數相加，和不變。
二、減法
有理數減法法則：減去一個數，等於加上這個數的相反數。其中：兩變：減法運算變加法運算，減數變成它的相反數做加數。一不變：被減數不變。可以表示成： a－b=a+（－b）。
三、乘法
（1）兩數相乘，同號為正，異號為負，並把絕對值相乘。例：（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 。
（2）任何數同0相乘，都得0。 例：0×1=0
（3）幾個不等於0的數字相乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個數時，積為負；當負因數有偶數個數時，積為正。並把其絕對值相乘。例：（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=積為正數，而（-4）×（-7）×(-25）=積為負數
（4）幾個數相乘，有一個因數為0時，積為0。 例：3×（-2）×0=0 。
（5）乘積為1的兩個有理數互為倒數（reciprocal）。例如，—3與—1/3，—3/8與—8/3。
四、除法
（1）除以一個數等於乘以這個數的倒數。（注意：0沒有倒數）
（2）兩數相除，同號為正，異號為負，並把絕對值相除。
（3）0除以任何一個不等於0的數，都等於0。
注意：0在任何條件下都不能做除數