最全計算方法

㈠ 最新最全住房公積金貸款買房計算方法！

你買房了嗎？如果沒有，那麼買房知識怎麼也不會嫌多。他會讓你更加順利購買到真正的好房子。今天小編與大家分享住房公積金貸款買房怎麼計算：

住房公積金貸款額度的計算，要根據還貸能力、房價成數、住房公積金賬戶余額和貸款最高限額四個條件來確定，按四個條件算出的最小值就是借款人的最高可貸金額

計算方法如下：

1. 按照還貸能力計算的貸款額度
   職工本人貸款額度的計算公式為：
   （借款人月工資總額+借款人所在單位住房公積金月繳存額）×還貸能力系數-借款人現有貸款月應還款總額]×貸款期限（月）。
   夫妻雙方貸款額度的計算公式為：
   （夫妻雙方月工資總額+夫妻雙方所在單位住房公積金月繳存額）×還貸能力系數-夫妻雙方現有貸款月應還款總額]×貸款期限（月）。
   其中還貸能力系數為40%。
   月工資總額＝公積金月繳額÷（單位繳存比例＋個人繳存比例）。

2. 按照房屋價格計算的貸款額度
   計算公式為：貸款額度＝房屋價格×貸款成數
   a.購買商品住房、限價商品住房、定向安置經濟適用住房、定向銷售經濟適用房或私產住房。
   職工家庭（包括職工、配偶及未成年子女，下同）貸款購買首套住房（包括商品住房、限價商品住房、定向安置經濟適用住房、定向銷售經濟適用住房或私產住房），貸款額度不超過所購房屋價格的80%。其中私產住房的房屋價格為購房全部價款與房屋評估價格的較低值。
   職工家庭貸款購買第二套及其他符合我市購房條件的自有住房的，貸款額度不超過所購房屋價格的70%。
   購買定向安置經濟適用住房的，貸款額度還應不高於所購住房全部價款與房屋補償金的差價。
   b.購買公有現住房的，貸款額度不超過所購房屋價格的70%；在農村集體土地上建造、翻建、大修自有住房的，貸款額度不超過其所需費用的70%。

3. 按照住房公積金賬戶余額計算的貸款額度
   a.購買限價商品住房或經濟適用住房，貸款額度不得高於職工申請公積金貸款時住房公積金賬戶余額（同時使用配偶住房公積金申請公積金貸款，為職工及配偶住房公積金賬戶余額之和，下同）的20倍，住房公積金賬戶余額不足2萬元的按2萬元計算。
   b.貸款購買首套自有住房的，貸款額度不得高於職工申請公積金貸款時住房公積金賬戶余額的20倍，住房公積金賬戶余額不足2萬元的按2萬元計算。
   c.以下情況貸款額度不得高於職工申請貸款時住房公積金賬戶余額的10倍，住房公積金賬戶余額不足2萬的按2萬計算：貸款購買第二套住房的；購買公有現住房的；在農村集體土地上建造、翻建、大修自有住房的。

4. 按照貸款最高限額計算的貸款額度
   使用本人住房公積金申請住房公積金貸款的，貸款最高限額60萬元；同時使用配偶住房公積金申請住房公積金貸款的，貸款最高限額80萬元。
   申請貸款時職工或其配偶正常繳存按月住房補貼的，參照正常繳存補充住房公積金的規定執行。
   計算出的貸款額度數值保留到千位，千位以下不為零的千位加一。

小編在此祝大家購房順利!

（以上回答發布於2016-11-23，當前相關購房政策請以實際為准）

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㈡ 基本工資的計算方法

1、制度工作時間的計算

年工作日：365天-104天(休息日)-11天(法定節假日)=250天

季工作日：250天÷4季=62.5天/季

月工作日：250天÷12月=20.83天/月

工作小時數的計算：以月、季、年的工作日乘以每日的8小時。

2、日工資、小時工資的折算

按照《勞動法》第五十一條的規定，法定節假日用人單位應當依法支付工資，即折算日工資、小時工資時不剔除國家規定的11天法定節假日。據此，日工資、小時工資的折算為：

日工資：月工資收入÷月計薪天數

小時工資：月工資收入÷(月計薪天數×8小時)。

月計薪天數=(365天-104天)÷12月=21.75天

(2)最全計算方法擴展閱讀：

根據《工資支付暫行規定》：

第十三條 用人單位在勞動者完成勞動定額或規定的工作任務後，根據實際需要安排勞動者在法定標准工作時間以外工作的，應按以下標准支付工資：

（一）用人單位依法安排勞動者在日法定標准工作時間以外延長工作時間的，按照不低於勞動合同規定的勞動者本人小時工資標準的150%支付勞動者工資；

（二）用人單位依法安排勞動者在休息日工作，而又不能安排補休的，按照不低於勞動合同規定的勞動者本人日或小時工資標準的200%支付勞動者工資；

（三）用人單位依法安排勞動者在法定休假節日工作的，按照不低於勞動合同規定的勞動者本人日或小時工資標準的300%支付勞動者工資。

實行計件工資的勞動者，在完成計件定額任務後，由用人單位安排延長工作時間的，應根據上述規定的原則，分別按照不低於其本人法定工作時間計件單價的150%、200%、300%支付其工資。

經勞動行政部門批准實行綜合計算工時工作制的，其綜合計算工作時間超過法定標准工 作時間的部分，應視為延長工作時間，並應按本規定支付勞動者延長工作時間的工資。

實行不定時工時制度的勞動者，不執行上述規定。

㈢ 汽車油耗多錢的計算公式

計算公式為百公里油耗*油單價÷100=每公里燃油費用。假設一輛車的百公里油耗為7升，當前如果92號汽油價格為每升7元，則該車行駛100公里需要的油錢大概為49元。然後再除以100公里，四捨五入就是0.49元。

加滿了油到自動跳槍後，開車跑路到附油箱加油告急燈剛剛亮時，看看跑了多少公里。用50升減15升後，直接簡單計算油耗。例如跑了420公里，用50升減15升後得35升再被4.2除得到8.333，這個8.333就是你的實際比較粗的百公里油耗。

業余計算方法一：所耗油量：100/7.5=13.3升；油耗：13.4/130*100=6.1升/百公里，即每百公里油耗為6.1升。

等速油耗是國標規定的某些類型車輛在等速行駛燃料消耗量試驗中得到的車輛百公里油耗。這些類型車輛包括：

（1）M1類、最大設計總質量不超過3.5t的M2類和N1類的壓縮天然氣汽車；最大設計總質量不超過3.5t的M1類、N1類車輛，按GB/T 12545.1-2008《乘用車燃料消耗量試驗方法》規定的試驗方法。

（2）最大設計總質量超過3.5t的M2類、M3類和N2類、N3類的壓縮天然氣汽車；M2類、M3類和最大總質量大於或等於2t的N類車輛，按GB/T 12545.2-2001《商用車燃料消耗量試驗方法》規定的試驗方法。

M類、N類機動車在GB/T15089-2001中有定義。

㈣ 有沒關於窗簾最齊全的計算方法

第一種方法：1 測量用料篇
⑴ 完成品寬度（軌道長度）
 窗簾做非整面牆測量寬度為窗戶寬度加上窗戶兩側各15-30CM，這樣可以保

證窗簾拉上時，兩側無縫隙漏光，當窗簾拉開時，可以讓光線充分進入。
 窗簾做非整面牆測量寬度為牆體寬度
⑵ 完成成品高度
 半高窗簾為窗框高度加上20-30公分
落地窗簾的產品高度為地板上1-2公分為宜
⑶面料的計算方法
一般樣式的用料：

定高布：實際寬度× 2倍的皺摺 =用布的總米數
定高布敷料 ：
a．調節帶：實際寬度× 2倍的皺摺
b．桿：實際寬度
c．底邊鉛墜：
實際寬度 ×2倍的皺摺
d. 三邊鉛墜
實際高度 × 2 ×片數 +實際寬度 ×2倍的皺摺

定寬布：（實際寬度 × 2倍的皺摺）/ 門幅的寬度 = 幅數
（實際高度 + 20公分） × 幅數 =總米數

定寬布敷料：
a．調節帶：副數×門副的寬度
b．桿：實際寬度
c．底邊鉛墜：
幅數×門幅的寬度
d. 三邊鉛墜
實際高度 × 2 ×片數 + 幅數×門幅的寬度
第二種方法：窗簾計算

平開簾 平開簾要蓋住窗框左右各0.15米 並且打兩倍褶。窗簾離地面

0.1～0.2米。

1、平開簾計算方法：（窗寬+0.15×2）×2＝成品簾寬度2

成品簾寬度÷步寬×窗簾高＝窗簾所需布料

如：窗寬2.5米，高1.6米，布料寬1.5米

用料米數為：（2.5+0.15×2）×2＝5.6 5.6÷1.50×1.6＝6米

2、簾頭計算方法：簾頭寬×3倍褶÷布寬（1.50米）＝幅數

幅數×（簾頭高度+免邊）＝所需布數米數

如：窗簾簾頭寬2.5米，高0.48米

用料米數為：2.5米×3÷1.5米＝5 即5幅布 5×（0.48+0.2米）＝3.4

米

羅馬簾：羅馬簾分為內羅馬簾和外羅馬簾。外羅馬簾蓋住窗外框即可，

內羅馬簾測量一定要准確，測量上中下三道尺寸。

以外羅馬簾為例：單個羅馬簾寬度都在1.5米以內，因此在計算時只需

考慮長度，用一幅布料即可。

羅馬簾計算方法：1幅×（窗高+免邊）＝所需布料米數

如：布寬1.5米成品簾規格：寬1.2米×高1.5米

計算方法：1幅×（1.5+0.2）＝1.70米

裡布計算方法：簾高+0.04米（每個褶用布量）×褶數＝裡布所需布料

米數

由於羅馬簾要在裡布上穿鋁條，裡布的長要加上打褶所需布料。
即長：1.5米（簾高）+0.04米（每個褶布用量）×4個褶＝1.66米

第三種方法：計算平開窗簾的方法普通窗簾多為平開簾，計算窗簾用料前，首

先要根據窗戶的規格來確定成品窗簾的大小。 成品簾要蓋住窗框左右各

0.15m ，並且打兩倍褶。安裝時窗簾要離地面 1-2cm 。 計算方法： ( 窗寬

+0.15*2)*2= 成品簾寬度÷布寬 * 窗簾高 = 窗簾所需布料 窗簾簾頭計算方

法：簾頭寬 *3 倍褶÷ 1.50m 布寬 = 幅數 ( 簾頭高度 + 免邊 )= 所需布數

米數 假如窗簾簾頭如寬 1.92m*0.48m 用料米數為 1.92m*3 倍÷

1.50m=3.84, 即 4 幅布 4*(0.48+0.2m)=2.72m
style="BACKGROUND: white; LINE-HEIGHT: 150%; TEXT-ALIGN: center"計算

羅馬簾的方法羅馬簾分為外羅馬簾和內羅馬簾測量：外羅馬簾尺寸只要蓋住窗

外框即可，內羅馬簾測量一定要求准確，測量上、中、下三道尺寸。 以外羅

馬簾的製作為例：單個羅馬簾寬度都在 1.5m 以內，因此在計算時只需考慮長

度，用一幅布料即可。計算方法為： 1 幅 *( 窗高 + 免邊 )= 所需布料米數

假定布寬 1.50m ，成品簾規格：寬 1.20m* 高 1.50m 計算方法為： 1 幅

*1.50( 窗高 )+0.20( 免邊 )=1.70m 裡布：由於羅馬簾要在裡布上穿鋁條，

裡布的長要加上打褶所需布料。 計算方法為：簾高 +0.04m( 每個褶用布量

)* 褶數 = 裡布所需布料的米數 即長： 1.50m( 簾高 )+0.04m( 每個褶用布

量 )*4 個褶 =1.66m 寬： 1.2m 在羅馬簾背面穿鋁條，縫吊環，垂直列間距

為 25-30cm, 水平方向約 2-3 等份。 將每一垂直列的吊環用繩系起，即完成

製作。

第四種方法：窗簾價格如何計算
窗簾的主料並不貴，貴的是輔料和老闆們的「正確演算法」
計算公式，以窗簾寬：窗寬＝1.67為例，老闆會叫你做比例2的。
窗簾價格＝（窗簾每米價格＋輔料每米價格）×窗寬×1.67
紗價格＝（紗每米價格＋輔料每米價格）×窗寬×1.67
軌道價格＝軌道每米價格×窗寬
花邊價格＝花邊每米價格×（2×窗簾寬度＋2×窗簾高度），一般而言一個窗

是兩幅高低相同的窗簾組成，所以花邊價格＝花邊每米價格×（窗寬×1.67＋

2×窗簾高度×4）
或垂線價格＝垂線每米價格×（窗寬×1.67×2＋窗簾高度×4） 如果底邊只

用一條垂線就不用乘以2
因為不同的窗有不同的高度，花邊或垂線要針對每個窗算。

下面是卷簾計算公式：
每幅卷簾價格＝兩個端子價格＋拉線價格＋軌道長度（就是窗寬）×軌道每米

價格＋窗寬×窗高（不低於2米）×每平方米卷簾價格

注意：窗寬和窗簾寬不不同概念，重復：窗簾寬＝比例(如1.67)×窗寬，比例

越高，米就越貴，不過低於1.67就不好看了。

做窗簾省錢幾法：
事前一定要准確丈量窗的寬度，而窗簾製作時要打褶，所以窗寬比窗簾寬度為

3：5，即窗簾布料寬度是窗的1.67倍，如果想褶皺多一些的，這個比例要高，

但是價錢就上去了，其實1.67比例也可以，1.8更是足夠了。店老闆會推薦你

用窗簾：窗＝2。
如果你不想做落地窗簾，而窗的高度不足1.4米，你可以要求老闆算一半的價

錢，因為窗簾高是2.8米，可以做半幅。如果你不說老闆一定給你按2.8的價錢

算。
如果布料下垂性很好，可以考慮不用垂線。垂線一般是3元一米，5元一米的屬

於當你沖頭，老闆會和你說垂線好壞，其實做在窗簾裡面誰知道他用的是哪種

垂線。老闆一般要求你底邊做2條垂線，個人認為一條足夠。
如果你買的布料適合做花邊的，那麼做花邊的費用比做垂線費用低點，只要花

邊簡潔，和布料相配效果也是不錯的
千萬記得叫老闆在收據上寫下窗簾和紗的編號，並且剪下一小角以防止老闆換

布料（花色通，料子不同）。看到有人找商家理論的，35元/米的全棉變成了

10元左右的化纖布料。
定金收據要開好，定金越少越好（法律規定最高20％）。

摘自： 窗簾網搜搜

㈤ 固定資產折舊的計算方法

我國會計准則中可選用的固定資產折舊方法包括年限平均法、工作量法、雙倍余額遞減法和年數總和法。

1、平均年限法，又稱直線法，是最簡單並且常用的一種方法。此法是以固定資產的原價減去預計凈殘值除以預計使用年限，求得每年的折舊費用。在各年使用資產情況相同時，採用直線法比較恰當。

2、工作量法，又稱變動費用法。是根據實際工作量計提折舊額的一種方法。理論依據在於資產價值的降低是資產使用狀況的函數。根據企業的經營活動情況或設備的使用狀況來計提折舊。假定固定資產成本代表了購買一定數量的服務單位，然後按服務單位分配成本。

3、雙倍余額遞減法，是在固定資產使用年限最後兩年的前面各年，用年限平均法折舊率的兩倍作為固定的折舊率乘以逐年遞減的固定資產期初凈值，得出各年應提折舊額的一種加速折舊的方法。在雙倍余額遞減法下，必須注意不能使固定資產的凈值低於其預計凈殘值以下。

4、年數總和法，又稱年限合計法，是將固定資產的原價減去預計凈殘值的余額乘以一個固定資產尚可使用壽命為分子、以預計使用壽命逐年數字之和為分母的逐年遞減的分數計算每年的折舊額。

(5)最全計算方法擴展閱讀：

計提折舊的固定資產

1、房屋建築物；

2、在用的機器設備、儀器儀表、運輸車輛、工具器具；

3、季節性停用及修理停用的設備；

4、以經營租賃方式租出的固定資產和以融資租賃式租入的固定資產。

固定資產折舊的特殊情況

1、已達到預定可使用狀態的固定資產，如果尚未辦理竣工決算，應當按照估計價值暫估入帳，並計提折舊。待辦理了竣工決算手續後，再按照實際成本調整原來的暫估價值，不需要調整原已計提的折舊額。當期計提的折舊作為當期的成本、費用處理。

2、處於更新改造過程停止使用的固定資產，應將其賬面價值轉入在建工程，不再計提折舊。更新改造項目達到預定可使用狀態轉為固定資產後，再按照重新確定的折舊方法和該項固定資產尚可使用壽命計提折舊。

㈥ 佔地面積怎麼算 佔地面積三大計算方法

導語：購房的時候很多朋友對於一些專業術語都不夠了解，佔地面積是項目進行報批的時候最常用到的詞語，佔地面積怎麼算?佔地面積對於建築物和平地來說有不同的含義，計算的方法也是有差異性的，佔地面積籠統的來看就是建築物所佔的面積，在道路和河流中也適用。可以來看看下文中關於佔地面積的一些介紹，讓您了解佔地面積的正確計算方法。

佔地面積怎麼算?佔地面積多數指的都是建築物在土地上的水平投影所佔的面積，在建房的時候一般都按照最底層的建築面積來進行長寬方面的計算，可以說建築面積就是佔地面積和土地面積之比。對於開發商來說佔地面積也可以指空白地皮的總面積，所以很多朋友在計算佔地面積的時候與開發商提供的數據會有一定的差異性，一般建議若是有架空的部分佔地面積可以全部計算，但是建築面積要折半處理。

佔地面積三大計算方法

第一，佔地面積主要來計算佔地實際的面積，包括建築物在地下的部分，在計算的時候樓面建築面積可以平分到每個建築單位上，若是瓦屋則需要按照瓦檐的外展滴水線來進行計算。若是普通的混合結構在計算佔地面積的時候多數要把排水溝計算在內。

第二，佔地面積計算的時候按照建築物樹立的外牆的外延所佔有的橫向比例來計算，這樣計算可以與建築物之間的距離進行規劃，一般都是計算樓盤的容積率的時候會使用這樣的方式計算佔地面積。

第三，按照建築物的外牆投影的范圍來計算佔地面積，這樣的計算方式在目前來看屬於比較科學的是，雖然說和前兩種計算方法一樣存在一定的正義，但是多數的規劃師在規劃的時候都採用此種方式，這樣樓盤建築的飄窗一般都是不計劃在內的。

佔地面積怎麼算?看了上文中介紹給您的佔地面積的計算方法朋友們已經可以有所了解了，佔地面積屬於地產行業中的專屬詞彙，因為地區建築商不同，在計算的時候可能會有標准方面的差異，在實際面積和房屋的實際使用率之間可能會有一些誤差，佔地面積一般都是要大於計算出的使用面積的，需要按照國家有關建築面積的規則來規范化計算。

㈦ 2. 常用的工程量計算方法有哪些現在最主流的計算方式是什麼

按施工先後順序計算。
按施工先後順序計算即從平整場地、基礎挖土算起，直到裝飾工程等全部施工內容結束為止，用這種方法計算工程量，要求具有一定的施工經驗，能掌握組織全部施工的過程，並且要求對定額和圖紙的內容十分熟悉，否則容易漏項。
常見的計算方法還有：基礎定額或單位估價表的分部分項順序計算，即按定額的章節、子項目順序，由前到後，逐項對照，只需核對定額項目內容與圖紙設計內容一致即是需要計算工程量的項目。這種方法要求首先熟悉圖紙，要有較好的工程設計基礎知識，同時還應注意工程圖紙是按使用要求設計的，其建築造型、內外裝修、結構形式以及室內設施千變萬化，有些設計還採用了新工藝、新技術和新材料，或有些零星項目可能套不上定額項目，在計算工程量時，應單列出來，待後面編制補充定額或補充單位估價表。

㈧ 最基本的成本計算方法是什麼法

最基本的成本計算方法有：品種法、分批法、分步法。成本計算方法的確定在很大程度上取決於企業生產的特點和成本管理的要求。
因此，產品成本就應該按照訂單或生產批別進行計算，這種成本計算方法就稱之為分批法。而在大量大批多步驟生產的情況下，往往不僅要求按產品品種計算方法稱之為分步法。
除此之外，還有一些可與基本方法結合使用的成本計算方法，例如，採用品種法計算成本，在產品品種規格繁多的情況下，為了簡化成本計算工作，可以先將產品劃分為若干類別，分別計算各類別產品成本，然後在各個類別內部採用一定的分配標准，計算出各個規模產品的成本，這種方法稱之為分類法。在定額管理制度比較健全的企業中，為了加強成本的定額控制，還可以以定額成本為基礎，計算產品的實際成本，這種方法就稱之為定額法。
需要指出的是，由於企業生產情況錯綜復雜，在實際工作中，各種成本計算方法往往是同時使用或結合使用的。這主要取決於企業的生產特點，其目標是力求達到既要正確計算產品成本，又要簡化成本的核算工品種法
總之具體實施方法還需要看具體情況。

㈨ 圓周率的計算方法是什麼有多少種計算方法

實驗對 π 值進行估算，這是計算 π 的的第一階段。這種對 π 值的估算基本上都是以觀察或實驗為根據，是基於對一個圓的周長和直徑的實際測量而得出的。在古代世界，實際上長期使用 π ＝3這個數值。最早見於文字記載的有基督教《聖經》中的章節，其上取圓周率為3。這一段描述的事大約發生在公元前950年前後。其他如巴比倫、印度、中國等也長期使用3這個粗略而簡單實用的數值。在我國劉徽之前「圓徑一而周三」曾廣泛流傳。我國第一部《周髀算經》中，就記載有圓「周三徑一」這一結論。在我國，木工師傅有兩句從古流傳下來的口訣：叫做：「周三徑一，方五斜七」，意思是說，直徑為1的圓，周長大約是3，邊長為5的正方形，對角線之長約為7。這正反映了早期人們對圓周率 π 和√2 這兩個無理數的粗略估計。東漢時期官方還明文規定圓周率取3為計算面積的標准。後人稱之為「古率」。

早期的人們還使用了其它的粗糙方法。如古埃及、古希臘人曾用穀粒擺在圓形上，以數粒數與方形對比的方法取得數值。或用勻重木板鋸成圓形和方形以秤量對比取值……由此，得到圓周率的稍好些的值。如古埃及人應用了約四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度，公元前六世紀，曾取 π= √10 = 3.162。在我國東、西漢之交，新朝王莽令劉歆製造量的容器――律嘉量斛。劉歆在製造標准容器的過程中就需要用到圓周率的值。為此，他大約也是通過做實驗，得到一些關於圓周率的並不劃一的近似值。現在根據銘文推算，其計算值分別取為3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比徑一周三的古率已有所進步。人類的這種探索的結果，當主要估計圓田面積時，對生產沒有太大影響，但以此來製造器皿或其它計算就不合適了。

幾何法時期

憑直觀推測或實物度量，來計算 π 值的實驗方法所得到的結果是相當粗略的。

真正使圓周率計算建立在科學的基礎上，首先應歸功於阿基米德。他是科學地研究這一常數的第一個人，是他首先提出了一種能夠藉助數學過程而不是通過測量的、能夠把 π 的值精確到任意精度的方法。由此，開創了圓周率計算的第二階段。

圓周長大於內接正四邊形而小於外切正四邊形，因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。
當然，這是一個差勁透頂的例子。據說阿基米德用到了正96邊形才算出他的值域。

阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法，體現在他的一篇論文《圓的測定》之中。在這一書中，阿基米德第一次創用上、下界來確定 π 的近似值，他用幾何方法證明了「圓周長與圓直徑之比小於 3+(1/7) 而大於 3 + (10/71) 」，他還提供了誤差的估計。重要的是，這種方法從理論上而言，能夠求得圓周率的更准確的值。到公元150年左右，希臘天文學家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以來的巨大進步。

割圓術。不斷地利用勾股定理，來計算正N邊形的邊長。

在我國，首先是由數學家劉徽得出較精確的圓周率。公元263年前後，劉徽提出著名的割圓術，得出 π ＝3.14，通常稱為「徽率」，他指出這是不足近似值。雖然他提出割圓術的時間比阿基米德晚一些，但其方法確有著較阿基米德方法更美妙之處。割圓術僅用內接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德用內接同時又用外切正多邊形簡捷得多。另外，有人認為在割圓術中劉徽提供了一種絕妙的精加工辦法，以致於他將割到192邊形的幾個粗糙的近似值通過簡單的加權平均，竟然獲得具有4位有效數字的圓周率 π ＝3927/1250 ＝3.1416。而這一結果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計算得出這個結果，需要割到3072邊形。這種精加工方法的效果是奇妙的。這一神奇的精加工技術是割圓術中最為精彩的部分，令人遺憾的是，由於人們對它缺乏理解而被長期埋沒了。

恐怕大家更加熟悉的是祖沖之所做出的貢獻吧。對此，《隋書·律歷志》有如下記載：「宋末，南徐州從事祖沖之更開密法。以圓徑一億為丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。」

這一記錄指出，祖沖之關於圓周率的兩大貢獻。其一是求得圓周率

3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927

其二是，得到 π 的兩個近似分數即：約率為22／7；密率為355／113。

他算出的 π 的8位可靠數字，不但在當時是最精密的圓周率，而且保持世界記錄九百多年。以致於有數學史家提議將這一結果命名為「祖率」。

這一結果是如何獲得的呢？追根溯源，正是基於對劉徽割圓術的繼承與發展，祖沖之才能得到這一非凡的成果。因而當我們稱頌祖沖之的功績時，不要忘記他的成就的取得是因為他站在數學偉人劉徽的肩膀上的緣故。後人曾推算若要單純地通過計算圓內接多邊形邊長的話，得到這一結果，需要算到圓內接正12288邊形，才能得到這樣精確度的值。祖沖之是否還使用了其它的巧妙辦法來簡化計算呢？這已經不得而知，因為記載其研究成果的著作《綴術》早已失傳了。這在中國數學發展史上是一件極令人痛惜的事。

中國發行的祖沖之紀念郵票
祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽：巴黎「發現宮」科學博物館的牆壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環形山……

對於祖沖之的關於圓周率的第二點貢獻，即他選用兩個簡單的分數尤其是用密率來近似地表示 π 這一點，通常人們不會太注意。然而，實際上，後者在數學上有更重要的意義。

密率與 π 的近似程度很好，但形式上卻很簡單，並且很優美，只用到了數字1、3、5。數學史家梁宗巨教授驗證出：分母小於16604的一切分數中，沒有比密率更接近 π 的分數。在國外，祖沖之死後一千多年，西方人才獲得這一結果。

可見，密率的提出是一件很不簡單的事情。人們自然要追究他是採用什麼辦法得到這一結果的呢？他是用什麼辦法把圓周率從小數表示的近似值化為近似分數的呢？這一問題歷來為數學史家所關注。由於文獻的失傳，祖沖之的求法已不為人知。後人對此進行了各種猜測。

讓我們先看看國外歷史上的工作，希望能夠提供出一些信息。

1573年，德國人奧托得出這一結果。他是用阿基米德成果22／7與托勒密的結果377／120用類似於加成法「合成」的：(377-22) / (120-7) = 355/113。

1585年，荷蘭人安托尼茲用阿基米德的方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用兩者作為 π 的母近似值，分子、分母各取平均，通過加成法獲得結果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。

兩個雖都得出了祖沖之密率，但使用方法都為偶合，無理由可言。

在日本，十七世紀關孝和重要著作《括要演算法》卷四中求圓周率時創立零約術，其實質就是用加成法來求近似分數的方法。他以3、4作為母近似值，連續加成六次得到祖沖之約率，加成一百十二次得到密率。其學生對這種按部就班的笨辦法作了改進，提出從相鄰的不足、過剩近似值就近加成的辦法，（實際上就是我們前面已經提到的加成法）這樣從3、4出發，六次加成到約率，第七次出現25／8，就近與其緊鄰的22／7加成，得47／15，依次類推，只要加成23次就得到密率。

錢宗琮先生在《中國算學史》（1931年）中提出祖沖之採用了我們前面提到的由何承天首創的「調日法」或稱加權加成法。他設想了祖沖之求密率的過程：以徽率157／50，約率22／7為母近似值，並計算加成權數x=9，於是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一舉得到密率。錢先生說：「沖之在承天後，用其術以造密率，亦意中事耳。」

另一種推測是：使用連分數法。

由於求二自然數的最大公約數的更相減損術遠在《九章算術》成書時代已流行，所以藉助這一工具求近似分數應該是比較自然的。於是有人提出祖沖之可能是在求得盈 二數之後，再使用這個工具，將3.14159265表示成連分數，得到其漸近分數：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650…

最後，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至於上面圓周率漸近分數的具體求法，這里略掉了。你不妨利用我們前面介紹的方法自己求求看。英國李約瑟博士持這一觀點。他在《中國科學技術史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說：「密率的分數是一個連分數漸近數，因此是一個非凡的成就。」

我國再回過頭來看一下國外所取得的成果。

1150年，印度數學家婆什迦羅第二計算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亞細亞地區的天文學家、數學家卡西著《圓周論》，計算了3×228＝805,306,368邊內接與外切正多邊形的周長，求出 π 值，他的結果是：

π＝3.14159265358979325

有十七位準確數字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。

16世紀的法國數學家韋達利用阿基米德的方法計算 π 近似值，用 6×216正邊形，推算出精確到9位小數的 π 值。他所採用的仍然是阿基米德的方法，但韋達卻擁有比阿基米德更先進的工具：十進位置制。17世紀初，德國人魯道夫用了幾乎一生的時間鑽研這個問題。他也將新的十進制與早的阿基米德方法結合起來，但他不是從正六邊形開始並將其邊數翻番的，他是從正方形開始的，一直推導出了有262條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國圓周率 π 被稱為「魯道夫數」。但是，用幾何方法求其值，計算量很大，這樣算下去，窮數學家一生也改進不了多少。到魯道夫可以說已經登峰造極，古典方法已引導數學家們走得很遠，再向前推進，必須在方法上有所突破。

17世紀出現了數學分析，這銳利的工具使得許多初等數學束手無策的問題迎刃而解。 π 的計算歷史也隨之進入了一個新的階段。

分析法時期

這一時期人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計算，利用無窮級數或無窮連乘積來算 π 。

1593年，韋達給出

這一不尋常的公式是 π 的最早分析表達式。甚至在今天，這個公式的優美也會令我們贊嘆不已。它表明僅僅藉助數字2，通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出 π 值。

接著有多種表達式出現。如沃利斯1650年給出：

1706年，梅欽建立了一個重要的公式，現以他的名字命名：

再利用分析中的級數展開，他算到小數後100位。

這樣的方法遠比可憐的魯道夫用大半生時間才摳出的35位小數的方法簡便得多。顯然，級數方法宣告了古典方法的過時。此後，對於圓周率的計算像馬拉松式競賽，紀錄一個接著一個：

1844年，達塞利用公式：

算到200位。

19世紀以後，類似的公式不斷涌現， π 的位數也迅速增長。1873年，謝克斯利用梅欽的一系列方法，級數公式將 π 算到小數後707位。為了得到這項空前的紀錄，他花費了二十年的時間。他死後，人們將這凝聚著他畢生心血的數值，銘刻在他的墓碑上，以頌揚他頑強的意志和堅韌不拔的毅力。於是在他的墓碑上留下了他一生心血的結晶： π 的小數點後707位數值。這一驚人的結果成為此後74年的標准。此後半個世紀，人們對他的計算結果深信不疑，或者說即便懷疑也沒有辦法來檢查它是否正確。以致於在1937年巴黎博覽會發現館的天井裡，依然顯赫地刻著他求出的 π 值。

又過了若干年，數學家弗格森對他的計算結果產生了懷疑，其疑問基於如下猜想：在 π 的數值中，盡管各數字排列沒有規律可循，但是各數碼出現的機會應該相同。當他對謝克斯的結果進行統計時，發現各數字出現次數過於參差不齊。於是懷疑有誤。他使用了當時所能找到的最先進的計算工具，從1944年5月到1945年5月，算了整整一年。1946年，弗格森發現第528位是錯的（應為4，誤為5）。謝克斯的值中足足有一百多位全都報了銷，這把可憐的謝克斯和他的十五年浪費了的光陰全部一筆勾銷了。

對此，有人曾嘲笑他說：數學史在記錄了諸如阿基米德、費馬等人的著作之餘，也將會擠出那麼一、二行的篇幅來記述1873年前謝克斯曾把 π 計算到小數707位這件事。這樣，他也許會覺得自己的生命沒有虛度。如果確實是這樣的話，他的目的達到了。

人們對這些在地球的各個角落裡作出不懈努力的人感到不可理解，這可能是正常的。但是，對此做出的嘲笑卻是過於殘忍了。人的能力是不同的，我們無法要求每個人都成為費馬、高斯那樣的人物。但成為不了偉大的數學家，並不意味著我們就不能為這個社會做出自己有限的貢獻。人各有其長，作為一個精力充沛的計算者，謝克斯願意獻出一生的大部分時光從事這項工作而別無報酬，並最終為世上的知識寶庫添了一小塊磚加了一個塊瓦。對此我們不應為他的不懈努力而感染並從中得到一些啟發與教育嗎？

1948年1月弗格森和倫奇兩人共同發表有808位正確小數的 π 。這是人工計算 π 的最高記錄。

計算機時期

1946年，世界第一台計算機ENIAC製造成功，標志著人類歷史邁入了電腦時代。電腦的出現導致了計算方面的根本革命。1949年，ENIAC根據梅欽公式計算到2035（一說是2037）位小數，包括准備和整理時間在內僅用了70小時。計算機的發展一日千里，其記錄也就被頻頻打破。

ENIAC：一個時代的開始

1973年，有人就把圓周率算到了小數點後100萬位，並將結果印成一本二百頁厚的書，可謂世界上最枯燥無味的書了。1989年突破10億大關，1995年10月超過64億位。1999年9月30日，《文摘報》報道，日本東京大學教授金田康正已求到2061.5843億位的小數值。如果將這些數字列印在A4大小的復印紙上，令每頁印2萬位數字，那麼，這些紙摞起來將高達五六百米。來自最新的報道：金田康正利用一台超級計算機，計算出圓周率小數點後一兆二千四百一十一億位數，改寫了他本人兩年前創造的紀錄。據悉，金田教授與日立製作所的員工合作，利用目前計算能力居世界第二十六位的超級計算機，使用新的計算方法，耗時四百多個小時，才計算出新的數位，比他一九九九年九月計算出的小數點後二千六百一十一位提高了六倍。圓周率小數點後第一兆位數是二，第一兆二千四百一十一億位數為五。如果一秒鍾讀一位數，大約四萬年後才能讀完。

不過，現在打破記錄，不管推進到多少位，也不會令人感到特別的驚奇了。實際上，把 π 的數值算得過分精確，應用意義並不大。現代科技領域使用的 π 值，有十幾位已經足夠。如果用魯道夫的35位小數的 π 值計算一個能把太陽系包圍起來的圓的周長，誤差還不到質子直徑的百萬分之一。我們還可以引美國天文學家西蒙·紐克姆的話來說明這種計算的實用價值：

「十位小數就足以使地球周界准確到一英寸以內，三十位小數便能使整個可見宇宙的四周准確到連最強大的顯微鏡都不能分辨的一個量。」

那麼為什麼數學家們還象登山運動員那樣，奮力向上攀登，一直求下去而不是停止對 π 的探索呢？為什麼其小數值有如此的魅力呢？

這其中大概免不了有人類的好奇心與領先於人的心態作怪，但除此之外，還有許多其它原因。

奔騰與圓周率之間的奇妙關系……

1、它現在可以被人們用來測試或檢驗超級計算機的各項性能，特別是運算速度與計算過程的穩定性。這對計算機本身的改進至關重要。就在幾年前，當Intel公司推出奔騰（Pentium）時，發現它有一點小問題，這問題正是通過運行 π 的計算而找到的。這正是超高精度的 π 計算直到今天仍然有重要意義的原因之一。

2、 計算的方法和思路可以引發新的概念和思想。雖然計算機的計算速度超出任何人的想像，但畢竟還需要由數學家去編製程序，指導計算機正確運算。實際上，確切地說，當我們把 π 的計算歷史劃分出一個電子計算機時期時，這並非意味著計算方法上的改進，而只是計算工具有了一個大飛躍而已。因而如何改進計算技術，研究出更好的計算公式，使公式收斂得更快、能極快地達到較大的精確度仍是數學家們面對的一個重要課題。在這方面，本世紀印度天才數學家拉馬努揚得出了一些很好的結果。他發現了許多能夠迅速而精確地計算 π 近似值的公式。他的見解開通了更有效地計算 π 近似值的思路。現在計算機計算 π 值的公式就是由他得到的。至於這位極富傳奇色彩的數學家的故事，在這本小書中我們不想多做介紹了。不過，我希望大家能夠明白 π 的故事講述的是人類的勝利，而不是機器的勝利。

3、還有一個關於 π 的計算的問題是：我們能否無限地繼續算下去？答案是：不行！根據朱達偌夫斯基的估計，我們最多算1077位。雖然，現在我們離這一極限還相差很遠很遠，但這畢竟是一個界限。為了不受這一界限的約束，就需要從計算理論上有新的突破。前面我們所提到的計算，不管用什麼公式都必須從頭算起，一旦前面的某一位出錯，後面的數值完全沒有意義。還記得令人遺憾的謝克斯嗎？他就是歷史上最慘痛的教訓。

4、於是，有人想能否計算時不從頭開始，而是從半截開始呢？這一根本性的想法就是尋找並行演算法公式。1996年，圓周率的並行演算法公式終於找到，但這是一個16進位的公式，這樣很容易得出的1000億位的數值，只不過是16進位的。是否有10進位的並行計算公式，仍是未來數學的一大難題。

5、作為一個無窮數列，數學家感興趣的把 π 展開到上億位，能夠提供充足的數據來驗證人們所提出的某些理論問題，可以發現許多迷人的性質。如，在 π 的十進展開中，10個數字，哪些比較稀，哪些比較密？ π 的數字展開中某些數字出現的頻率會比另一些高嗎？或許它們並非完全隨意？這樣的想法並非是無聊之舉。只有那些思想敏銳的人才會問這種貌似簡單，許多人司空見慣但卻不屑發問的問題。

6、數學家弗格森最早有過這種猜想：在 π 的數值式中各數碼出現的概率相同。正是他的這個猜想為發現和糾正向克斯計算 π 值的錯誤立下了汗馬功勞。然而，猜想並不等於現實。弗格森想驗證它，卻無能為力。後人也想驗證它，也是苦於已知的 π 值的位數太少。甚至當位數太少時，人們有理由對猜想的正確性做出懷疑。如，數字0的出現機會在開始時就非常少。前50位中只有1個0，第一次出現在32位上。可是，這種現象隨著數據的增多，很快就改變了：100位以內有8個0；200位以內有19個0；……1000萬位以內有999，440個0；……60億位以內有599，963，005個0，幾乎佔1／10。

其他數字又如何呢？結果顯示，每一個都差不多是1／10，有的多一點，有的少一點。雖然有些偏差，但都在1／10000之內。

7、人們還想知道： π 的數字展開真的沒有一定的模式嗎？我們希望能夠在十進制展開式中通過研究數字的統計分布，尋找任何可能的模型――如果存在這種模型的話，迄今為止尚未發現有這種模型。同時我們還想了解： π 的展開式中含有無窮的樣式變化嗎？或者說，是否任何形式的數字排列都會出現呢？著名數學家希爾伯特在沒有發表的筆記本中曾提出下面的問題： π 的十進展開中是否有10個9連在一起？以現在算到的60億位數字來看，已經出現：連續6個9連在一起。希爾伯特的問題答案似乎應該是肯定的，看來任何數字的排列都應該出現，只是什麼時候出現而已。但這還需要更多 π 的數位的計算才能提供切實的證據。

8、在這方面，還有如下的統計結果：在60億數字中已出現連在一起的8個8；9個7；10個6；小數點後第710150位與3204765位開始，均連續出現了七個3；小數點52638位起連續出現了14142135這八個數字，這恰是的前八位；小數點後第2747956位起，出現了有趣的數列876543210，遺憾的是前面缺個9；還有更有趣的數列123456789也出現了。

如果繼續算下去，看來各種類型的數字列組合可能都會出現。

拾零： π 的其它計算方法

在1777年出版的《或然性算術實驗》一書中，蒲豐提出了用實驗方法計算 π 。這個實驗方法的操作很簡單：找一根粗細均勻，長度為 d 的細針，並在一張白紙上畫上一組間距為 l 的平行線（方便起見，常取 l = d/2），然後一次又一次地將小針任意投擲在白紙上。這樣反復地投多次，數數針與任意平行線相交的次數，於是就可以得到 π 的近似值。因為蒲豐本人證明了針與任意平行線相交的概率為 p = 2l/πd 。利用這一公式，可以用概率方法得到圓周率的近似值。在一次實驗中，他選取 l = d/2 ，然後投針2212次，其中針與平行線相交704次，這樣求得圓周率的近似值為 2212/704 = 3.142。當實驗中投的次數相當多時，就可以得到 π 的更精確的值。

1850年，一位叫沃爾夫的人在投擲5000多次後，得到 π 的近似值為3.1596。目前宣稱用這種方法得到最好結果的是義大利人拉茲瑞尼。在1901年，他重復這項實驗，作了3408次投針，求得 π 的近似值為3.1415929，這個結果是如此准確，以致於很多人懷疑其實驗的真偽。如美國猶他州奧格登的國立韋伯大學的L·巴傑就對此提出過有力的質疑。

不過，蒲豐實驗的重要性並非是為了求得比其它方法更精確的 π 值。蒲豐投針問題的重要性在於它是第一個用幾何形式表達概率問題的例子。計算 π 的這一方法，不但因其新穎，奇妙而讓人叫絕，而且它開創了使用隨機數處理確定性數學問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計算的前導。

在用概率方法計算 π 值中還要提到的是：R·查特在1904年發現，兩個隨意寫出的數中，互素的概率為6／π2。1995年4月英國《自然》雜志刊登文章，介紹英國伯明翰市阿斯頓大學計算機科學與應用數學系的羅伯特·馬修斯，如何利用夜空中亮星的分布來計算圓周率。馬修斯從100顆最亮的星星中隨意選取一對又一對進行分析，計算它們位置之間的角距。他檢查了100萬對因子，據此求得 π 的值約為3.12772。這個值與真值相對誤差不超過5％。

無窮的神秘氣息：紀梵希的男用香水 π 。廣告詞是：Explore pi, explore the universe

通過幾何、微積分、概率等廣泛的范圍和渠道發現 π ，這充分顯示了數學方法的奇異美。 π 竟然與這么些表面看來風馬牛不相及的試驗，溝通在一起，這的確使人驚訝不已