極限計算方法大學

㈠ 極限的運演算法則是什麼，請不吝賜教

設

(1)極限計算方法大學擴展閱讀：

由來：

與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的大腦抽象思維的產物。極限的思想可以追溯到古代，例如，祖國劉徽的割圓術就是建立在直觀圖形研究的基礎上的一種原始的可靠的「不斷靠近」的極限思想的應用；

古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由於希臘人「對』無限『的恐懼」，他們避免明顯地人為「取極限」，而是藉助於間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。

到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進了古希臘人的窮竭法，他藉助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中「指出了把極限方法發展成為一個實用概念的方向」。

㈡ 數列極限的求法

數列極限的求法：

1、如果代入後，得到一個具體的數字，就是極限。

2、如果代入後，得到的是無窮大，答案就是極限不存在。

3、如果代入後，無法確定是具體數或是無窮大，就是不定式類型，

4、計算極限，就是計算趨勢 tendency。

存在條件：

單調有界定理 在實數系中，單調有界數列必有極限。

緻密性定理，任何有界數列必有收斂的子列。

計算方法，參考下面圖片：

㈢ 河海大學極限計算的21種主要方法示例之一

一、利用極限四則運演算法則求極限
函數極限的四則運演算法則：設有函數，若在自變數f（x），g（x）的同一變化過程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，則
lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B
lim［f（x）・g（x）］=limf（x）・limg（x）=A・B
lim==（B≠0）
（類似的有數列極限四則運演算法則）現以討論函數為例。
對於和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運演算法則，但使用這些法則，往往要根據具體的函數特點，先對函數做某些恆等變形或化簡，再使用極限的四則運演算法則。方法有：
1.直接代入法
對於初等函數f（x）的極限f（x），若f（x）在x點處的函數值f（x）存在，則f（x）=f（x）。
直接代入法的本質就是只要將x=x代入函數表達式，若有意義，其極限就是該函數值。
例1：求極限（x+3）。
解：（x+3）=2+3=7。
2.無窮大與無窮小的轉換法
在相同的變化過程中，若變數不取零值，則變數為無窮大量?圳它的倒數為無窮小量。對於某些特殊極限可運用無窮大與無窮小的互為倒數關系解決。
（1）當分母的極限是「0」，而分子的極限不是「0」時，不能直接用極限的商的運演算法則，而應利用無窮大與無窮小的互為倒數的關系，先求其的極限，從而得出f（x）的極限。
例2：求。
解：∵==0
∴=∞。
（2）當分母的極限為∞，分子是常量時，則f（x）極限為0。
例3：求。
解：=0。
3.除以適當無窮大法
對於極限是「」型，不能直接用極限的商的運演算法則，必須先將分母和分子同時除以一個適當的無窮大量x。
例4：計算。
解：===3。
一般情形有如下結論：
設a≠0，b≠0，m，n是正整數，則
=0，當n＞m時，當n=m時∞，當n＜m時。
4.有理化法
適用於帶根式的極限。
例5：計算（-）。
解：（-）=
==0。
二、利用夾逼准則求極限
函數極限的夾逼定理：設函數f（x），g（x），h（x），在x的某一去心鄰域內（或|x|＞N）有定義，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），則g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（類似的可以得數列極限的夾逼定理）
利用夾逼准則關鍵在於選用合適的不等式。
例6：計算x［］。
解：當x＞0時，有1-x＜x［］≤1，利用夾逼准則，有（1-x）=1，所以有x［］=1。
三、利用單調有界准則求極限
單調有界准則：單調有界數列必有極限。
首先常用數學歸納法討論數列的單調性和有界性，再求解方程，可求出極限。
例7：證明數列，，，…有極限，並求其極限。
證明：（1）先證數列有界，易知{x}遞增，且x≥，
用數學歸納法證明x≤2，顯然x=＜2，
若x≤2，則x=≤=2。
（2）再證數列單調增加x-x=-x==。
利用（1） 0＜x＜2?圯x-x＞0。
（3）利用單調有界收斂准則，x=a。
（4）由x=，x=2+x。
在等式兩端取極限，得a=2+a，求得a=2或a=-1（明顯不合要求，捨去）
所以x=2。
四、利用等價無窮小代換求極限
常見等價無窮小量的例子有：當x→0時，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。
等價無窮小的代換定理：設α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自變數x在同一變化過程中的無窮小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，則lim=lim。
例8：計算。
解：利用等價無窮小代換，
有===。
註：當分母或分子是兩個等價無窮小相減時，不可簡單地用各自的等價無窮小代換，否則將導致錯誤的結果，從另一個角度，等價無窮小代換適宜在乘積和商中進行，不宜在加減運算中簡單代換。
例如：因為x→0時，tanx～x，sinx～x，有==0。
上式出現錯誤的原因是當x→0時，盡管tanx～x，sinx～x，但tanx與sinx（x→0）趨於零的速度只能近似相等，但不完全相等。
五、利用無窮小量性質求極限
在無窮小量性質中，特別是利用無窮小量與有界變數的乘積仍是無窮小量的性質求極限。
例9：計算xsin。
解：當x→0時，x是無窮小量，由|sin|≤1，即sin是有界量，故xsin是無窮小量，於是xsin=0。
六、利用兩個重要極限求極限
使用兩個重要極限=1和（1+)=e求極限時，關鍵在於對所給的函數或數列作適當的變形，使之具有相應的形式，有時也可通過變數替換使問題簡化。
例10：計算。
解：===2。
例11：計算（）。
解：（）=［（1+）］=e。
七、利用洛必達法則求極限
如果當x→a（或x→∞）時，兩個函數f（x）與g（x）都趨於零或趨於無窮小，則可能存在，也可能不存在，通常將這類極限分別稱為「」型或「」型未定式，對於該類極限一般不能運用極限運演算法則，但可以利用洛必達法則求極限。
洛必達法則：
設（1）極限為型或型未定式；
（2）f（x），g（x）在某去心鄰域（x）或|x|＞X時可導，且g′（x）≠0；
（3）存在或為無窮小，則=。
其他未定式，如「0・∞」型、「∞-∞」型、「1」型、「0」型、「∞」型，不能直接用洛必達法則，需轉為「」型或「」型後再用洛必達法則。

例12：計算。（型）
解：==2。
例18：計算（sinx）。（0型）
解：（sinx）=e=e=e=e=e=e=1。
八、利用泰勒公式求極限
如果函數f（x）在含有x的某個開區間（a，b）內具有直到n階的導數，則當x在（a，b）內時恆有f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x）+o［（x-x）］（x→x），
其中o［（x-x）］稱為皮亞諾余項，當x=0時，上述等式稱為麥克勞林公式。
對某些較復雜的求極限問題，可利用麥克勞林公式加以解決。
例19：計算。
解：=
==。
在用泰勒公式求極限時，我們應當靈活應用分清哪些項需要展開，哪些項可以保留。對於復雜函數的極限，泰勒公式是一個有力且有效的工具。
九、利用定積分定義求極限
若遇到某些求和式極限問題，能夠將其表示為某個可積函數的積分和，就能用定積分來求極限，關鍵在於根據所給和式確定被積函數，以及積分區間。
例15：計算sin+sin+…+sinπ。
解：原式=sin+sin+…+sinπ+sinπ=?蘩sinπxdx=［cosπx］=。

㈣ 大一高等數學求極限方法

1.
代入法, 分母極限不為零時使用.先考察分母的極限,分母極限是不為零的常數時即用此法。

2.
倒數法,分母極限為零,分子極限為不等於零的常數時使用。

3.
消去零因子(分解因式)法,分母極限為零,分子極限也為零,且可分解因式時使用。

4.
消去零因子(有理化)法,分母極限為零,分子極限也為零,不可分解,但可有理化時使用.可利用平方差、立方差、立方和進行有理化。

5.
零因子替換法.利用第一個重要極限:lim[x-->0]sinx/x=1,分母極限為零,分子極限也為零,不可分解,不可有理化,但出現或可化為sinx/x時使用.常配合利用三角函數公式。

6.
無窮轉換法,分母、分子出現無窮大時使用,常常借用無窮大和無窮小的性質。

㈤ 大學常用極限公式有哪些

極限公式：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x(x→0)

6、tanx~x(x→0)

7、arcsinx~x(x→0)

8、arctanx~x(x→0)

9、1-cosx~1/2x^2(x→0)

10、a^x-1~xlna(x→0)

11、e^x-1~x(x→0)

12、ln(1+x)~x(x→0)

13、(1+Bx)^a-1~aBx(x→0)

14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx(x→0)

15、loga(1+x)~x/lna(x→0)

(5)極限計算方法大學擴展閱讀：

高等數學極限中有「兩個重要極限」的說法，指的是：

sinX/x →1（ x→0 ），

與 (1+1/x)^x→e^x（ x→∞）。

另外，關於等價無窮小，有：

sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)

~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（ x→0），

1-cosx ~ x^2/2（ x→0）。

㈥ 大學數學求極限的方法

1.代入法
2.無窮小的性質（無窮小*有界函數=無窮小）
3.取倒數法（整體取倒數、局部取倒數）
4.兩個重要極限
5.等價無窮小
定義：
兩個無窮小a、b，當lim b/a=1，稱a和b是等價無窮小，記作a～b
定理：假設 a～a'、b～b'，則：lim a/b=lim a'/b'
一定要注意：不能濫用等價無窮小的代換。

對於代數和中各無窮小不能分別代換。

等價無窮小的代換原則：乘除可換，加減忌換。
6.消除零因子法
有3個常用的手段可以消除0因子：分解因式、根式有理化、變數替換。