第一類曲面積分的計算方法和技巧

Ⅰ 第一類曲面積分怎麼換元

步驟：

1、求α、β對應下的曲面方程，可以直接寫出r=(f(α，β)，g(α，β)，α)。

2、計算曲面第一基本形式量E、F、G計算過程省略了。

3、計算∫∫hdS，把h換成α、β的函數。把dS換成(EG-F^2)^1/2dαdβ，把重積分區間改成α、β的范圍即可。

曲面積分是定義在曲面上的函數或向量值函數關於該曲面的積分。曲面積分一般分成第一型曲面積分和第二型曲面積分。

第一型曲面積分物理意義來源於對給定密度函數的空間曲面，計算該曲面的質量。第二型曲面積分物理意義來源對於給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量。

利用奇偶性

被積函數若是關於x的奇函數，且積分曲面關於yoz前後對稱，那麼該積分等於0。

若被積函數若是關於x的偶函數，且積分曲面關於yoz前後對稱，那麼該積分等於二倍的對yoz前邊曲面上的積分。

Ⅱ 數學第一類曲面積分

從概念上講，第一類的，都是和方向無關的，對標量的積分。第二類的，都是和方向有關的，對某種意義上的矢量的積分。具體地說：第一類曲線積分是對長度的積分，第二類曲線積分是對坐標的積分，講究曲線上演某方向的變化了。第一類區面積分，是對面積的積分，第二類區面積分是對二維坐標的積分，強調面積朝向某側的情況。從計算上講，第一類的計算要求出長度或者面積微元的表示式，因此計算公式似乎復雜，但是記住公式之後，因為不用考慮方向，因此實際上簡單。第二類的，不用考慮微元的表示式，直接就是對坐標積分，形式上簡單，不過，在具體到某個線或者面的時候，要考慮是否要根據方向的變化分成不同的小段，在每個方向一致的小段上，還要考慮正負號，是否為零等等，實際上相對麻煩許多。關於這兩類積分（實際上是四類，不過我的稱呼是分別針對面，線來說）實際上都有統一的公式。兩類曲線積分可以通過方向餘弦實現統一。兩類區面積分可以通過切面的法向量方向餘弦實現統一。此處的學習重點除了上述內容之外，要特別注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯運算元，拉普拉斯反運算元。這些在某些專業中應用更廣泛。

Ⅲ 第一類曲線積分怎麼求

設有一曲線形構件佔xOy面上的一段曲線 ，設構件的密度分布函數為ρ(x，y)，設ρ(x，y)定義在L上且在L上連續，求構件的質量。對於密度均勻的物件可以直接用ρV求得質量；

對於密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分，dm=ρ(x，y)ds；所以m=∫ρ(x，y)ds；L是積分路徑，∫ρ(x，y)ds就叫做對弧長的曲線積分。

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量子力學

量子力學中的「曲線積分形式」和曲線積分並不相同，因為曲線積分形式中所用的積分是函數空間上的泛函積分，即關於空間中每個路徑的概率函數進行積分。然而，曲線積分在量子力學中仍有重要作用，比如說復圍道積分常常用來計算量子散射理論中的概率振幅。

復分關系

如果將復數看作二維的向量，那麼二維向量場的曲線積分就是相應復函數的共軛函數在同樣路徑上的積分值的實部。根據柯西-黎曼方程，一個全純函數的共軛函數所對應的向量場的旋度是0。

Ⅳ 計算第一型曲面積分：∫∫(x+y+z)dA , ∑為上半球面z=√(a^2-x^2-y^2) (a>0)

解答過程如下：

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第一形曲線積分和第二形曲線積分區別

一、方法不同

第一型曲面積分最基本的計算方法就是同第二型曲面積分一樣, 也是化為二重積分。

第二型曲面最基本的方法就是通過找投影化為二重積分. 想要提醒一點的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 這時候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面積分中包含 dxdy 與 dzdx 的兩項直接為零,。

而關於 P(x,y,z)dzdx 的積分, 也變為了 P(c,y,z)dydz 的積分, 然後結合方向就可以化為二重積分.。同理, 對於 y 或者 z 為常數的情況亦是如此。

二、積分對象不同

第一內類曲線積分是對弧長積分，對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素；第二類曲線積分是對坐標（有向弧長在坐標軸的投影）積分，對坐標軸的曲線積分的積分元素是坐標元素。

三。應用場合不同

第一類曲線積分求非密度均勻的線狀物體質量等問題，第二類曲線積分解決做功類等問題。

Ⅳ 第一類曲面積分的計算

如圖所示：

Ⅵ 第一類曲面積分和第二類曲面積分的區別

第一類曲面積分和第二類曲面積分的區別如下：

1、積分對象不同

第一型曲面積分物理意義來源於對給定密度函數的空間曲面，計算該曲面的質量。；

第二型曲面積分物理意義來源對於給定的空間曲面和流體的流速，計算單位時間流經曲面的總流量；

2、積分順序不同

第一類曲線積分——有積分順序，積分下限永遠小於上限；

第二類曲線積分——沒有積分順序，積分上下限可以顛倒；

3、積分意義不同

第一類曲線積分——有幾何意義和物理意義；

第二類曲線積分——只有物理意義；

4、積分方向不同

第一類曲線積分——積分沒有方向；

第二類曲線積分——有積分方向；

Ⅶ 第一型曲面積分的計算問題。

1、第一類沒方向,有幾何意義和物理意義；第二類有方向,只有物理意義。
2、一類曲線是對曲線的長度,二類是對x,y坐標.怎麼理解呢?告訴你一根線的線密度,問你線的質量,就要用一類.告訴你路徑曲線方程,告訴你x,y兩個方向的力,求功,就用二類.二類曲線也可以把x,y分開,這樣就不難理解一二類曲線積分之間的關系了,它們之間就差一個餘弦比例.
一二類曲面積分也是一樣的.一類是對面積的積分,二類是對坐標的.告訴你面密度,求面質量,就用一類.告訴你x,y,z分別方向上的流速,告訴你面方程,求流量,就用第二類.同理,x,y,z方向也是可以分開的,分開了也就不難理解一二類曲面積分的關系了.
你要把以上兩點都能理解的話,再去看高斯公式與流量,斯托克斯公式與旋度,這兩個是線面體積分轉化的兩個公式,都理解了就沒問題了.
學積分,重要的就是要理積分就等於是求積（乘法的積）.積分就是乘法.因為變數在連續變化,我不能直接乘,所以有了微積分來微元了再乘.一類線面積分就是函數和線面乘,二類線面積分就是函數和坐標乘.

Ⅷ 第一類曲面積分如何求

計算步驟如下：
cosαds=dx
cosβds=dy
cosγds=dz
α、β、γ分別為曲線與x軸、y軸、z軸的夾角則I=∫[L]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))sqrt[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt
曲線積分簡介：設有一曲線形構件佔xOy面上的一段曲線
，設構件的質量分布函數為ρ(x,y)，設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續，求構件的質量。對於密度均勻的物件可以直接用ρS求得質量；對於密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。定義：設L為xOy平面上的一條光滑的簡單曲線弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一點列M1,M2,M3…,Mn
把L
分成
n個小弧段ΔLi的長度為ds，又Mi(x,y)是L上的任一點，作乘積f(x,y)i*ds,並求和即Σ
f(x,y)i*ds，記λ=max(ds)
，若Σ
f(x,y)i*ds的極限在當λ→0的時候存在，且極限值與L的分法及Mi在L的取法無關，則稱極限值為f(x,y)在L上對弧長的曲線積分，記為:∫f(x,y)*ds
;其中f(x,y)叫做被積函數，L叫做積分曲線，對弧長的曲線積分也叫第一類曲線積分。

Ⅸ 第一類曲面積分

區別是：
第一類曲面積分是對面積的曲面積分 。
第二類曲面積分是對坐標軸的曲面積分。
對面積的曲面積分和對坐標軸的曲面積分是可以轉化的；兩類曲面積分的區別在於形式上積分元素的不同，第一類曲面積分的積分元素是面積元素dS,例如：在積分曲面Σ上的對面積的曲面積分：
∫∫f(x,y,z)dS；
而第二類曲面積分的積分元素是坐標平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在積分曲面Σ上的對坐標平面的曲面積分：
∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz。

Ⅹ 請教高人講解曲線積分和曲面積分（第一類第二類都要）

哥們給你都說了吧：
第一類曲線積分，可以通過將ds轉化為dx或dt變成定積分來做，但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關系，只有通過轉化為第二類曲線積分後，要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件，可以用公式轉化為簡單的曲面積分，再將曲面積分投影到坐標面上轉化為二重積分來計算，這是第一類曲線積分和二重積分關系，但是第一類曲線積分和三重積分么有任何關系……
第一類曲面積分，可以通過公式變換，將dS轉化為dxdy，直接轉化為二重積分來做，但是和三重積分沒有任何關系，只有通過轉化為第二類曲面積分，滿足了高斯公式條件，才能用高斯公式轉化為三重積分來計算
曲線積分與定積分，曲面積分與二重積分的區別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式，意思是在曲線上或曲面上進行積分的，而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz坐標上進行積分，所以要將第一類曲線積分，第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz坐標進行積分，另外既然給定了曲線或曲面方程，就可以根據方程把一個量表示成其他的兩個量的關系，因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的，所以要滿足給定的曲線或曲面的方程，所以各個量之間可以代換的，這個普通的定積分和二重積分不能這么做的……
第一類曲線積分：對線段的曲線積分，有積分順序，下限永遠小於上限……求解時米有第二類曲線積分簡單，需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式，進行積分，這個公式書裡面有的，就是對參數求導，然後再表示成平分和的根式……
第二類曲線積分：對坐標的曲線積分，沒有積分順序，意思是積分上下限可以顛倒了……
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關系：可以用餘弦進行代換，餘弦值指的是線段的切向量，這個書本裡面的，我就不寫了
第一類曲面積分：對面積的曲面積分，求解時要通過給定的曲面方程形式，轉化成x與y的形式，這個公式書裡面也有的，就是求偏導吧？然後表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分：對坐標的曲線積分，這個簡單一些，好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯系：可以用餘弦代換，但是這個餘弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯系，方便你記憶：都是要轉化成在xyz坐標面上的積分，都是平方和的根式形式，但是第一類曲線積分是對參數求導，第一類曲面積分是求偏導，為何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直線代替曲線，相當於正方體求對角線，你想想是不是，肯定要出現平方和的根式，你好好看看推導過程……
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關系：
第二類曲線積分如果封閉的話，可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話，可以用高斯公式進行化簡
這些東西很有趣的，你要學會對應的記憶啊……
格林公式研究的是把平面第二類曲線積分轉化為二重積分來做，但是要注意正方向的選取，以及平面單連通和平面復連通，有時需要取輔助線構成封閉曲線的，但是要計算輔助曲線的曲線積分，因為此時的格林公式值是由兩條曲線疊加後產生的，這個很重要，因為積分與路徑無關都要涉及到平面復連通和單連通的計算……