導航:首頁 > 計算方法 > 最優化計算方法陳開周

最優化計算方法陳開周

發布時間:2022-07-10 16:05:25

Ⅰ 淺談非線性無約束最優化問題的幾種演算法 詳細�0�3

當前我國高校學生幹部社會 角色扮演問題研究韓 強( 陝西理工學院, 陝西 漢中 723001) 【摘要】當前高校學生幹部角色發生了異化, 導致這一結果的原因除了社會不良風氣, 特別是「官場文化」的影響外, 還有高校自身管理的漏洞。而恢復「五員」的社會角色, 無疑已成為當前高校不容忽視的一項重要內容。 【關鍵詞】學生幹部; 社會角色; 異化; 五員 【中圖分類號】C913 【文獻標識碼】A 【文章編號】1672-996X( 2009) 02-0174-02 高校學生幹部一般包括各級共青團幹部、學生會幹部、 往往從社會生活中可以找到原型。不論是一些機關的拉關班委會成員以及各類學生社團負責人等。這支隊伍是學生中 系、買官, 還是社會強勢群眾的以勢壓人、以權代法; 不論最活躍的群體, 不僅是學生輔導員、班主任的得力助手, 更 是一些領導幹部的脫離群眾, 還是某些行政機關中的人浮於是教師和廣大學生之間溝通的橋梁和紐帶, 在校園文化建 事、效率低下, 社會不良風氣的影響是學生幹部社會角色異設, 校風學風建設, 大學生自我教育、自我管理、自我服務 化的最主要因素。等方面起著非常重要的作用。在新的形勢下, 重視學生幹部 其次, 理論教育的折扣化。在許多高校中都有「兩隊伍建設, 提高學生幹部的綜合素質, 是進一步加強和改進 課」、學生幹部培訓班、團校以及黨校等理論教育陣營, 而大學生思想政治教育、實現人才培養目標的重要環節和突破 且針對學生幹部的各種理論學習班也不少, 每次培訓學習的口。 學生幹部有很多, 結業後還要寫思想匯報、學習感悟等。形式上看很完備, 但事實上學生幹部很多都抱著「沒意思」、一、學生幹部的異化現象當前, 學生幹部的社會角色出現了異化現象。這里的異 「混張結業證」等思想參加培訓班, 在理論認識上的提高幾化, 是指違背學生幹部性質本身的角色變異。具體來說, 主 乎為零。例如: 據調查, 某校召開學生幹部理論培訓班後不要有以下五種角色。 久, 在一年級參加培訓的十名團支書、班長中, 有七人不能校園官僚派。學生幹部中有相當一部分人「官本位」十 准確表述「三個代表」重要思想的內容; 某系十一名主要學足, 將學生幹部的級別看成是「官」的台階, 為了獲取更大 生幹部中, 有七人不能完整表述黨的性質。的官階, 而廢盡心思。據二十一世紀人才報報道: 南方某高 再次, 學生幹部自我優越感的膨脹化。學生幹部作為客校「為了爭奪學生會主席的位置, 有學生不惜花費1萬元以 觀上的校園強勢群眾, 不論是在機會的取得上, 利益的分配上的血本」。而類似的拉選票、請客送禮、暗箱操作、排除 上, 還是組織資源的獲取上, 支配權力的空間上, 等諸多方異己等司空見慣的現象也活生生的證實了官僚派的存在, 其 面都與普通同學存在著明顯的優勢。在這一群體中, 職責不影響極其惡劣, 不但嚴重擾亂了學生幹部的正常工作秩序, 同的學生幹部的權力支配空間, 地緣、人緣優勢也不大相而且影響了校風、學風。 同。這樣, 學生幹部容易產生一種優越感, 這種優勢感, 超利益優先派。在高校中, 學生的管理很大程度上屬於自 出了自己的職責區域, 變成了對權力資源的崇拜, 並最終導我管理, 學生幹部在客觀上起到了老師與學生的橋梁作用。 致官僚化社會角色。同時, 由於學生幹部這一身份, 學生幹部得以獲取信息靈敏 最後, 學生幹部管理中的考核機制、激勵機制、懲處機化, 交際廣泛化, 渠道多元化等客觀上的優勢, 從而在利益 制的不健全。高校中的學生幹部群體是一個規模龐大的體分配上與獲取上呈現出優先化。例如: 學生幹部身份本身就 系, 其組織結構一般是金字塔型, 其管理上一般都有明確的是就業的一張優勢牌, 是報考公務員的主要因素之一; 有的 規章制度。但是在諸多的規章制度中, 卻很少有完善的考核學生會主席一年能凈賺幾萬元; 學生幹部有很多拋頭露面的 機制、激勵機制、懲處機制。在日常的工作中, 無法衡量學機會, ……我們並不反對學生幹部正當利益的取得, 但構成 生幹部工作的效果。導致干好乾壞一個樣, 干與不幹一個利益優先群體的功利化現象卻有悖於學生幹部服務同學、顧樣, 無法調動學生幹部, 特別是基層學生幹部的工作積極全大局的初衷。 性, 使一些學生幹部的「靠山」思想、「無所謂」思想的滋強勢集團派。與普通學生相比, 學生幹部群體應該算是 長, 無法在普通同學中樹立與提高學生幹部「先進分子」的強勢群體, 特別是在高層。這不僅僅是因為他們的幹部身份 形象和影響力。在客觀上造成了概念性影響力, 更重要的是他們客觀上擁有 三、學生幹部的正確角色一定可支配性權力資源, 上層交際的地緣優勢和接觸面的人 異化的社會角色是嚴重影響學生幹部發展和學生公共活緣優勢。與普通學生相比, 他們常常依靠權力優勢、地緣優 動正常開展的潛在威脅。作為一名幹部, 就要顧全大局, 樹勢和人緣優勢等, 對他人施加影響, 獲取個人利益優先化。 立正確的社會角色觀, 扮演正確合理的社會角色, 那麼, 在脫離群眾派。我們黨在長期的革命斗爭中總結出一條寶 高校校園中, 學生幹部究竟應扮演何種社會角色呢? 我認為貴的革命經驗——群眾路線, 即「從群眾中來, 到群眾去, 應該是「五員」角色。一切依靠群眾, 一切為了群眾。」作為高校的學生幹部, 要 政策的宣傳員。學校的各項政策、規章制度往往需要通成功起到承上啟下的作用, 基點就是將群眾路線貫徹到學生 過學生幹部傳達給其他學生, 從而保證政策、規章制度的落工作中。可在現實中, 有一部分學生幹部往往忘記了這一 實。點, 高高在上, 只知道布置、安排, 而不知道身體力行, 不 信息的聯絡員。把上級的指示和老師的安排傳遞給學知道與普通學生打成一片。無形中就助長了官僚習氣, 影響 生, 把學生的意見、建議和想法匯報給上級和老師, 真正在學生幹部的威信。 師生間架起一道橋梁。「無過即功」派。「無過即功」派又叫消極應付派。指 活動的運動員。學生作為中間橋梁, 擔負著活動的組織的是一些學生幹部對自己的職責不負責任, 消極被動的干工 工作, 經常扮演的是「教練員」。實際上, 學生幹部身體力作, 搞活動, 這樣的學生幹部在基層學生幹部群體中為數不 行, 不僅能夠提高效率, 拉近「干群」關系, 同時也將進一少, 特別是班級中除團支部書記、班長以外的學生幹部, 表 步提高學生幹部的綜合素質。現的比較突出。這樣的社會角色, 短期內看不到實質性危 學生的服務員。作為學生中的積極分子、優秀分子, 學害, 但長此以往, 必然導致不負責任、消極等「官僚主義」 生幹部有責任也有義務服務於廣大同學, 不應該去片面的計病的流行。所以, 不論是哪一層級的學生工作負責人都要警 較個人得失, 也不能帶著強烈功利化色彩去擔任學生幹部,惕這種「無過即功」的消極思想的蔓延。 正如唐太宗所言「水能載舟, 亦能覆舟」。只要你切實為同學服務了, 學生就會支持你的工作。 二、學生幹部異化的原因上文中我們列舉了學生幹部社會角色異化, 那麼導致這 學風、校風的駕駛員。古語有雲: 「其身正, 不令即些角色出現的原因究竟是什麼呢? 顯然, 不僅僅是學生幹部 行; 其身不正, 雖令不從。」高校的學生幹部, 要率先遵守的個人素質問題, 而且是社會環境, 管理機制等多因素的共 校紀校規, 加強自身學風、工作作風、生活作風的建設。學同作用。具體來說, 有以下四個方面: 生幹部是學校眾多學生中的精英分子, 代表了學生的風貌,首先, 社會不正之風的影響。置身空前開放的社會, 我 代表了學校的形象。們不能將大學與社會割裂開來, 大學不是空中樓閣, 校園小 學生幹部是高校學生管理工作中的一支重要的力量, 重社會, 社會大校園。事物是普遍聯系的, 校園中的不正之風 視和加強高校學生幹部隊伍建設關繫到高校的穩定和發展。() 下轉176頁下點, 並在一定程度上具有二者的優點, 是無約束最優化演算法 一、數學模型中最為有效的方法之一。在一定條件下, 演算法具有二次終止性、整體收斂性和超線性的收斂等性質。三、數學試驗它的含義是求目標函數 在 維空間 上的最小值, 即 分別用本文所介紹的最速下降法、Newdon法、共軛梯求 使對於任意 的都有 。 度法、擬Newdon法求解去約束最優化問題:二、演算法的介紹 1、最速下降法基本思想: 從某一點 出發, 選擇目標函數 的負梯度方向作為每一步的搜索方向, 以利於盡快達到極小點。 下面我們對這四種演算法的計算過程和結果給予簡單的介特點: 的負梯度方向, 僅僅 在點的鄰近才具有使 紹。函數下降最快的性質, 而對於整個求最優解的過程來說就不 最速下降法:是這樣的。在一定條件下, 最速下降法是線性收斂的, 收斂 具體迭代過程見表1 速度較慢。當初始點 離最優點 較遠時, 一般來說下降 表1 較快, 效果較好, 在求最優解的前期, 使用最速下降法是有利的。 2、Newdon法基本思想: 從某一點 出發, 利用目標函數 在迭代點 處的二次Taylor展開去近似目標函數, 然後精確求出這個二次函數的極小點, 以它作為目標函數極小點的近似值。特點: 在一定的條件下, 當初始點 充分接近極小點時, 有很快的收斂速度, 但是局部收斂的。如果 正定且初始點適合時它是總體收斂的, 但當初始點遠離局部極小點時, 可能不正定, 也可能奇異, 這樣產生的 可能 由表1可以看出當第5次迭代後的精度為 ,不是下降方向。 前後兩次最速下降法的搜索方向是相互垂直的。 3、共軛梯度法 Newdon法:基本思想: 它是一個典型的共軛方向法, 它的每一個搜 索方向都是互相共軛的, 而這些搜索方向 僅僅是負梯度 , 與上一次迭代的搜索方向 的組合, 然後沿 方向進 行最優搜索。特點: 從理論上來說, 對於目標函數是正定二次函數, 利用共軛梯度法求最優解, 在 步以內必可達到極小點 , 它具有二次終止性。但在實際的計算當中, 由於計算 取初始點誤差等因素的影響, 導致經過 步迭代沒有得到滿足精度要 , 求的解, 或者說目標函數沒有進入一個正定二次函數的區域, 此時搜索方向應重新開始, 即將 作為新的初始點, 重 可見Newdon法有一步達到最優點的特點。新設置負梯度方向的措施來加速收斂。 共軛梯度法: 4、擬Newdon法 具體迭代過程見表2:基本思想: 它是一種改進的Newdon法, 也稱變尺度方 表2 法。為了保持Newdon法收斂速度快的優點, 而避免 Newdon矩陣求逆的計算, 引入新的迭代矩陣序列 用以代替 ( 其中 ), 不僅要求 ,且 易於計算。 形式的擬Newdon法迭代公式是:具體迭代過程見表3: 表3 其中 為擬Newdon方向, 亦即在 尺度矩陣意義下的最速下降方向; 為修正矩陣, 為修正項, 要求 具有如下性質: i. 滿足擬Newdon方程, 即 , 其中: ii. 必須是對稱陣, 來保證 成為下降方向。特點: 它是結合最速下降法和阻尼Newdon法而構造的 由此表可看出擬Newdon法第一步沿負梯度方向, 兩步一類新的演算法, 既克服了最速下降法收斂速度慢, 又克服了 達到最優點。 Newdon法搜索方向構造較困難, Hessian矩陣計算量大的缺淺談非線性無約束最優化問題的幾種演算法范慧玲( 黑龍江八一農墾大學文理學院數學系, 黑龍江 大慶 163319) 【摘要】近二十年來, 無約束最優化問題的理論與應用受到人們的重視, 發展迅速, 成果很多。本文歸納幾種非線性無約束最優化問題的幾種演算法, 並舉例說明它們的應用, 同時對各種演算法的思想和特點進行總結。 -1 1 2 3 0 0 - - -

Ⅱ 單純形法最優解的檢驗是什麼

若在極小化問題中,對於某個基本可行解,所有檢驗數小於等於0,則這個基本可行解是最優解。

Ⅲ 最優化方法的基本定義

最優化方法(也稱做運籌學方法)是近幾十年形成的,它主要運用數學方法研究各種系統的優化途徑及方案,為決策者提供科學決策的依據。最優化方法的主要研究對象是各種有組織系統的管理問題及其生產經營活動。最優化方法的目的在於針對所研究的系統,求得一個合理運用人力、物力和財力的最佳方案,發揮和提高系統的效能及效益,最終達到系統的最優目標。實踐表明,隨著科學技術的日益進步和生產經營的日益發展,最優化方法已成為現代管理科學的重要理論基礎和不可缺少的方法,被人們廣泛地應用到公共管理、經濟管理、工程建設、國防等各個領域,發揮著越來越重要的作用。本章將介紹最優化方法的研究對象、特點,以及最優化方法模型的建立和模型的分析、求解、應用。主要是線性規劃問題的模型、求解(線性規劃問題的單純形解法)及其應用――運輸問題;以及動態規劃的模型、求解、應用――資源分配問題。
最優化方法
1.微分學中求極值
2.無約束最優化問題
3.常用微分公式
4.凸集與凸函數
5.等式約束最優化問題
6.不等式約束最優化問題
7.變分學中求極值
詳細資料 最優化模型一般包括變數、約束條件和目標函數三要素:①變數:指最優化問題中待確定的某些量。變數可用x=(x1,x2,…,xn)T表示。②約束條件:指在求最優解時對變數的某些限制,包括技術上的約束、資源上的約束和時間上的約束等。列出的約束條件越接近實際系統,則所求得的系統最優解也就越接近實際最優解。約束條件可用 gi(x)≤0表示i=1,2,…,m,m 表示約束條件數;或x∈R(R表示可行集合)。③目標函數:最優化有一定的評價標准。目標函數就是這種標準的數學描述,一般可用f(x)來表示,即f(x)=f(x1,x2,…,xn)。要求目標函數為最大時可寫成;要求最小時則可寫成。目標函數可以是系統功能的函數或費用的函數。它必須在滿足規定的約束條件下達到最大或最小。 問題的分類 最優化問題根據其中的變數、約束、目標、問題性質、時間因素和函數關系等不同情況,可分成多種類型(見表)。最優化方法
最優化方法
不同類型的最優化問題可以有不同的最優化方法,即使同一類型的問題也可有多種最優化方法。反之,某些最優化方法可適用於不同類型的模型。最優化問題的求解方法一般可以分成解析法、直接法、數值計演算法和其他方法。①解析法:這種方法只適用於目標函數和約束條件有明顯的解析表達式的情況。求解方法是:先求出最優的必要條件,得到一組方程或不等式,再求解這組方程或不等式,一般是用求導數的方法或變分法求出必要條件,通過必要條件將問題簡化,因此也稱間接法。②直接法:當目標函數較為復雜或者不能用變數顯函數描述時,無法用解析法求必要條件。此時可採用直接搜索的方法經過若干次迭代搜索到最優點。這種方法常常根據經驗或通過試驗得到所需結果。對於一維搜索(單變數極值問題),主要用消去法或多項式插值法;對於多維搜索問題(多變數極值問題)主要應用爬山法。③數值計演算法:這種方法也是一種直接法。它以梯度法為基礎,所以是一種解析與數值計算相結合的方法。④其他方法:如網路最優化方法等(見網路理論)。
解析性質
根據函數的解析性質,還可以對各種方法作進一步分類。例如,如果目標函數和約束條件都是線性的,就形成線性規劃。線性規劃有專門的解法,諸如單純形法、解乘數法、橢球法和卡馬卡法等。當目標或約束中有一非線性函數時,就形成非線性規劃。當目標是二次的,而約束是線性時,則稱為二次規劃。二次規劃的理論和方法都較成熟。如果目標函數具有一些函數的平方和的形式,則有專門求解平方和問題的優化方法。目標函數具有多項式形式時,可形成一類幾何規劃。
最優解的概念
最優化問題的解一般稱為最優解。如果只考察約束集合中某一局部范圍內的優劣情況,則解稱為局部最優解。如果是考察整個約束集合中的情況,則解稱為總體最優解。對於不同優化問題,最優解有不同的含意,因而還有專用的名稱。例如,在對策論和數理經濟模型中稱為平衡解;在控制問題中稱為最優控制或極值控制;在多目標決策問題中稱為非劣解(又稱帕雷托最優解或有效解)。在解決實際問題時情況錯綜復雜,有時這種理想的最優解不易求得,或者需要付出較大的代價,因而對解只要求能滿足一定限度范圍內的條件,不一定過分強調最優。50年代初,在運籌學發展的早期就有人提出次優化的概念及其相應的次優解。提出這些概念的背景是:最優化模型的建立本身就只是一種近似,因為實際問題中存在的某些因素,尤其是一些非定量因素很難在一個模型中全部加以考慮。另一方面,還缺乏一些求解較為復雜模型的有效方法。1961年H.A.西蒙進一步提出滿意解的概念,即只要決策者對解滿意即可。 最優化一般可以分為最優設計、最優計劃、最優管理和最優控制等四個方面。①最優設計:世界各國工程技術界,尤其是飛機、造船、機械、建築等部門都已廣泛應用最優化方法於設計中,從各種設計參數的優選到最佳結構形狀的選取等,結合有限元方法已使許多設計優化問題得到解決。一個新的發展動向是最優設計和計算機輔助設計相結合。電子線路的最優設計是另一個應用最優化方法的重要領域。配方配比的優選方面在化工、橡膠、塑料等工業部門都得到成功的應用,並向計算機輔助搜索最佳配方、配比方向發展(見優選法)。②最優計劃:現代國民經濟或部門經濟的計劃,直至企業的發展規劃和年度生產計劃,尤其是農業規劃、種植計劃、能源規劃和其他資源、環境和生態規劃的制訂,都已開始應用最優化方法。一個重要的發展趨勢是幫助領導部門進行各種優化決策。③最優管理:一般在日常生產計劃的制訂、調度和運行中都可應用最優化方法。隨著管理信息系統和決策支持系統的建立和使用,使最優管理得到迅速的發展。④最優控制:主要用於對各種控制系統的優化。例如,導彈系統的最優控制,能保證用最少燃料完成飛行任務,用最短時間達到目標;再如飛機、船舶、電力系統等的最優控制,化工、冶金等工廠的最佳工況的控制。計算機介面裝置不斷完善和優化方法的進一步發展,還為計算機在線生產控制創造了有利條件。最優控制的對象也將從對機械、電氣、化工等硬系統的控制轉向對生態、環境以至社會經濟系統的控制。
圖書信息
書 名: 最優化方法
作者:張立衛
出版社:科學出版社
出版時間: 2010年6月1日
ISBN: 9787030276490
開本: 16開
定價: 27.00元

Ⅳ 最優化方法的內容簡介

《最優化方法》介紹最優化模型的理論與計算方法,其中理論包括對偶理論、非線性規劃的最優性理論、非線性半定規劃的最優性理論、非線性二階錐優化的最優性理論;計算方法包括無約束優化的線搜索方法、線性規劃的單純形方法和內點方法、非線性規劃的序列二次規劃方法、非線性規劃的增廣Lagrange方法、非線性半定規劃的增廣Lagrange方法、非線性二階錐優化的增廣Lagrange方法以及整數規劃的Lagrange鬆弛方法。《最優化方法》注重知識的准確性、系統性和演算法論述的完整性,是學習最優化方法的一本入門書。
《最優化方法》可用作高等院校數學系高年級本科生和管理專業研究生的教材,也可作為相關工程技術人員的參考用書。

Ⅳ 最優化選擇法數學原理

2.2.1 目標函數

設觀測異常以ΔZk表示,k為觀測點序號,k=1,2,…,m,m為觀測點數。

設所選用的地質體模型的理論異常以 Z 表示,Z 是模型體參量和觀測點坐標的函數,即

Z=f(xk,yk,zk,b1,b2,…,bn

式中:xk,yk,zk為觀測點的坐標;b1,b2,…,bn為模型體的參量,如空間位置、產狀、物性等,參量的個數為n。

模型體的初始參量用

,…,

表示。

理論曲線與實測曲線之間的符合程度,是以各測點上理論異常與實測異常之差的平方和(即偏差平方和)來衡量的,用φ表示,即

地球物理數據處理教程

目的在於求得一組關於模型體參量的修改量δ1,δ2,…,δn,來修改模型體給定的初值參量,即

地球物理數據處理教程

於是求出關於模型體參量的一組新值,而由這組新參量形成的模型體的理論異常與實測異常之間的偏差平方和將取極小,即是

地球物理數據處理教程

代入式(2.2.1)中將使φ值獲得極小,這時bi即為我們的解釋結果,這稱為最小二乘意義下的最優化選擇法。

我們稱φ為目標函數,用它來衡量理論曲線與實測曲線的符合程度。最優化方法的關鍵在於求取使φ值獲得極小參量的改正值δi,而f通常是bi的非線性函數,因而該問題歸結為非線性函數極小的問題。

2.2.2 求非線性函數極小的迭代過程

從上已知f為bi的非線性函數,那麼要求它與實測值之間的偏差平方和φ為極小的問題就稱為非線性極小問題,或稱為非線性參數的估計問題。如果是線性問題,參數估計比較簡單,通常進行一次計算即可求出參數的真值,而對非線性問題,參數估計卻要復雜得多,為了求解,通常將函數在參數初值鄰域內展成線性(忽略高次項),即所謂的線性化,然後再求得改正量δi(i=1,2,…,n),由於這是一種近似方法,因而不可能使φ一次達到極小,而需要一個迭代過程,通過反復計算而逐步逼近函數φ的極小值。

圖2.1 不同埋深時的重力異常

為了說明這個求極小的迭代過程,可以舉一個單參量的例子,即假如我們要確定引起重力異常Δgk的場源地質體的深度,假設場源為一個已知體積和密度的球體模型,如圖2.1所示,那麼φ就是球心埋深z的函數,如果球心埋深的真值為h,我們首先取初值為z(0),這時函數

地球物理數據處理教程

式中:Δgk為實測異常;g(z)是球心埋深為z的理論重力異常;φ隨z的變化情況示於圖2.2 中,要求使φ獲極小的z,即要求使

地球物理數據處理教程

的根。由於z(0)和φ(z(0))不能一次求出φ的極小來,通常採用迭代的辦法,如圖2.3所示,例如用牛頓切線法迭代求根,根據下式

地球物理數據處理教程

得到一個更近似於根的值z(1),但不等於h,因此需進一步再用上式,將z(1)作為新的初值z(0),可得到新的z(1)更接近於h,如此反復下去可以使z值無限接近於h,當滿足精度要求時,我們認為它近似等於h了,停止迭代,這時的z(1)就作為h值。

圖2.2 函數φ(z)隨z變化示意圖

圖2.3 用牛頓切線法求φ′(z)=0的根示意圖

2.2.3 單參量非線性函數的極小問題

單參量不僅是討論多參量的基礎,而且往往在求多參量極小時要直接用到單參量極小的方法,因此有必要作一介紹。

求單參量極小的方法很多,上面用到的牛頓切線法就是其中之一,在此我們介紹一種用得較多的函數擬合法,以及精度較高的DSC-Powell方法。

2.2.3.1 函數擬合法

2.2.3.1.1 二次函數擬合法

A.不計算導數的情況

設取三個參量值x1、x2、x3,它們對應的φ 值就應為φ1、φ2、φ3,過三個點(x1,φ1;x2,φ2;x3,φ3)作二次拋物線,應有下式

地球物理數據處理教程

聯立φ1、φ2、φ3的方程式,即可得出系數A、B、C來。

當A>0時,應有極小點存在,我們設極小點為d,那麼根據極小的必要條件有

地球物理數據處理教程

將A、B的表達式代入即得

地球物理數據處理教程

當x1、x2、x3為等距的三點時,上式可簡化為

地球物理數據處理教程

B.計算導數的情況

設已知兩個點的參量值x1和x2對應的函數值φ1、φ2,並已求得x1點的一階導數值φ′(x1),可用下列方法求極小點d:

地球物理數據處理教程

聯立φ1、φ2、φ′(x1)三個方程即可得A、B、C,代入極小點的表達式即可求得極小點。

為了簡化起見,不妨設x1為坐標原點(即x1=0),設x2=1,於是上面各式簡化成:

φ′(x1)=B

φ1=C

φ2=A+B+C

A=φ2-φ′(x1)-φ1

地球物理數據處理教程

2.2.3.1.2 三次函數擬合法

取兩個點的參量值x1和x2,及相應的φ1和φ2值,並已得到該兩點的一階導數值φ′(x1)和φ′(x2),我們選用一個三次多項式

φ=Ax3+Bx2+Cx+D

代入上面給出的4個條件,同樣,為了簡化起見,不妨設x1為坐標原點(即x1=0),設x2=1,則有

φ1=D

φ2=A+B+C+D

φ′(x1)=C

φ′(x2)=3A+2B+C

聯立求解,可定出4個系數A、B、C、D,按照求極小的必要條件

φ′=3Ax2+2Bx+C=0

當二階導數

φ″=6Ax+2B>0

時有極小存在,極小點d就為

地球物理數據處理教程

為了計算方便,令

v=φ′(x1

u=φ′(x2

S=-3(φ12)=3(A+B+C)

Z=s-u-v=B+C

W2=Z2-vu=B2-3AC

於是極小點d就可用下列形式表示:

地球物理數據處理教程

2.2.3.2 DSC-Powell 法

該法為比較細致的單參量探測法,精度比較高,計算工作量較大,大致可分為兩部分來完成,其探測(迭代)過程如圖2.4所示。

2.2.3.2.1 確定極小值所在的區間

採用的是一種直接探測法,做法可歸納如下。

第一步:給定探測方向x、初值點x0和初始步長Δx,計算φ(x0)和φ(x0+Δx),若φ(x0+Δx)≤φ(x0),轉向第二步;若φ(x0+Δx)>φ(x0),則取-Δx為步長Δx,轉向第二步。

第二步:計算xk+1=xk+Δx,計算φ(xk+1)。

第三步:如果φ(xk+1)≤φ(xk),以2Δx為新步長代替Δx,且用k代表k+1,轉向第二步。

如果φ(xk+1)>φ(xk),則以xm表示xk+1,以xm-1表示xk,將上步的xk作為xm-2,並計算

地球物理數據處理教程

第四步:在4個等距點(xm-2、xm-1、xm+1、xm)中,去掉四點中離φ(x)最小點最遠的那一點,即或是xm,或是xm-2,剩下的三點按順序以xα、xb、xc表示,其中xb為中點,那麼(xα,xc)區間即為極小值所在的區間。

2.2.3.2.2 用二次函數擬合法求極小點

將上面已確定的等距的 xα、xb、xc三點及 φ 值,用二次函數擬合法即用公式(2.2.3)求得極小點,令為x*點。再將xα、xb、xc、x*四點中捨去φ值最大的點,剩下的點重新令為α、b、c,則又得三點和它們相應的φ值,用公式(2.2.2)求其極小點x*,如此反復使用公式(2.2.2),逐步縮小極小值的區間,一直到兩次求得的極小點位置差小於事先給定的精度為止,x*點即為極小點。

圖2.4 DSC-Powell法示意圖

2.2.4 廣義最小二乘法(Gauss 法)

重磁反問題中的最優化方法,一般是指多參量的非線性最優估計問題,理論模型異常z=f(

,b1,b2,…,bn)是參數bi(i=1,2,3,…,n)的非線性函數,其中

=(x,y,z)為測點的坐標。由前已知ΔZk(k=1,2,…,m)表示在第k個觀測點

上的實測異常,現在要尋求與觀測異常相對應的理論模型的參量值bi(i=1,2,…,n),使理論異常與實測異常的偏差平方和

地球物理數據處理教程

為極小。

設bi的初值為

,則上述問題,即是要求修正量δi,使

地球物理數據處理教程

代入φ中,使φ獲得極小。

高斯提出了首先將f函數線性化的近似迭代方法,即將f在

處按台勞級數展開取其線性項。

地球物理數據處理教程

式中

地球物理數據處理教程

給出後,

均可直接計算出來。將台勞展開式代入式(2.2.6)中,目標函數φ為

地球物理數據處理教程

要求

使φ取得極小,根據極小的必要條件

地球物理數據處理教程

將上式化為

地球物理數據處理教程

寫成方程組形式

地球物理數據處理教程

式中:

(i,j=1,2,…,n)

再寫成矩陣形式,有

地球物理數據處理教程

地球物理數據處理教程

其中

A=PTP

地球物理數據處理教程

式中:P稱為雅可比(Jacobi)矩陣,是理論模型函數對參量的一階導數矩陣。A為正定對稱矩陣,實際計算時,當實測異常值已給出,模型體的初值

已選定後,A和

即可計算出,求解方程(2.2.7)即可求出

,從而可得

上面推導出的方程(2.2.7)是將f線性化所得,因而只有當f為真正的線性函數時,

才是真正的極小點

,即一步到達極小;當f為非線性函數時,台勞式線性化僅為近似式,近似程序視

的大小而定,當|δi|較大時,二次以上項忽略的誤差就大,反之就小,所以對於非線性函數

不能簡單地作為極小點

,一般將

作為新的初值

再重復上述做法,再解方程(2.2.7)又得到新的

,反復迭代下去,直到滿足精度要求為止(例如|δi|小到允許誤差)。

在高斯法應用中常常出現一種困難,即迭代過程不穩定,當

過大時,台勞展開的高次項太大而不能忽略時,就可能發生這樣的情況,即用方程(2.2.7)求得的解,得到的參量

所對應的φ值大於

所對應的φ值,那麼它將不能穩定地收斂於φ的極小值,即是出現了發散的情況,一般說來當f非線性程度越明顯時,越易出現發散的情況。

因此高斯法的一種改進形式如下,即不直接把

作為校正值,而將它作為校正方向,記為

,而在該方向上用單變數求極小的方法尋找在這個方向上的極小點,即尋找一個α,使目標函數φ(

)為極小,取

作為新的初值,再繼續迭代(0<α<1)。

把這個改進的方法稱為廣義最小二乘法,它使迭代過程的穩定性有所改善,即使這樣當初值取得不好時,也有可能出現不收斂。

2.2.5 最速下降法

從前述已知,我們的目的是要求目標函數的極小,高斯法是利用將f函數線性化,建立一個正規方程(2.2.7)來求取修正量的,最速下降法是另一類型方法,它直接尋找φ函數的下降方向來求取修正量,所以它又稱為直接法,而高斯法又稱為間接法。

從目標函數φ出發來尋找其下降方向

地球物理數據處理教程

始終是大於或等於0,因此它一定有極小存在,我們首先考慮初值點

的一個鄰域內,將φ在

處台勞展開取至線性項,有

地球物理數據處理教程

希望尋找使Φ下降的方向,即要找新點

,使φ(

)<φ(

即要求φ(

)-φ(

)>0,

且越大越好,那麼可得

地球物理數據處理教程

地球物理數據處理教程

式中

表示φ函數對

的各分量的導數所組成的向量,即梯度向量。

要使上式取極大,有

地球物理數據處理教程

上式說明了φ值下降最快的方向

,應該是與梯度方向

相反的方向,即負梯度方向,那麼修正量就應在負梯度方向上來求取。下面討論從

出發,沿負梯度方向上求取極小點的方法,除了用前面介紹過的方法外,在此再介紹一種近似計算方法。

要求從

出發,沿-

方向的極小點,即要求λ使φ

為-

方向上極小點。根據極小必要條件,有

地球物理數據處理教程

如果φ為二次函數時,λ可以直接解出,在重磁反問題中φ為非二次函數,且函數形式較復雜,一般無法直接解出λ,而採用近似法,先將φ(

)台勞展開,取至線性項,即

地球物理數據處理教程

假設粗略認為φ的極小值為零,則極小點的λ應有

地球物理數據處理教程

這個方法計算簡單,但誤差較大,特別是

遠離真正極小點

時,φ值較大,上式的假設不適合,當接近真極小點

附近時,可以採用。但在重磁反問題中,由於實測值Zk中含有干擾成分,所以即使到了

附近,φ值仍不會為零,因而上述計算λ的方法不能直接採用,可將上述計算的λ作為一個區間估計值,再用其他方法計算[0,λ]之間真正的λ值。

從上所述可將最速下降法敘述如下:從初值

出發,沿著φ(

)的負梯度方向-

)尋找極小點

,然後又從

出發,沿著φ(

)的負梯度方向-

)尋找極小點

,一直迭代下去,直到找到

為止。

由於這個方法是沿著初值點的最快下降方向,在該方向上如果採用單方向求極小的方法得到該方向上的極小點,那麼又稱「最優」、「最速」下降法。但需要指出的是,所謂「最速」是就初值點的鄰域而言,所謂「最優」是指在初值點的負梯度方向上,所以它的著眼點是就局部而言,就初值點鄰域而言,而對整體往往是既非「最優」,又非「最速」,而是一條曲折的彎路,難怪有人稱它為「瞎子下山法」,如圖2.5所示,當φ的等值面為拉長的橢球時更是如此。但它有一個十分可貴的優點,即在迭代的每一步都保證φ值下降,所以它是穩定收斂的,在φ函數復雜時,計算工作量較大些,對於大型計算機比較適用。

圖2.5 最速下降法迭代過程示意圖

圖2.6 修正量的方向

2.2.6 阻尼最小二乘法(Marguardt)

比較上述兩種方法可知,Gauss法修正量的步長大,當φ近於二次函數,可以很快收斂,但當φ為非二次函數,初值又給得不好時,常常引起發散。而最速下降法卻能保證穩定的收斂,但修正量的步長小,計算工作量大。當φ的等值面為拉長的橢球時,Gauss法的修正量

和最速下降法的修正量

之間的夾角γ可達80°~90°,如圖2.6所示。

對於φ為二次函數的情況下,高斯法的修正量

方向是指向φ的極小點,而最速下降法修正量

的方向是垂直於通過

點的φ函數等值面的切平面。因而當φ為比較復雜的函數時,有可能使

出現發散而失敗。

阻尼最小二乘法是在Gauss法和最速下降法之間取某種插值,它力圖能以最大步長前進,同時又能緊靠負梯度方向,這樣既能保證收斂又能加快速度。它的基本思想是:在迭代過程的每一步,最好盡量使用Gauss法修正量方向

,以使修正步長盡可能地增大,如當這種情況下不能收斂時,再逐步改用接近最速下降的方向

,同時縮小步長,以保證收斂,下面以

表示由阻尼最小二乘法得出的修正量。

實現上述思想只要將方程

地球物理數據處理教程

改變為

地球物理數據處理教程

就能實現了。式中

為我們所要求的修正量,即稱Marguardt修正向量,I為單位矩陣,λ是用來控制修正方向和步長的任意正數,又稱阻尼因子,它起到阻止發散的作用,方程(2.2.9)中

顯然是λ的函數,即

地球物理數據處理教程

通過這一改變後,即原來的正規方程(2.2.7)系數矩陣的主對角線上加一正數,從而使條件數得到了改善。如果原來A是奇異的,而A+λI可成為正定的,設原來A的最大特徵值和最小特徵值為μmax和μmin,則條件數就發生了如下變化:

地球物理數據處理教程

使病態條件數改善,對於計算來說,是十分有利的。

從方程(2.2.7)可看出,右端項為

地球物理數據處理教程

而φ的負梯度向量

的第i個分量

地球物理數據處理教程

所以

,即方程(2.2.7)、(2.2.9)的右端項

的方向即為負梯度方向,值為負梯度值的一半。

在方程(2.2.9)中,當λ=0時,即是(2.2.7)方程,這時

就是

;當λ→∞時,δ0

,而

是負梯度方向,這時

就是最速下降方向,所以阻尼最小二乘法的修正量

,是最速下降修正量

和Gauss法修正量

之間的某種插值,λ就是這種插值的權系數。

Marguardt向量

具有以下三個特性:

(1)當λ越來越大時,

的長度越來越小,且

地球物理數據處理教程

‖表示

向量的范數,也即是它的長度。

(2)當λ由零逐漸增大時,

的方向逐漸由Gauss法的方向

轉向最速下降法方向

,λ越大,

方向越接近

方向。

(3)對λ>0的任意正數,

(滿足方程(2.2.9))使φ在半徑為‖

‖的球面上取得極小。

圖2.7Δ0(λ)隨λ的變化情況示意圖

以上三個性質說明,當λ逐漸增大時,

的方向由

靠近,它的大小‖

‖逐漸減小,λ→∞時,‖

‖→0,如圖2.7所示。因此在迭代的任何一步,我們總可以找到充分大的λ,來保證穩定的收斂,因為當φ 不下降時,就加大λ向

靠,一直到使φ下降為止,從而保證收斂。性質(3)說明在跨出同樣的步長時,以

(λ)方向最好,這就保證了該法的優越性。在實際計算時,總是在保證收斂的前提下,取較小的λ,以獲得較大的步長前進。

下面介紹阻尼最小二乘法的迭代步驟,即實際計算過程。

(1)給出模型體參量初值

,計算φ(

);給出實測場值ΔZk(k=1,2,…,m);給出阻尼因子的初值λ(0)及改變λ的比例系數v。

(2)開始迭代,λ=λ(0)/v

(3)計算A,(A+λI)及右端項

在初值點

的值,得方程(2.2.9),(A+λI)

的系數矩陣及右端項。

(4)求解方程(2.2.9)得

(5)計算

及φ(

)。

(6)比較φ(

)和φ(

)。

若φ(

)<φ(

),則該次迭代成功。判斷

是否滿足精度要求,若滿足停止迭代,這時的

即為極小點

;若不滿足精度要求,則將

作為新

,φ(

)作為新φ(

),減小λ作為新的λ(0),轉向第(2)步,繼續迭代下去。

若φ(

)>φ(

),則該次迭代失敗,增大阻尼因子λ,將λ·v作為新的λ,轉向第(4)步,即重新求解(A+λI)

方程,重新得到新的

該方法中阻尼因子λ的選擇十分重要,上述選法是一種簡單可行的方法,還有很多不同的選擇方法,可參閱有關的書籍。

Ⅵ 西安電子科技大學理學院的科研簡介

物理系科研項目
物理系在研自然科學基金項目及國防預研項目37項,總經費681萬元
1.國家自然科學基金項目與國家863項目
(1)《隨機介質中分形散射》
(2)《非球形粒子對有限波束的散射及在相多普勒中的應用》
(3)《目標環境光散射特性的建模與模擬》
(4)《隨機分布簇團粒子光散射和應用》
(5)863項目《低軌衛星光譜散射特性與模擬模型》
(6)隨機系統法在電磁波復合散射極化問題中的應用(2002-2004)
(7)光外調制光折晶體波導波分復用和動態光互連的研究
(8)國家863 項目:「微型二維電定址液晶光閥空間光調制器的研究」
(9)國家「863」 項目:「大容量快速體全息存儲器研究」
(10)超高密度、超快速度光信息存儲和處理基礎研究」
(11)國家自然基金「用於場離子顯示屏中場離子發射板的復合材料研究」
(12)國家自然基金「超短脈沖激光診斷微腔的光學特性」
3.國防預先研究項目(八五、九五和十五)
(1)目標激光散射特性研究
(2)三毫米線、面散射體散射特性及干擾機理研究
(3)目標電磁散射特性理論建模及應用技術
(4)典型軍用目標紅外特性採集和建模
(5)目標激光散射特性測量與理論建模
(6)地海雜波電磁散射建模及其應用技術研究
(7)目標電磁散射和光學特性集成模型軟體
(8)激光武器目標雙站散射特性研究
(9)電磁波大氣傳播衰減特性研究(2003-2005)
(10)大氣反常傳播及其通信和偵察應用研究(2004-2006)
4.國防科技預先研究基金(含重點實驗室)項目
(1)目標材料表面雙向反射分布函數研究
(2)戰場環境毫米波、紅外傳輸特性研究
(3)激光雙向反射特性的表面因子影響和幾何縮比關系的研究
(4)計算雷達目標雙向散射的邊緣電磁流方法研究
(5)目標與背景對有限波束的散射和光譜反射特性研究
(6)分形幾何在地、海雜波散射中的應用
(7)干擾雲團中復合電磁散射特性及特徵提取與識別研究
(8)低軌衛星光散射特性研究低軌衛星光散射特性研究
(9)海面背景對激光、陽光光譜散射與輻射特性研究
(10)中段彈頭與誘餌激光散射特性
(11)目標激光近場散射特性建模與模擬
(12)低軌衛星可見光散射穩定特性的分析研究」
(13)國防工委激光空域強度分布測試系統科研項目
其他項目
(1)激光超短脈沖研究微腔光學特性,教育部「優秀青年教師資助計劃」
(2)超短脈沖激光診斷微腔的光學特性,國家自然基金
(3)低軌衛星可見光散射穩定特性的分析研究,國防科技重點實驗室基金
(4)激光脈沖與小粒子的相互作用,留學回國人員科研基金數學系科研項目:
1.流密碼強度度量與新型流密碼的研究 肖國鎮國家教委91-94年3.2萬
2.微波寬頻低頻雜訊高增益場效應(FET)放大器優化設計的研究(J92.07.10) 陳開周電科院92-94年4.5萬
3.分組密碼強度與穩定性分析(J92.08.07)肖國鎮電科院92-94年5萬
4.圖象快速處理中計算方法的研究(91.J1A.04) 陳開周國防科工委92-93年3萬
5.零知識證明及其在信息安全協議中的應用 肖國鎮國家保密局92-94年5萬
6.信息安全科技情報研究 肖國鎮國家保密局92-95年2萬
7.基於神經網路和信息熵的最優化方法 劉三陽國家教委92-95年2.1萬
8.序列密碼及網路信息安全(L1-16)肖國鎮中央辦公廳一局92-95年5.5萬
9.智能卡理論與軍用研究(DJ.93.8.7)何大可電科院93-95年4萬
10.KU波段固態震盪源突變機制及實驗研究(92J8.01)李家賢國防科工委93-94年4.5萬
11.小波理論及其在圖象壓縮中的應用(DJ94.1.7)宋國鄉電科院94-96年4萬
12.分組密碼整體結構與演算法分析(DJ94.3.3)肖國鎮電科院94-96年4萬
13.圖象處理的圖像代數模型的研究(94SL09)屈家淦陝西省科委94-96年0.5萬
14.電磁場邊值問題的小波演算法研究 馮象初國家自然科學基金95-96年7萬
15.遙感圖像數據壓縮的小波方法研究 傅 瑜北京大學96-98年1萬
16.多安全級密碼演算法研究(31.2.1.3)肖國鎮電科院96-00年7萬
17.新型分組密碼與流密碼的穩定性理論與演算法研究(DJ964.3.1.3)肖國鎮電科院96-98年5.5萬
18.保密通信中流碼技術的研究 肖國鎮東南大學96-98年1萬
19.神經網路的拓樸與優化 劉三陽國家教委96-97年3萬
20.基於Petri網的DEDS控制與調度方法的研究 邢科義國家自然科學基金委96-98年 6.5萬
21.小波演算法在稀土電熱場的結果分析中的應用 宋國鄉西北大學97-98年3萬
22.基於Petri網的Fms建模、控制與優化方法的研究(957 0818) 邢科義西安交通大學95-97年1萬
23.電磁散射特性的建模及小波演算法研究(DJ977.2.21) 宋國鄉電科院97-99年4.5萬
24.製造系統建模、控制與調度 邢科義西安交通大學97-99年2萬
25.遙感圖像數據壓縮的小波方法研究 傅瑜北京大學96-97年1萬
26.發光動力學中若干數學問題 顏黎5760797-97年0.35萬
27.基於子波變換的陣列信號處理研究(97X03) 李有明陝西省科委97-00年1.5萬
28.代數群偽子群結構與表示理論 王憲棟國家自然科學基金98-00年0.8萬
29.二層系統決策問題的研究(98G01) 劉三陽陝西省科委98-00年2萬
30.離散事件/混雜系統及其在FMS中的應用研究 邢科義國家教育部99-01年6萬
31.調幅-調頻信號的穩健濾波和非線性參數估計 方法研究(99J7.2.6) 毛用才總裝基金辦99-01年7萬
32.多目標集值優化方法及應用(99SL02) 盛寶懷陝西省科委99-01年1.5萬
33.高強度分組密碼的研究(99X06) 胡予濮陝西省科委99-01年2萬
34.語音處理技術中小波演算法研究 趙瑞珍北京大學99-00年1萬
35.多媒體中圖像語音的小波演算法研究(990) 宋國鄉華為公司99-00年2萬
36.偏微分方程數值解的多小波方法(2000SL02) 馮象初陝西省科技廳00-02年1.5萬
37.網路優化及其在計算機通信網中的應用(2000SL03) 劉三陽陝西省科技廳00-02年2萬
38. DEDS控制優化及其在FMS中的應用研究 邢科義國家自然科學基金00-02年12萬
39. 計算機通信網中的多點傳送路由演算法研究 劉三陽國家自然科學基金00-02年10萬
40.異質生長碳化硅MESFEF器件特性研究(00J82。1) 宋國鄉總裝基金辦00-02年8萬
41.ISN國家重點實驗室訪問學者基金 胡予濮00-02年5萬
42.多分量非平穩信號處理的新方法及其應用研究 毛用才國家自然科學基金委00-02年15萬
43.相關域多速率濾波器組設計及其應用(001 2254)水鵬朗教育部00-01年6萬
44.主分量多小波理論及其應用 水鵬朗 國家自然科學基金委00-02年14萬
45.廣義自縮序列的生成與安全性分析 胡予濮國家自然科學基金委02-05年22萬
46.半定規劃與網路優化研究劉三陽教育部跨世紀優秀人才基金 03-05年30萬
47.組合優化中的半定規劃方法(2001SL05)劉紅衛陝西省科技廳00-02年2萬
48、解兩類復雜優化問題的進化演算法(2001SL06)王宇平陝西省自然科學基金01-04年1.5萬
49、DNA計算在網路最優化中的應用(2002A12)高淑萍陝西省自然科學基金02-04年1.5萬
50、通信網可靠性的數學模型與演算法研究(2002A13)馮海林陝西省自然科學基金02-04年1.5萬
51、非線性自適應迭代學習理論及應用(2002A15)李俊民陝西省自然科學基金02-04年1.5萬
52、國家優秀博士論文作者專項基金(2001036)水鵬朗國家行動計劃02-06年60萬
53、非一致目標跟蹤的自適應迭代學習控制理論與應用 李俊民國冢自然科學基金04-06年21萬
54、復雜多目標規劃及不可微雙層規劃的進化演算法研究 王宇平國冢自然科學基金04-06年21萬
56、密碼函數的設計與安全性分析 胡予濮GF實驗室基金02-03年10萬
57、基於小波的專用模擬電路故障分析 宋國鄉GF實驗室基金04-05年14萬
58、粗糙集理論及其在多目標決策中的應用(2003A09)劉三陽陝西省自然科學基金03-05年1.5萬
59、半定規劃的演算法和應用(2004A05)王新輝陝西省自然科學基金04-06年1.5萬
60、WDM光網路數學建模與性能優化(2004A02)齊小剛陝西省自然科學基金04-06年1.5萬最後更新 2005-07-17 17:59

Ⅶ 最優化理論演算法

本書是陳寶林教授在多年實踐基礎上編著的.書中包括線性規劃單純形方法、對偶理論、靈敏度分析、運輸問題、內點演算法、非線性規劃K?T條件、無約束最優化方法、約束最優化方法、整數規劃和動態規劃等內容.本書含有大量經典的和新近的演算法,有比較系統的理論分析,實用性比較強;定理的證明和演算法的推導主要以數學分析和線性代數為基礎,比較簡單易學.本書可以作為運籌學類課程的教學參考書,也可供應用數學工作者和工程技術人員參考。

Ⅷ 最優化計算方法 陳開周的教材、答案的電子版 [email protected] 謝謝!

Ⅸ 最優化方法數學

最優化方法簡單,就是運籌學,高中就學過,比如一些簡單的線性規劃,裡面就是一些固定的模式化方法,考試前記下就能考高分,數理統計還是很煩瑣的,是數學專業的基礎課,有點難度的,計算方法呢,也是一些固定的模式公式,但公式比較多而且比較煩瑣,計算難度大。三個相對來說,就難度與計算復雜程度來看,最優秀化方法相對簡單。

閱讀全文

與最優化計算方法陳開周相關的資料

熱點內容
二頭最佳鍛煉方法 瀏覽:914
如何做甜點和做蛋糕最簡單的方法 瀏覽:692
膝蓋有積液用什麼方法能快速消腫 瀏覽:347
英語如何用好的方法呈現形容詞 瀏覽:394
原酒怎麼儲藏方法 瀏覽:486
行業研究報告分析方法 瀏覽:677
可口可樂解決負面影響的方法 瀏覽:614
膝關節檢測方法養生堂 瀏覽:372
餓了么引流有哪些方法 瀏覽:381
扣安全帶方法圖片 瀏覽:637
冰箱的冰快速溶解的方法 瀏覽:54
紅茶的製作方法發源地是哪裡 瀏覽:605
正確的科學發聲方法是哪裡用力 瀏覽:400
高效溝通技巧和方法圖片 瀏覽:292
初五接財神正確方法動圖 瀏覽:720
動物胃腸炎的治療方法 瀏覽:359
高冰岫玉的鑒別方法 瀏覽:87
聚氯乙烯膠水快速乾的方法 瀏覽:363
飛機合頁的安裝方法 瀏覽:637
華為平板電腦錄音在哪裡設置方法 瀏覽:874