自適應領域的法向量計算方法

⑴ 怎樣求法向量

什麼是法向量？
法向量的定義：
1 在平面幾何中,如果一個向量垂直於一條直線,那麼它就叫做直線的法向量.
2 在立體幾何中,如果一個向量垂直於一個平面,那麼它就叫做平面的法向量.三維平面的法線是垂直於該平面的三維向量。曲面在某點 p 處的法線為垂直於該點切平面的向量。
3 在立體幾何中,如果一個向量同時垂直於兩條或多條異面直線,那麼該向量叫做這些異面直線的公共法向量.
比方說,
1 在平面上有直線 y=x,那麼向量(1,-1)就是這條直線的(一個)法向量(注意法向量是無窮多的).
2 在立體空間中有由x軸和y軸確定的平面,那麼這個平面就有一個法向量(0,0,1).
法線法向量是否唯一的？
曲面法線的法向量不具有唯一性；在相反方向的法線也是曲面的法線；法線的兩個方向的法向量都可以表示這條法線方向。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。
法向量的模等於1的法向量叫單位法向量。

如何用矩陣行列式求法向量？
如果矩陣是方陣(如nxn)：它的行向量組線性相關，則r(A)<n,由於矩陣行向量組的秩等於列向量組的秩，那麼它的列向量組也線性相關；
如果矩陣不是方陣，則上述結論不一定成立，比如一個4x3的矩陣，如果它的行向量組的秩為3，那麼行向量組線性相關，此時列向量組的秩也為3，但列向量組線性無關。

平面四邊形，知道四個節點的坐標，求一條邊的x，y方向的法向量，nx和ny，怎麼求？
先表示出一條直線的向量，再根據（法向量）點乘（向量）的點乘積為0，就可以求出來了。

怎樣通過點法向量方程式求法向量 ？請解釋為什麼d=(b,-a)是直線l（它的方程式是：ax+by+c=0）的一個方向向量。
首先，直線ax+by+c=0與直線ax+by=0平行。
在直線ax+by=0上取一點（b，-a），則向量（b，-a）與直線ax+by=0共線。
所以向量（b，-a）是直線ax+by=0的一個方向向量。
而直線ax+by+c=0與直線ax+by=0平行，
所以向量（b，-a）是直線ax+by+c=0的一個方向向量。

求法向量的一個簡單公式：
已知平面內兩條不平行的直線的方向向量分別為n1、n2，則該平面的法向量=n1×n2。

如何求立體幾何中的法向量？
首先對該立體圖形建立坐標系，如果能建，則可求面的法向量 ：
求面的法向量的方法是：
1、盡量在圖中找到垂直於面的向量 ；
2、如果找不到，那麼就設法向量n=（x,y,z），
然後因為法向量垂直於面，所以n垂直於面內兩相交直線，可列出兩個含有x、y、z的方程，兩個方程中有三個未知數，解不出一個唯一的解。但可以根據題目情況、計算方便，使z（或x或y）等於一個具體的數，就變成了兩個未知量兩個方程的方程組了，是可解方程組，解出唯一的解，就是設的那個法向量n(x,y,z)了.

⑵ 法向量的求法

法向量的求法：

在空間直角坐標系下

求出法向量所垂直的平面內兩條不平行的直線的方向向量

設為(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)

顯然平面的法向量(x,y,z)與兩直線方向向量垂直

即得xx1+yy1+zz1=0,xx2+yy2+zz2=0

將任一未知量取一特殊值，則另外兩個未知量可得

即可求出法向量

(2)自適應領域的法向量計算方法擴展閱讀

如果一個非零向量n與平面a垂直，則稱向量n為平面a的法向量。垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。每一個平面存在無數個法向量。

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

在空間直角坐標系中，分別取與x軸、y軸，z軸方向相同的3個單位向量i，j，k作為一組基底。若為該坐標系內的任意向量，以坐標原點O為起點作向量a。

由空間基本定理知，有且只有一組實數(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把實數對(x,y,z)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y,z)。這就是向量a的坐標表示。

⑶ 立體幾何怎麼求法向量

垂直於平面的向量是該平面的法向量，
平面ABD的一個法向量是向量AA'，∵向量AA'⊥向量AB，
向量AA'⊥向量AD，
所以AA'是平面ABD的一個法向量
，
然後就可以用空間向量的計算來解出方程，當然這是一般方法
因為向量AA'很明顯的垂直於下平面
，
所以可以直接說向量AA'是平面ABD的一個法向量。
設法向量需要根據情況，
如果有現成的垂直於一個平面的向量
，
那麼那個向量就是這個平面的法向量
，
如果需要自己找法向量，
需要兩條相交的向量，
平面的法向量是垂直於平面的向量
，
所以只需要垂直於相交的兩個向量就好
，
這就是一個代數式（如：ax+by=z），因為一個平面內的法向量有無數個
，
所以你隨便帶入一個x，
便有對應的一個y，
所以你需要隨便帶入一個數
，
求出空間中的一個法向量用於你的計算。
我說的夠明白吧
，
如果沒聽懂的話
，
說明你的基礎不太好，，。

⑷ 法向量相乘的計算步驟是什麼

梯度是向量,梯度若與法向量點乘則為一個函數(或常數),叉乘則仍為一個向量

⑸ 怎樣求曲面上一點的法向量

求曲面上一點的法向量方法如下：

1、曲面由方程F（x，y，z）=0決定，相應的某一點M的法向量你只需要對應的求偏導數就可以了。

2、由於法向量所在的是一條直線，所以方向來講有兩個，如果沒有特別要求一般是可以隨便選擇的，如果是坐標的曲面積分什麼的，需要注意一下和xyz正方向之間的夾角，因為這關繫到面積投影的正負。

3、至於法向量的角度這個教材上有寫明的，就是對F分別求出x，y，z的偏導數之後，Fx『，Fy』，Fz『，利用各自的分量除以對應的長度就可以了啊。

4、比如說和x軸的角度cosα=Fx『/(Fx『^2+Fy』^2+Fz'^2)^1/2

其餘的類似。

法向量的主要應用如下：

1、求斜線與平面所成的角（一般只求出正弦值即可）：求出平面法向量和斜線的一邊，然後聯立方程組，可以得到角度的餘弦值，根據公式Sinα=|Cosα|。利用這個原理也可以證明線面平行；

2、求二面角：求出兩個平面的法向量所成的角，這個角與二面角相等或互補；

3、點到面的距離： 任一斜線(平面上一點與平面內的連線)在法向量方向的射影；如點B到平面α的距離d=|BD·n|/|n|(等式右邊全為向量，D為平面內任意一點，向量n為平面α的法向量)。利用這個原理也可以求異面直線的距離

法向量方法是高考數學可以採用的方法之一，它的優點在於思路簡單，容易操作。只要能夠建立出直角坐標系，都可以寫出最後答案。缺點在於同一般立體幾何方法相比，其計算量巨大，特別是在計算二面角的時候。

⑹ 偶然發現的求法向量的新方法 求理論證明

您發現的這個規則就是向量叉乘的法則啊。
對於兩個向量，有叉乘公式：(a,b,c)x(x,y,z)=(bz-cy,cx-az,ay-bx)
法則的證明簡潔而富有美感：根據叉乘的定義，axb=c中，c垂直於ab平面，大小為a和b的大小相乘再乘以ab夾角正弦，對吧？
那麼就有：(1,0,0)x(0,1,0)=(0,0,1)
把「1」的位置挪一挪又能推廣得到：(0,1,0)x(0,0,1)=(1,0,0) (0,0,1)x(1,0,0)=(0,1,0)
同樣地，由axb = -bxa，再加上(a+b)x(c+d)=(axc+axd+bxc+bxd)（就是分配率。向量內積和外積分配律證明從略。不過如果您需要的話，歡迎追問，我會幫您解答的。）就可以得到叉乘法則。
那既然axb=c中c垂直ab平面，所以c也就可以作ab平面的法向量了。這也是向量幾何里表示平面的方法：用一個法向量來代替。
你的觀察力不錯，能自己發現這個規律，贊一個！
如果還有不懂的話，歡迎追問！

⑺ 什麼叫法向量

法向量是空間解析幾何的一個概念，垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。由於空間內有無數個直線垂直於已知平面，而且每條直線可以存在不同的法向量；因此一個平面都存在無數個法向量，但是這些法向量之間相互平行。從理論上述，空間零向量是任何平面的法向量，但是由於零向量不能表示平面的信息。一般不選擇零向量為平面的法向量。
如果已知直線與平面垂直，可以取已知直線的兩點構成的向量作為法向量；如果不存在這樣的直線，可用設元法求一個平面的法向量；步驟如下：首先設平面的法向量m(x,y,z)，然後尋找平面內任意兩個不共線的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由於平面法向量垂直於平面內所有的向量，因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由於上面解法存在三個未知數兩個方程(不能通過增加新的向量和方程求解，因為其它方程和上述兩個方程是等價的)，無法得到唯一的法向量(因為法向量不是唯一的)。為了得到確定法向量，可採用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等於1的方法(單位法向量)，但是這步並不是必須的。因為確定法向量和不確定法向量的作用是一樣的。
法向量的主要應用如下：
1、求斜線與平面所成的角：求出平面法向量和斜線的夾角，這個角和斜線與平面所成的角互余。利用這個原理也可以證明線面平行；
2、求二面角：求出兩個平面的法向量所成的角，這個角與二面角相等或互補；
3、點到面的距離： 任一斜線(平面為一點與平面內的連線)在法向量方向的射影；如點B到平面α的距離d=|BD·n|/|n|(等式右邊全為向量，D為平面內任意一點，向量n為平面α的法向量)。利用這個原理也可以求異面直線的距離
法向量方法是高考數學可以採用的方法之一，他的優點在於思路簡單，容易操作。只要能夠建立出直角坐標系，都可以寫出最後答案。缺點在於同一般立體幾何方法相比，其計算量巨大，特別是在計算二面角的時候。
（一）直線 的方向向量和平面 的法向量分別為 ，則直線 和平面 所成的角 等於向量 所成的銳角（若所成的角為鈍角，則為其補角）的餘角，即 。
例題
(2003全國（理）18題) 如圖，直三稜柱中，底面是等腰直角三角形, ，側棱，分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，
（Ⅰ）求與平面所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（Ⅱ）求點到平面的距離。
（Ⅰ）解：以為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，
設，則， ， ，
， ， ，
∴ , ，
∴ ， ，
由 得， ，
∴ ， ， ，設平面的法向量為 ，則 ， ，由， 得，
，令 得， ，
∴平面 的一個法向量為 ，
∴ 與的夾角的餘弦值是 ，
∴ 與平面所成角為 。
當直線與平面平行時，直線與平面所成的角為，此時直線的方向向量與平面的法向量垂直，我們可利用這一特徵來證明直線與平面平行。
（二）如果不在平面內一條直線與平面的一個法向量垂直，那麼這條直線和這個平面平行。
例題
（2004年高考湖南（理）19題）如圖，在底面是菱形的四棱錐中， , ，，點在上，且 ，
（I）證明： ；
（II）求以為棱， 與為面的二面角的大小；
（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使？證明你的結論。
（Ⅲ）解：以為坐標原點，直線分別為軸、軸，過點垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標系（如圖），由題設條件，相關各點的坐標分別為， ，
∴ ， ，
設平面的法向量為，則由題意可知， ，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一個法向量為
設點是棱上的點，，則
，
由 得，
∴ ， ∴當是棱的中點時， 。
同樣，當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角為，此時直線的方向向量與平面的法向量平行，我們可利用這一特徵來證明直線與平面垂直。
（三）設二面角的兩個半平面和的法向量分別為，設二面角的大小為，則二面角的平面角與兩法向量所成的角相等或互補，當二面角的銳角時， ；當二面角為鈍角時， 。
例題
2004年高考湖南（理）19題：
（Ⅱ）解：由題意可知， , ,
∵ ∴ 為平面的一個法向量，
設平面的法向量為 ，則由題意可知， ,
由 得，
∴ 令 得， ，
∴平面的一個法向量為，
∴向量與夾角的餘弦值是 ， ∴ ，
由題意可知，以為棱，與為面的二面角是銳角，
∴所求二面角的大小為 。
我們知道當兩個平面的法向量互相垂直時，兩個平面所成的二面角為直角，此時兩個平面垂直，我們可用這一特徵來證明兩個平面垂直。
（四）設兩個平面和的法向量分別為，若，則這兩個平面垂直。
例題
（1996年全國（文）23題）在正三稜柱中， ， 分別是上的點，且 ，求證：平面平面 。
證明：以為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，
則 ， ， ，， ，
∴ ， ，
設平面的法向量為 ，則由題意可知，，
由 得，
∴ 令得， ，
∴平面的一個法向量為 ，
由題意可知，平面的一個法向量為
∴ ∴平面平面
（五）設平面的法向量為，是平面外一點， 是平面內一點，則點到平面的距離等於在法向量上的投影的絕對值，即 。
我們再來看2003年全國（理）18題：
（Ⅱ）解：設 ，則 ， ， ， ，
∴ ， ，
設平面 的法向量為 ，則 ， ，
由 ， 得，
，令 得， ，
∴平面的一個法向量為 ，而 ，
∴點 到平面的距離 。
我們知道直線與平面、兩個平面的距離都歸結為點到平面的距離，故此法同樣可以解決直線與平面、兩個平行平面的距離。
（六）設向量與兩異面直線都垂直（我們也把向量稱為兩異面直線的法向量），分別為異面直線上的點，則兩異面直線的距離等於法向量上的投影的絕對值，即。
例題
（1999年全國（理）21題）如圖，已知正四稜柱中，點在棱上，截面 ，且面與底面所成的角為 ，，求異面直線與之間的距離。
解：以為坐標原點，建立如圖所示的坐標系 ，
連結交於 ，連結 ，則就是
面 與底面所成的角的平面角，
∴= ，∴
又∵截面 ，為的中點，
∴ 為的中點，∴ ，
則 ， ， ，，
∴ ， ，
設向量 與兩異面直線都垂直，由 ，得，
∴ ，∴ ，
∴異面直線與之間的距離
前面介紹了利用法向量解決空間幾何的證明與計算問題，實現了幾何問題的代數化，將復雜的幾何證明轉化為代數運算，從而避免了幾何作圖，減少了邏輯推理，降低了難度。但公式的應用也有一定的局限性，一般地，在能建立空間直角坐標系的情況下，利用法向量較為有效。

⑻ 法向量的計算方法

平面法向量的具體步驟：（待定系數法）

1、建立恰當的直角坐標系

2、設平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根據法向量的定義建立方程組：

①n·a=0；

②n·b=0。

5、解方程組，取其中一組解即可。

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。

例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

(8)自適應領域的法向量計算方法擴展閱讀：

法向量的主要應用如下：

1、求斜線與平面所成的角：求出平面法向量和斜線的夾角,這個角和斜線與平面所成的角互余.利用這個原理也可以證明線面平行；

2、求二面角：求出兩個平面的法向量所成的角,這個角與二面角相等或互補；

3、點到面的距離： 任一斜線(平面為一點與平面內的連線)在法向量方向的射影；

如點B到平面α的距離d=|BD·n|/|n|（等式右邊全為向量,D為平面內任意一點,向量n為平面α的法向量）。

利用這個原理也可以求異面直線的距離。

⑼ 平面的法向量怎麼求

平面法向量的具體步驟：（待定系數法）

1、建立恰當的直角坐標系

2、設平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根據法向量的定義建立方程組①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程組，取其中一組解即可。

例如已知三個點求那個平面的法向量：

設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)是已知平面上的3個點

A,B,C可以形成3個向量,向量AB,向量AC和向量BC

則AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2)

設平面的法向量坐標是（x,y,z）

有(x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0 且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0 且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0

可以解得x,y,z。

(9)自適應領域的法向量計算方法擴展閱讀

三維平面的法線是垂直於該平面的三維向量。曲面在某點P處的法線為垂直於該點切平面（tangent plane）的向量。

法線是與多邊形（polygon）的曲面垂直的理論線，一個平面（plane）存在無限個法向量（normal vector）。在電腦圖學（computer graphics）的領域里，法線決定著曲面與光源（light source）的濃淡處理（Flat Shading），對於每個點光源位置，其亮度取決於曲面法線的方向。

如果一個非零向量n與平面a垂直，則稱向量n為平面a的法向量。

垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。每一個平面存在無數個法向量。

⑽ 如何計算平面的法向量

在平面內找兩個不共線的向量，待求的法向量與這兩個向量各做數量積為零就可以確定出法向量了，為方便運算，提取公因數，若其中含有未知量x，為x代值即可得到一個最簡單的法向量。

如已知向量a和b為平面ɑ內不共線的兩個非零向量，且a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，設n為平面ɑ的一個法向量，n=(x，y，z)，根據方程組，可得到法向量n中x，y，z的關系式，從而求出平面ɑ的一個法向量。

(10)自適應領域的法向量計算方法擴展閱讀：

數學答題注意事項：

1、巧解選擇，填空題，解選擇，填空題的基本原則是小題不可大做。

2、直接從題干出發考慮，探求結果，從題乾和選擇聯合考慮，從選擇出發探求滿足題乾的條件。

3、規范答題很重要，找到解題方法後書寫要簡明扼要，快速規范，不拖泥帶水，高考評分是按步給分，關鍵步驟不能丟，但允許合理省略非關鍵步驟。

4、答題時盡量使用數學符號，這比文字敘述要節省時間且嚴謹。即使過程比較簡單，也要簡要地寫出基本步驟，否則會被扣分。