重積分的計算方法極點在區域外部

『壹』 極坐標下的二重積分 如何確定范圍

確定θ的范圍的方法：看這個區域所在的象限范圍，解兩曲線的交點坐標(x，y)後，角度θ=arctan(y/x)，就可得到θ的范圍。極坐標θ的變化都是從原點位置開始掃起的。注意角度必須是弧度制。

一般分3種情況：

1、原點（極點）在積分區域的內部，角度范圍從0到2π；

2、原點（極點）在積分區域的邊界，角度范圍從區域的邊界，按逆時針方向掃過去，到另一條止；

3、原點（極點）在積分區域之外，角度范圍從區域的靠極軸的邊界，按逆時針方向掃過去，到另一條止。

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利用極坐標計算二重積分中，除了確定θ的范圍外，還要確定r的范圍。

r的范圍確定方法：可以畫一個從原點指向出來的箭頭，先穿越的曲線就是下限，後穿越的曲線就是上線。即得到了r的范圍。

有許多二重積分僅僅依靠直角坐標下化為累次積分的方法難以達到簡化和求解的目的。當積分區域為圓域，環域，扇域等時採用極坐標會更方便。

在直角坐標系xOy中，取原點為極坐標的極點，取正x軸為極軸，則點P的直角坐標系（x，y）與極坐標軸（r，θ）之間有關系式：x=rcosθ，y=rsinθ。

『貳』 該二重積分公式中圈出的部分如何計算

1由極點向外做一條射線,此射線交於兩個點,這兩個點所在的函數就是r的范圍~
2還有一種情況就是,極點在區域內,那麼交點就只有一個,所以就是那個點的函數到極點（也就是0的意思,下線為0）的距離~

『叄』 二重積分 極坐標 角度的范圍怎麼定在線等！

極坐標，θ的變化都是從原點位置開始掃起的

圓心(1，1)，半徑√2

圓心到原點所在的直線是y=x，於是該圓在原點的切線為y=-x

畫圖觀看這切線與圓的變化，便知道θ由-π/4變化到3π/4

所以θ∈[-π/4，3π/4]

這個圓不是關於原點對稱的，所以不能用1/4圓來算

『肆』 一道二重積分計算題 能用極坐標求嗎 麻煩能給出詳細點的步驟嗎 謝謝

1由極點向外做一條射線，此射線交於兩個點，這兩個點所在的函數就是r的范圍~2還有一種情況就是，極點在區域內，那麼交點就只有一個，所以就是那個點的函數到極點(也就是0的意思，下線為0)的距離~ 希望對你有幫助。 記得採納我哦~謝謝，哈哈

『伍』 二重積分：極點在積分區域邊界，r的下限卻可以不為0

解：以直角坐標系的原點為極點，建立極坐標系。
設x=rcosθ，y=rsinθ。由題設條件，0≤r≤1/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]^(1/2)，0≤θ≤2π。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,1/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]^(1/2))rdr。利用被積函數的對稱性，∴原式=2∫(0,π/2)dθ/[(cosθ)^2+4(sinθ)^2]=2∫(0,π/2)d(tanθ)/[1+(2tanθ)^2]=arctan(2tanθ)|(θ=0,π/2)=π/2。供參考。

『陸』 極坐標求二重積分r范圍怎麼確定

由極點向外做一條射線，此射線交於兩個點，這兩個點所在的函數就是r的范圍。

解：

∵d區域是以(0,1)為圓心、半徑為1的圓，且經過原點(0,0)

∴以原點為極點建立極坐標，可以方便處理。

設x=rcosθ，y=rsinθ，代入題設條件，有0≤θ≤π，0≤r^2≤2rsinθ。

∴d={(r，θ)丨0≤r≤2sinθ，0≤θ≤π}。

意義

當被積函數大於零時，二重積分是柱體的體積。

當被積函數小於零時，二重積分是柱體體積負值。

在空間直角坐標系中，二重積分是各部分區域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函數f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。

以上內容參考：網路-二重積分

『柒』 二重積分的計算區域為圓環時怎麼算

對於積分區域為圓或者圓環，我們都可以用極坐標求解，二者的區別在於積分上下限的不同，如果積分區域是圓的話，r的下限為0，如果積分區域為圓環的話，r的下限就是小的圓。
比如，積分區域是1<=x^2+y^2<=4，那麼，r的范圍就是1到2。
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二重積分的計算方法：
1、二重積分的性質
（1）被積函數的常數因子可以提到二重積分的外面。
（2）函數和（或差）的二重積分等於各個函數二重積分的和（或差）。
（3）如果在D上，f(x,y)=A，A是常數，則σ為D的面積。
（4）如果閉區域D被有線條曲線分為有限個部分閉區域，則在D上的二重積分等於在各部分區域上的二重積分的和，例如D被分為兩個閉區域D1和D2。
（5）如果在D上，則有不等式
。
（6）設M、m分別是f(x,y)在閉區域D上的最大值和最小值，σ是D的面積。
（7）二重積分中值定理：設函數f(x,y)在區域D上連續，σ是D的面積，則在D上至少存在一點，使得下式成立：
2、在直角坐標系下計算二重積分
對於區域D，其實只要圍著它積分就好了，很容易，不用死記X型和Y型。
3、對稱性：（挺重要的一個概念）
設函數f(x,y)是平面區域D上的二元函數，又
（1）如果區域D關於x軸對稱，且對任意 ，稱f(x,y)在D上關於y偶函數（或奇函數），此時整個區域積分等於 （奇函數時為0），其中D1是D在上半平面部分。
（2）如果區域D關於y軸對稱，且對任意 ，稱f(x,y)在D上關於x偶函數（或奇函數），此時整個區域積分等於 （奇函數時為0），其中D2是D在右半平面部分。
（3）如果區域D關於原點對稱，且對任意 ，稱f(x,y)在D上同時關於x和y為偶函數（奇函數）。此時整個區域積分等於 （奇函數時為0），其中D3是D在上半平面部分。
4、極坐標系下計算二重積分
（1）極坐標和直角坐標之間的關系：x=rcos
θ；y=rsin
θ。
（2）二重積分當變數從直角坐標變到極坐標時，計算公式：
（3）極點位置的三個情況：
①當極點在積分區域D的外部，如果D={ }、如果函數 在區域[α，β]上連續，則積分
②當極點在積分區域D的內部，如果D={ }、如果函數φ(θ)在區域[0，2π]上連續，則積分
③當極點在積分區域D的邊界上，如果D={ }、如果函數φ(θ)在區域[α，β]上連續，則積分。
（理解：裡面積分的，其實就是把某個角度的線段積分起來（所以是從最靠近極點的函數積到原離極點的函數），外面的就是把角度積起來）
5、二重積分的換元法：
設函數f(x,y)在xOy平面上的有界閉區域D上連續，變換T： ，將uOv上的平面上的閉區域D'變為xOy平面上的閉區域D，且滿足。
（1）在D'上具有一階連續偏導數
（2）在D'上雅克比行列式：
（3）變換T：D'→D是一一對應的。