量綱分析實驗研究方法步驟

㈠ 指導注水開發縫洞單元物理模擬的相似准則的建立

李愛芬 張 東

（中國石油大學（華東）石油工程學院，山東青島 266555）

摘 要：建立合理的相似准則對注水開發縫洞單元的物理模擬研究具有重要的指導意義。本文分別通過 方程分析法與量綱分析法推導並得到了用於指導注水開發縫洞單元物理模擬的相似准則群，進一步驗證了相 似准則群的正確性，通過對上述相似准則群進行篩選、組合，最終得到六個能夠反映縫洞單元注水開發主要 特徵的相似准則。研究發現，方程分析法得到的相似准則群可以用量綱分析法得到的相似准則群進行表示，最終得到六個相似准則的物理意義依次為采出程度，壓力與重力之比，雷諾數，多條裂縫下的立方定律，縫 洞比，注水量與採油量之比。

關鍵字：相似准則；縫洞單元；注水開發；方程分析法；量綱分析法

Establishment of Similarity Criteria as Guide for Physical Simulation of Water Flooding in Fractured-vuggy Unit

Li Aifen，Zhang Dong

（School of Petroleum Engineering，China University of Petroleum（East China），Qing 266555 ，Shandong，China）

Abstract：It is of important directive significance to establish the proper similarity criteria for physical simulation of water flooding in fractured-vuggy unit.In this paper，the similarity criteria guiding physical simulation of water flooding in fractured-vuggy unit has been gotten by equation analysis method and dimension analysis method respectively.The validity of the similarity criteria has been proved.By selecting and combining above similarity criteria，six similarity criteria reflecting the major characteristics of water flooding in fractured-vuggy unit have been gotten.The results are as follows.Similarity criteria derived by equation analysis method could be expressed by criteria derived by dimension analysis method.The six similarity criteria are recovery percent of reserve，the ratio of pressure and gravity，Reynolds number，cubic law in the condition of multiple fractures，the ratio of fracture number and vug number，and the ratio of injection volume and oil proction.

Key words：similarity criteria；fractured-vuggy unit；water flooding；equation analysis method；dimension analysis method

引言

縫洞單元是縫洞型碳酸鹽岩油藏的基本開發單位^［1～3］，注水開發在縫洞型碳酸鹽岩油藏的開采過 程中取得了較好的效果^［4，5］，因此要合理高效地開發縫洞型碳酸鹽岩油藏，就必須先摸清縫洞單元的注 水開發規律。

物理模擬是研究縫洞單元開采規律的重要方法^［6～8］。物理模擬要滿足相似理論才能保證其自身的 科學性，可以認為，相似准則是開展物理模擬的依據。

目前，在進行注水開發縫洞單元物理模擬實驗時，很多學者未考慮相似准則^［9～13］，用於指導注水 開發縫洞單元物理模擬的相似准則也不多見。本文將分別用方程分析法和量綱分析法^{［14～16］}推導注水開 發縫洞單元物理模擬的相似准則群，在驗證相似准則群正確性的基礎上，通過整理與分析，篩選出用於 指導注水開發縫洞單元物理模擬的相似准則。

1 方程分析法推導相似准則群

1.1 基本假設

方程分析法推導相似准則，首先要建立描述模擬對象的數學模型。在建立數學模型前，做基本假設 如下。

（1）油藏中存在油水兩相流動，由於塔河縫洞型油藏的原油屬於低飽和壓力原油，忽略油藏中溶 解氣的存在；

（2）縫洞型油藏中，大尺度裂縫是主要的流動通道，因此忽略毛細管力的影響^［17］；

（3）假設在注水開發過程中，注采平衡；

（4）暫不考慮溶洞、裂縫中的充填情況。

1.2 數學模型

數學模型包括連續性方程^［18］、運動方程、飽和度方程、輔助方程、定解條件和初始條件。

（1）連續性方程

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（2）運動方程

當（x，y，z）∈裂縫時，流體流動可以用達西定律形式進行描述，

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其中，達西定律中的絕對滲透率可以用修正的立方定律［19］進行計算。

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當(x，y , z) ∈ 溶洞時，流體流功可以用N -S 方程[ 20］A行描述，

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其中，▽² U_x,▽²u_y▽²U_z為拉普拉斯運算元。

將式（7）中三個式子分別乘以dx、dy、dz，再相加，考慮油水兩相得：

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(3) 飽和度方程

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(4) A助方程

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采出量:

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注人量:

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1.3 歸一化處理

為了便於推導，採用歸一化的飽和度和歸一化的相對滲透率，重新寫出上述有關方程。

（1）無因次項的歸一化

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（2）方程的修正

將式（14）、（15）代入連續性方程得：

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將式(1 7 )、(1 8 )代人運動方程得:

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其中，k^*＝k_rowc或者k^*＝k_rwor。

飽和度方程：

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參數說明：ρ_o為油密度，g/cm³；ρ_w為油密度，g/cm³；u_o為油相速度，cm/s；u_w為水相速度，cm/s；u_ox為油相在x方向的速度，cm/s；u_wx為水相在x方向的速度，cm/s；u_oy為油相在y方向的速 度，cm/s；uwy為水相在y方向的速度，cm/s；u_oz為油相在z方向的速度，cm/s；u_wz為水相在z方向的 速度，cm/s；q_o為油相流入（流出）的質量流量，g/s；q_w為水相流入（流出）的質量流量，g/s；φ 為儲集體總孔隙度；φ_v為溶洞孔隙度；φ_f為裂縫孔隙度；S_o為油相飽和度；S_w為水相飽和度；△S為可 動流體飽和度；S_wc為束縛水飽和度；S_or為殘余油飽和度； 為歸一化的油相飽和度； 為歸一化的水 相飽和度；t為時間，s；K為絕對滲透率，μm²；k_ro為油相相對滲透率；k_rw為水相相對滲透率； 為 歸一化的油相相對滲透率； 為歸一化水相相對滲透率；k_rowc為束縛水飽和度下的油相相對滲透率，常 量；k_rwor為殘余油飽和度下的水相相對滲透率，常量；μ_o為油相粘度，mPa·s；μ_w為水相粘度，mPa·s；p_o為油相壓力，10^-1MPa；p_w為水相壓力，10^-1MPa；g為重力加速度，m/s²；n為端面裂縫 數量；H為端面高度，m；b為裂縫張開度，μ_m；δ為立方定律修正系數；e為壁面粗糙度，μ_m；L′為 油藏長度，km；W為油藏寬度，km；H為油藏高度，km；n_f為裂縫密度，1/m；n_v為溶洞密度，1/m³；V_v為溶洞平均體積，m³ ；l_w為裂縫與流體的接觸面積（裂縫長乘以裂縫寬），m²；D為井眼半 徑 m；i為注水量，m³/d。

1.4 相似准則的建立

下面以式（19）的油相方程為例，介紹相似准則的推導方法。

將式（19）第一項除以第五項得： （假設速度uo沿L方向）；

將式（19）第一項除以第四項得： ；

將式（19）第四項除以第五項得： ；式（19）第一、二、三項因次相同，不再做 處理；

這樣推導出3個准則，將其他方程按照這種方法進行處理，最終得到一系列相似准則。此外，無因 次參數本身就屬於相似准則，比如： △S、φ_v、φ_f。

把推導出來的相似准則進行組合處理，比如：

由 得：

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最終通過方程分析法得到的相似准則群如下：

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描述縫洞單元中油水兩相的流動需要以下33個物理量：

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這些變數包括3個基本量綱p、L、t，由相似理論π定理^［7］，應有33-3 ＝30個相似准則數，說明 在方程分析法推導過程中漏掉了4個相似准則數。可以通過量綱分析方法補充漏掉的相似准則。

2 量綱分析法推導相似准則

基本量綱包括壓力ρ，長度L，時間t。選定包括三個基本量綱的變數ρ，u，L作為基本參數群。縫 洞單元內兩相流動模擬涉及的物理量及其量綱如下表1所示。

對於時間t，選取ρ_o、u_o、L作為基本參數。

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令各基本量綱的指數為零，得齊次方程組，解得a＝0，b＝1，c＝-1，這樣就找到了第一個相似 准則：

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用同樣的方法，可以得到每個有因次變數對應的相似准則。

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存在以下因次相同的物理量組合的相似准則：

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其它無因次參數，本身就是相似准則：

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通過量綱分析法得到了30個相似准則，經過對比分析發現，用方程分析法推導得到的相似准則缺 少四個相似准則： 。這樣就補齊了方程分析法推導得到的相似准則。

3 兩套相似准則的相互驗證

上面用兩種方法推導了用於指導縫洞單元內兩相流體流動模擬的相似准則。方程分析法得到的相似 准則有比較明確的物理意義，但這種方法推導的相似准則往往不夠全面。量綱分析法得到的相似准則一 般不會被遺漏，但這種方法是通過將各物理量與基本參數進行組合，使其因次強制為0而得到相似准則 的，因此其得到的相似准則往往缺乏物理含義。用兩種方法分別推導相似准則，取各種方法的長處，可 以得到全面而准確的相似准則。

3.1 驗證方法

既然同樣是指導縫洞單元內兩相流體流動模擬的相似准則，那麼兩套准則應該完全一致。如果其中 一套相似准則群中的每個相似准則都能由另一套相似准則組合表示，則可以認為兩套相似准則完全 一致。

下面採用量綱分析法推導的相似准則去驗證方程分析法推導得到的相似准則。

表1 縫洞單元內兩相流動模擬涉及的物理量及其量綱

續表

3.2 驗證過程

首先列舉兩種方法得到相似准則群，為了區別兩套相似准則，將量綱分析法得到相似准則加上標（如 ）。

方程分析法得到的相似准則群：

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量綱分析法得到的相似准則群：

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通過推導發現：

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這A套相似准A完全一致，世明上述A種方法得到的相似准A是正確的。

4 物理模擬相似准則的確定

縫洞型碳酸鹽岩油藏儲層結構復雜，非均質性嚴重，其物理模擬實驗與礦場實際無法做到完全相 似。在研究過程中，應該抓住事物的主要特徵。根據幾何相似、動力相似、運動相似的要求，對上述相 似准則群進行篩選、整理、分析，最終得到六個能夠反映縫洞單元注水開發主要特徵的相似准則，見 表2。

表2 物理模擬的主要相似准則

續表

5 結論

本文推導並得到了用於指導注水開發縫洞單元物理模擬的相似准則，得到結論如下：

（1）通過方程分析法得到的相似准則群可以用通過量綱分析法得到的相似准則群來表示，驗證了 上述兩個相似准則群的正確性。

（2）最終得到了六個能夠反映注水開發A洞單元主要特徵的相似准A:

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參考文獻

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㈡ 量綱分析有什麼實際意義（用途）。感覺它好像也不是無所不能的

它是物理意義運算上的基礎

㈢ 建模的五種基本方法

量綱分析法

量綱分析是20世紀初提出的在物理領域中建立數學模型的一種方法，它是在經驗和實驗的基礎上，利用物理定律的量綱齊次性，確定各物理量之間的關系。它是一種數學分析方法，通過量綱分析，可以正確地分析各變數之間的關系，簡化實驗和便於成果整理。

在國際單位制中，有七個基本量：質量、長度、時間、電流、溫度、光強度和物質的量，它們的量綱分別為M、L、T、I、H、J和N，稱為基本量綱。

量綱分析法常常用於定性地研究某些關系和性質，利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系，在數學建模過程中常常進行無量綱化，無量綱化是根據量綱分析思想，恰當地選擇特徵尺度將有量綱量化為無量綱量，從而達到減少參數、簡化模型的效果。

差分法

差分法的數學思想是通過taylor級數展開等方法把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的方程組，將微分問題轉化為代數問題，是建立離散動態系統數學模型的有效方法。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有以下幾種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

差分法的解題步驟為：建立微分方程；構造差分格式；求解差分方程；精度分析和檢驗。

變分法

變分法是處理函數的函數的數學領域，即泛函問題，和處理數的函數的普通微積分相對。這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造，最終尋求的是極值函數。現實中很多現象可以表達為泛函極小問題，即變分問題。變分問題的求解方法通常有兩種：古典變分法和最優控制論。受基礎知識的制約，數學建模競賽大專組的建模方法使用變分法較少。

圖論法

數學建模中的圖論方法是一種獨特的方法，圖論建模是指對一些抽象事物進行抽象、化簡，並用圖來描述事物特徵及內在聯系的過程。圖論是研究由線連成的點集的理論。一個圖中的結點表示對象，兩點之間的連線表示兩對象之間具有某種特定關系(先後關系、勝負關系、傳遞關系和連接關系等)。事實上，任何一個包含了某種二元關系的系統都可以用圖形來模擬。因此，圖論是研究自然科學、工程技術、經濟問題、管理及其他社會問題的一個重要現代數學工具，更是成為了數學建模的一個必備工具。

㈣ 磁流體力學的5研究方法

研究方法等離子體的密度范圍很寬。對於極其稀簿的等離子體，粒子同的碰撞和集體效應可以忽略，可採用單粒子軌道理論研究等離子體在磁場中的運動。對於稠密等離子體，粒子間的碰撞起主要作用，研究這種等離子體在磁場中的運動有兩種方法，一是統計力學方法，即所謂等離子體動力論，它從微觀出發，把氣體當作正、負粒子和中性粒子的混含物，並考慮粒子之同的相互碰撞影響，用統計方法研究等離子體在磁場中的宏觀運動；—是連續介質力學方法即磁流體力學，把等離子體當作連續介質（見連續介質假設）來研究它在磁場中的運動。等離子體動力論對等離子體作最基本的描述，分析深刻，而磁流體力學則是它的一種宏觀近似，所以用等離子體動力論能判斷磁流體力學處理實際問題的有效性。此外，等離子體動力論還可用來計算磁流體力學中的一切輸運系數（如擴散、粘性、熱傳導和電阻系數等）並討論它們的物理機制。但這種方法的數學分析很困難，故在處理實際問瓶時，應用磁流體力學比較方便，而輸運系數則由實驗測定或用等離子體動力學分析計算。對無碰撞的等離子體，有時也可應用流體動力學方法，例如流體粒子的無規運動速度比宏觀速度小得多，即壓力和溫度可以忽略時，可用冷等離子體模型和方程處理等離子在電磁場中的運動。固態等離子體和冷等離子體的模型很近似。盡管可以應用上述較簡單的磁流體力學理論解決實際問題，但在稀薄氣體的某些場合下，只有動力論的描述才是恰當的。例如平衡等離子體中的電子等離子體振盪所受的阻尼（即朗道阻尼）問題，是不可能用磁流體力學模型描述的，必須用動力論方法才能解決。
磁流體力學是在非導電流體力學的基礎上研究導電流體中流場和磁場的相互作用的。進行這種研究必須對經典流體力學加以修正，以便得到磁流體力學基本方程組，包括考慮介質運動的電動力學方程組和考慮電磁場作用的流體力學方程組。電動力學方程組包含電導率、電容率、磁導率；流體力學方程組包含粘性系數、熱導率、氣體比熱等物理參量。它們有時是常數，有時是其他量的函數。磁流體力學基本方程組具有非線性且包含方程個數又多，所以求解困難。但在實際問題中往往不需要求最一般形式的方程組的解，而只需求某一特殊問題的方程組的解。一般應用量綱分析和相似律求得表徵一個物理問題的相似准數，並簡化方程，即可得到有實用價值的解。
磁流體力學基本方程組具有非線性且包含方程個數又多，造成求解困難。但在實際問題中往往不需要求最一般形式的方程組的解，而只需求某一特殊問題的方程組的解。因此，在利用磁流體力學基本方程組來解決種種實際問題時，可在實驗或觀測的基礎上，建立表徵研究對象主要實質的物理模型來簡化基本方程組。一般應用量綱分析和相似律求得表徵一個物理問題的相似准數，並簡化方程，從而得到有實用價值的解。磁流體力學相似准數有雷諾數、磁雷諾數、哈特曼數（見哈特曼流動）、馬赫赫、磁馬赫數、磁力數、相互作用數等。求解簡化後的方程組不外是分桁法和數值法。利用計算機技術和計算流體力學方法可以求解較復雜的問題。
磁流體力學的理論很難象普通流體力學理論那樣得到充分的驗證。由於在常溫下可供選擇的介質很少，同時需要很強的磁場才能觀察到磁流體力學現象，故不易進行模似。早期是用水銀進行實驗，但水銀在磁場中運動時只呈現出不可壓縮流體現象，而等離子體處於高溫狀態，現象復雜，帶來許多有待研究的診斷問題（見等離子體診斷）。模擬天體大尺度的磁流體力學問厘更不易在實驗室中實現。所以磁流體力學的理論有的可以得到定量驗證，有的只能得到定性或間接的驗證。當前有關磁流體力學的實驗是在各種等離子體發生器和受控熱核反應裝置中進行的。