求值域的步驟及方法

『壹』 求值域的五種方法

求值域的五種方法：

1.直接法：從自變數的范圍出發，推出值域。

2.觀察法：對於一些比較簡單的函數，可以根據定義域與對應關系，直接得到函數的值域。

3.配方法：（或者說是最值法）求出最大值還有最小值，那麼值域就出來了。

例題：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】

先配方，得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

ymax=(2+1)^2+2=11

4.拆分法：對於形如y=cx+d，ax+b的分式函數，可以將其拆分成一個常數與一個分式，再易觀察出函數的值域。

5.單調性法：y≠ca.一些函數的單調性，很容易看出來。或者先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的值域。

6.數形結合法，其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。

7.判別式法：運用方程思想，根據二次方程有實根求值域。

8.換元法：適用於有根號的函數

例題：y=x-√（1-2x)

設√（1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2(t+1)^2+1

∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：圖像法，直接畫圖看值域

這是一個分段函數，你畫出圖後就可以一眼看出值域。

10：反函數法。求反函數的定義域，就是原函數的值域。

例題：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函數y=(2x-1)/(3x-3)

明顯定義域為x≠1

所以原函數的值域為y≠1

(1)求值域的步驟及方法擴展閱讀：

值域，在函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。如：f(x)=x，那麼f(x)的取值范圍就是函數f(x)的值域。

在實數分析中，函數的值域是實數，而在復數域中，值域是復數。

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本「元件」。平時數學中，實行「定義域優先」的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或淡化了，對值域問題的探究，造成了一手「硬」一手「軟」，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄彼，何況它們二者隨時處於互相轉化之中（典型的例子是互為反函數的定義域與值域的相互轉化）。如果函數的值域是無限集的話，那麼求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難。實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函數的理解，從而深化對函數本質的認識。

『貳』 函數求值域的步驟

求函數值域的幾種常見方法
1直接法：利用常見函數的值域來求
一次函數y=ax+b(a 0)的定義域為R，值域為R；
反比例函數 的定義域為{x|x≠0},值域為{y|y≠0}；
二次函數的定義域為R
當a>0時，值域為{y|y≥(4ac-b??)/4a}；
當a<0時，值域為{y|y≤(4ac-b??)/4a}
例1．求下列函數的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]
②y=x??-2x+3∵1>0∴(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1即函數的值域是{y|y≥2}2．
二次函數在定區間上的值域(最值)：
①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6]因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次項系數1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函數
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5]因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次項系數1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是減函數，在x∈(3,5]是增函數
所以f(x)min=f(3)=3
而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12]
3觀察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域
∵-x??-6x-5≥0可知函數的定義域是[-5,-1]
∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因為-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0
終於得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2
所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]
5.圖像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
解：因為y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5)自己畫圖像由圖可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)
6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域
解y=3^x/（1+3^x）兩邊同乘以1+3^x
所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)
因為3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0<y<1值域為（0，1）
7判別式法求y=1/(2x??-3x+1)
解 ∵2x??-3x+1≠0∴函數的定義域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}
將函數變形可得2yx??-3yx+y-1=0當y≠0時,上述關於x的二次方程有實數解Δ=9y??-8y(y-1)≥0
所以y≤-8或y≥0當y=0時，方程無解，身體y=0不是原函數的值
所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)
8換元法求y=2x－√（x-1)的值域
解令t=√（x-1)顯然t≥0以x=t??+1
所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8
因為t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞)
值域三角函數法、基本不等式法、導數法分別是高一下冊，高二上冊，高三的內容，在這里就不例舉了

『叄』 求值域的4個步驟

（1）確定函數的定義域；

（2）分析解析式的特點；

（3）將端點值與極值比較，求出最大值與最小值；

（4）計算出函數的值域。

八、函數單調性法
先確定函數在其定義域（或定義域的某個子集上）的單調性，再求出函數值域的方法。考慮這一方法的是某些由指數形式的函數或對數形式的函數構成的一些簡單的初等函數，可直接利用指數或對數的單調性求得答案；還有一些形如，看a,d是否同號，若同號用單調性求值域，若異號則用換元法求值域；還有的在利用重要不等式求值域失敗的情況下，可採用單調性求值域。

九、數形結合法
其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式、直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。

十、導數法
利用導數求閉區間上函數的值域的一般步驟：(1)求導，令導數為0；(2)確定極值點，求極值；(3)比較端點與極值的大小，確定最大值與最小值即可確定值域。

總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮函數單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。

『肆』 值域的求解方法

1、圖像法

根據函數圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。

2、配方法

利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。

3、單調性法

利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。

4、反函數法

若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。

(4)求值域的步驟及方法擴展閱讀

函數經典定義中，因變數的取值范圍叫做這個函數的值域,在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}

常見函數值域：

y=kx+b （k≠0）的值域為R

y=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域為x≥0

y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ；

當a<0時，值域為（-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域為 (0,+∞)

y=lgx的值域為R

『伍』 函數的值域怎麼算

求函數的值域的常用方法如下：

1、圖像法：根據函數圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。

2、配方法：利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。

3、單調性法：利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。

7、不等式法：利用a+b≥2√ab（其中a，b∈R+）求函數值域時，要圓野畝時刻注意不等式成立的條件，即「一正，二定，三相等」。

8、折疊三角代換法：利用基本的三角關系式，進行簡化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求證：ac+bd小於或等於1。直接計算麻煩，用三角代換法比較簡單。做法：設a=sinx ，b=cosx，c=siny ，d=cosy，則ac+bd=sinx*siny+cosx*cosy =cos（y-x），因為我們知道cos（y-x）小於等於1，所以不等式成立。

『陸』 值域怎麼求 要過程 計算值域的過程是什麼

1、值域的求法有9種，過程是不同的。

2、配方法。過程：將函數配方成頂點式的格式，再根據函數的定義域，求得函數的值域。畫一個簡易的圖能更便捷直觀的求出值域。

3、常數分離。過程：這一般是對於分數形式的函數來說的，將分子上的函數盡量配成與分母相同的形式，進行常數分離，求得值域。

4、逆求法。過程：對於y=某x的形式，可用逆求法，表示為x=某y，此時可看y的限制范圍，就是原式的值域了。

5、換元法。過程：對於函數的某一部分，較復雜或生疏，可用換元法，將磨銷函數轉變成我們熟悉的形式，從而求解。

6、單調性。過程：可先求出函數的單調性（注意先求定義域），根據單調性在定義域上求出函數的值域。

7、基本不等式。過程：根據學過的基本不等式，可將函數轉換成可運用基本不等式的形式，以此來求值域。

8、數形結合。過程：可根據函數給出的式子，畫出函數的圖形，在圖形上找出對應點求出值域

9、求導法瞎液游。過程：求出函數的埋並導數，觀察函數的定義域，將端點值與極值比較，求出最大值與最小值，就可的到值域了。

10、判別式法。過程：將函數轉變成 ****=0 的形式，再用解方程的方法求出要滿足的條件，求解即可。

『柒』 函數的值域怎麼求

其沒有固定的方法和模式。但常用方法有:
(1)直接法:從變數x的范圍出發,推出y=f(x)的取值范圍;
(2)配方法:配方法是求「二次函數類」值域的基本方法,形如f(x)=af^(x)+bf(x)+c的函數的值域問題,均可使用配方法
(3)反函數法:利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系,通過反函數的定義域,得到原函數的值域。形如y=cx+d/ax+b(a≠0)的函數均可使用反函數法。此外,這種類型的函數值域也可使用「分離常數法」求解。
(4)換元法:運用代數或三角代換,將所給函數化成值域容易確定的另一函數,從而求得原函數的值域。形如y=ax+b±根號cx+d(a、b、c、d均為常數,且a≠0)的函數常用此法求解。舉些例子吧!
(1)y=4-根號3+2x-x^
此題就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3.
∵y=4-根號-1(x-1)^+4,∴當x=1時,ymin=4-2=2.
當x=-1或3時空緩,ymax=4.
∴函數值域散擾為[2,4]
(2)y=2x+根號1-2x
此題用換元法:
令t=根號1-2x(t≥0),則x=1-t^/2
∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4,
∵當t=1/2即x=3/8時,ymax=5/4,無最小值.
∴函數值域為(-∞,5/4)
(3)y=1-x/2x+5
用分離常數法
∵y=-1/2+7/2/2x+5,
7/2/沖虧旦2x+5≠0,
∴y≠-1/2

『捌』 怎樣求函數的值域

求函數的值域首先必須明確兩點：一點是值域的概念，即對於定義域A上的函數y=f(x)其值域就是指集合C={y|y=f(x)，x∈A}，另一點是函數的定義域、對應法則是確定函數的依據。

求值域常用方法：

1、圖像法：

根據函數圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。

2、配方法：

利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。

3、單調性法：

利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。

4、反函數法：

若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。

5、換元法：

包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的范圍[2]。

6、判別式法：

判別式法即利用二次函數的判別式求值域。

7、復合函數法：

設復合函數為f[g(x)，]g(x) 為內層函數, 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然後把g(x) 看成一個整體，相當於f(x)的自變數x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然後根據 f(x)函數的性質求出其值域。

(8)求值域的步驟及方法擴展閱讀：

值域：數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x，那麼f(x)的取值范圍就是函數f(x)的值域。

常見函數值域：

y=kx+b （k≠0）的值域為R

y=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域為x≥0

y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ；

當a<0時，值域為（-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域為 (0,+∞)

y=lgx的值域為R

『玖』 高中函數的值域的8種求法教一下

函數值域的求法：
①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特徵來求值；常轉化為型如：
的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解，用
來表示
，再由
的取值范圍，通過解不等式，得出
的取值范圍；常用來解，型如：
；
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、餘弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如：
，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。
⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
常用方法有：
（1）直接法：從變數x的范圍出發，推出y=f（x）的取值范圍；
（2）配方法：配方法是求「二次函數類」值域的基本方法，形如F（x）=af^（x）+bf（x）+c的函數的值域問題，均可使用配方法
（3）反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過反函數的定義域，得到原函數的值域。形如y=cx+d/ax+b（a≠0）的函數均可使用反函數法。此外，這種類型的函數值域也可使用「分離常數法」求解。
（4）換元法：運用代數或三角代換，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。形如y=ax+b±根號cx+d（a、b、c、d均為常數，且a≠0）的函數常用此法求解。舉些例子吧！
（1）y=4-根號3+2x-x^
此題就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3.
∵y=4-根號-1(x-1)^+4,∴當x=1時,ymin=4-2=2.
當x=-1或3時,ymax=4.
∴函數值域為[2,4]
(2)y=2x+根號1-2x
此題用換元法:
令t=根號1-2x(t≥0),則x=1-t^/2
∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4,
∵當t=1/2即x=3/8時,ymax=5/4,無最小值.
∴函數值域為(-∞,5/4)
(3)y=1-x/2x+5
用分離常數法
∵y=-1/2+7/2/2x+5,
7/2/2x+5≠0,
∴y≠-1/2

『拾』 值域怎麼求

函數經典定義中，因變數的取值范圍叫做這個函數的值域,在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法好神則下對應的所有的象所組成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}

常見函數值域:

y=kx+b (k≠0)的值域為R

y=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域為x≥0

y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ;

當a<0時，值域為(-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域為 (0,+∞)

y=lgx的值域為R

(10)求值域的步驟及方法擴展閱讀

在解決問題的過程中，數學家往往不是直接解決原問題，而是對問題進行變形、轉化，直至把它化歸為某個(些)已經解決的問題，或容易解決的問題。

把所要解決的問題，經過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*求解，把的解得結果作用於原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法;

解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依高穗據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標准型問題標准化、復雜問題簡單化，變得容易處理。 換元法又稱輔助元素法、變數代換法。

通過引進新的變數，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟友念虧悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y²+3y+2-12=y²+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x²+x+5)(x²+x-2) =(x²+x+5)(x+2)(x-1). 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可寫為 m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6 注意:換元後勿忘還原。

利用函數和他的反函數定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域;