各種方法求函數值域的步驟

1. 函數求值域的17種方法

一.觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2-3x)的值域。
二.反函數法
當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
三.配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。
四.判別式法
若可化為關於某變數的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
五.最值法
對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
六.圖象法
通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。
例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函數，作出其圖象。
七.單調法
利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。
例7求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
八.換元法
以新變數代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變數為自變數的函數形式，進而求出值域。
例8求函數y=x-3+√2x+1的值域。
九.構造法
根據函數的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。
例9求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。
十.比例法
對於一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。
例10已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。
十一.利用多項式的除法
例11求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。
十二.不等式法
例12求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

2. 求函數值域的常用方法

求函數值域的常用方法有：化歸法、復合函數法、判別式法、圖像法、分離常數法、反函數法、換元法、不等式法、單調性法。在函數中，因變數的帆仿彎變化而變化的取值范圍叫做這個函數的值域。

求值域的方法

化歸法： 把所要解決的問題，大友經過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結果作用於原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法。

圖像法：根據函數圖像，觀察最高點和最低點的縱坐標。

配方法：利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。

單調性法：利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。

反態悶函數法：若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。

換元法：包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的范圍。

3. 怎樣求函數的值域

求函數的值域首先必須明確兩點：一點是值域的概念，即對於定義域A上的函數y=f(x)其值域就是指集合C={y|y=f(x)，x∈A}，另一點是函數的定義域、對應法則是確定函數的依據。

求值域常用方法：

1、圖像法：

根據函數圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。

2、配方法：

利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。

3、單調性法：

利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。

4、反函數法：

若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。

5、換元法：

包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的范圍[2]。

6、判別式法：

判別式法即利用二次函數的判別式求值域。

7、復合函數法：

設復合函數為f[g(x)，]g(x) 為內層函數, 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然後把g(x) 看成一個整體，相當於f(x)的自變數x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然後根據 f(x)函數的性質求出其值域。

(3)各種方法求函數值域的步驟擴展閱讀：

值域：數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x，那麼f(x)的取值范圍就是函數f(x)的值域。

常見函數值域：

y=kx+b （k≠0）的值域為R

y=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)

y=√x的值域為x≥0

y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ；

當a<0時，值域為（-∞，4ac-b^2/4a]

y=a^x 的值域為 (0,+∞)

y=lgx的值域為R

4. 高中函數的值域的8種求法教一下

函數值域的求法：
①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特徵來求值；常轉化為型如：
的形式；
②逆求法（反求法）：通過反解，用
來表示
，再由
的取值范圍，通過解不等式，得出
的取值范圍；常用來解，型如：
；
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、餘弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如：
，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。
⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
常用方法有：
（1）直接法：從變數x的范圍出發，推出y=f（x）的取值范圍；
（2）配方法：配方法是求「二次函數類」值域的基本方法，形如F（x）=af^（x）+bf（x）+c的函數的值域問題，均可使用配方法
（3）反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過反函數的定義域，得到原函數的值域。形如y=cx+d/ax+b（a≠0）的函數均可使用反函數法。此外，這種類型的函數值域也可使用「分離常數法」求解。
（4）換元法：運用代數或三角代換，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。形如y=ax+b±根號cx+d（a、b、c、d均為常數，且a≠0）的函數常用此法求解。舉些例子吧！
（1）y=4-根號3+2x-x^
此題就得用配方法:由3+2x-x^≥0,得-1≤x≤3.
∵y=4-根號-1(x-1)^+4,∴當x=1時,ymin=4-2=2.
當x=-1或3時,ymax=4.
∴函數值域為[2,4]
(2)y=2x+根號1-2x
此題用換元法:
令t=根號1-2x(t≥0),則x=1-t^/2
∵y=-t^+t+1=-(t-1/2)^+5/4,
∵當t=1/2即x=3/8時,ymax=5/4,無最小值.
∴函數值域為(-∞,5/4)
(3)y=1-x/2x+5
用分離常數法
∵y=-1/2+7/2/2x+5,
7/2/2x+5≠0,
∴y≠-1/2

5. 求值域的五種方法

求值域的五種方法：

1.直接法：從自變數的范圍出發，推出值域。

2.觀察法：對於一些比較簡單的函數，可以根據定義域與對應關系，直接得到函數的值域。

3.配方法：（或者說是最值法）求出最大值還有最小值，那麼值域就出來了。

例題：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】

先配方，得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

ymax=(2+1)^2+2=11

4.拆分法：對於形如y=cx+d，ax+b的分式函數，可以將其拆分成一個常數與一個分式，再易觀察出函數的值域。

5.單調性法：y≠ca.一些函數的單調性，很容易看出來。或者先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的值域。

6.數形結合法，其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。

7.判別式法：運用方程思想，根據二次方程有實根求值域。

8.換元法：適用於有根號的函數

例題：y=x-√（1-2x)

設√（1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2(t+1)^2+1

∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：圖像法，直接畫圖看值域

這是一個分段函數，你畫出圖後就可以一眼看出值域。

10：反函數法。求反函數的定義域，就是原函數的值域。

例題：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函數y=(2x-1)/(3x-3)

明顯定義域為x≠1

所以原函數的值域為y≠1

(5)各種方法求函數值域的步驟擴展閱讀：

值域，在函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。如：f(x)=x，那麼f(x)的取值范圍就是函數f(x)的值域。

在實數分析中，函數的值域是實數，而在復數域中，值域是復數。

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本「元件」。平時數學中，實行「定義域優先」的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或淡化了，對值域問題的探究，造成了一手「硬」一手「軟」，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄彼，何況它們二者隨時處於互相轉化之中（典型的例子是互為反函數的定義域與值域的相互轉化）。如果函數的值域是無限集的話，那麼求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難。實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函數的理解，從而深化對函數本質的認識。

6. 求值域的4個步驟

（1）確定函數的定義域；

（2）分析解析式的特點；

（3）將端點值與極值比較，求出最大值與最小值；

（4）計算出函數的值域。

八、函數單調性法
先確定函數在其定義域（或定義域的某個子集上）的單調性，再求出函數值域的方法。考慮這一方法的是某些由指數形式的函數或對數形式的函數構成的一些簡單的初等函數，可直接利用指數或對數的單調性求得答案；還有一些形如，看a,d是否同號，若同號用單調性求值域，若異號則用換元法求值域；還有的在利用重要不等式求值域失敗的情況下，可採用單調性求值域。

九、數形結合法
其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式、直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。

十、導數法
利用導數求閉區間上函數的值域的一般步驟：(1)求導，令導數為0；(2)確定極值點，求極值；(3)比較端點與極值的大小，確定最大值與最小值即可確定值域。

總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮函數單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。

7. 求函數值域的方法 求函數值域的四種方法

1、畫圖法：這種方法簡單快捷，只要將函圓祥數圖形畫出來，一眼就能看到函數的值域。

2、換元法：將一個復雜的函數通過換元，轉變成一個簡單的函數，然後再用畫圖法一下子就能求出值域。

3、不等式法：將一個函數代入另一個不等式中，通過不等式求出值域范圍。

4、定義法：已知某個三角函數的跡粗定義值域，通過轉化成三角函數來求解該函橘州搏數的值域。

8. 常見的幾種求值域的方法

一般求函數的值域常有如下方法：
（1）利用函數性質求解析式
也就是根據題目條件的定義域和值域的范圍，確定解析式的形式，這種方法常用於解決分段函數的問題。
（2）配方法、換元法
對於形如
y
=
ax
+
b
+
√(cx
+
d)
的函數，可以用換元法；
對於含√(a^2
-
x^2)結構的函數，可利用三角代換，轉化為三角函數求值域。
（3）反函數法、判別式法
對於形如
y
=
(cx
+
d)/(ax
+
b)
的函數值域可用反函數法，也可用配湊法；
對於形如
y
=
(ax^2
+
bx
+
c)/(dx^2
+
ex
+
f)
的函數值域常用判別式法，把函數轉化成關於
x
的二次方程
f(x,y)
=
0
，通過方程有實根，判別式
△≥
0
,從而得到原函數的值域。但注意要討論二次項系數為零和非零的兩種情況。
（4）不等式法、單調性法
利用基本不等式
a
+
b
≥
2√ab
求值域，注意「一正、二定、三取等」。即：a>0,b>0；a+b(或ab)為定值；取等號的條件。
對於形如
y
=
ax
+
b
+
√(cx
+
d)
的函數，看
a
與
d
是否同號或攔，若同號用單調性求值域，若異號則用換元法求鏈困值域。
（5）數形結合法
這個就不用我多說了吧，把已知問題轉化為圖像求最值或者范圍的問題，靈活利用平面或空間幾何學的棚團念性質，幫助求解。
（6）導數法
這個是最保險的，但是往往運算起來會比較麻煩。
（7）抽象函數問題
根據題目所給條件對問題進行轉化，化繁為簡。

9. 函數求值域的步驟

求函數值域的幾種常見方法
1直接法：利用常見函數的值域來求
一次函數y=ax+b(a 0)的定義域為R，值域為R；
反比例函數 的定義域為{x|x≠0},值域為{y|y≠0}；
二次函數的定義域為R
當a>0時，值域為{y|y≥(4ac-b??)/4a}；
當a<0時，值域為{y|y≤(4ac-b??)/4a}
例1．求下列函數的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]
②y=x??-2x+3∵1>0∴(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1即函數的值域是{y|y≥2}2．
二次函數在定區間上的值域(最值)：
①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6]因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次項系數1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函數
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5]因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次項系數1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是減函數，在x∈(3,5]是增函數
所以f(x)min=f(3)=3
而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12]
3觀察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域
∵-x??-6x-5≥0可知函數的定義域是[-5,-1]
∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因為-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0
終於得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2
所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]
5.圖像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
解：因為y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5)自己畫圖像由圖可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)
6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域
解y=3^x/（1+3^x）兩邊同乘以1+3^x
所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)
因為3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0<y<1值域為（0，1）
7判別式法求y=1/(2x??-3x+1)
解 ∵2x??-3x+1≠0∴函數的定義域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}
將函數變形可得2yx??-3yx+y-1=0當y≠0時,上述關於x的二次方程有實數解Δ=9y??-8y(y-1)≥0
所以y≤-8或y≥0當y=0時，方程無解，身體y=0不是原函數的值
所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)
8換元法求y=2x－√（x-1)的值域
解令t=√（x-1)顯然t≥0以x=t??+1
所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8
因為t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞)
值域三角函數法、基本不等式法、導數法分別是高一下冊，高二上冊，高三的內容，在這里就不例舉了

10. 求函數值域的常用方法

（1）觀察法：
如拿滑 的值域可以從 入手去求.由 得 ，函數的值域為 ；
（2）圖象法：
基本初等函數空旁，或由其經簡單變換所得函數，或用導數研究極值點及單調區間時，均通過畫示意圖、截取、觀察得值域，這是值域中的重點內容。
（3）配方法與判別式法
①判別式法：
若函數 可以化為一個系數含有 的二次方程 ，
則在 時，若 則 ，從而確定函數的值域，
並檢驗 時對應的 的值是否在定義域內，以決定 時 的值的取捨；
②配方法：
形如 的函數，根據二次函數的極值點或邊界點的取值確定函數的值域.
（4）函數的單調性法
確定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性，從而求出函數的值域，列如， .當利用均值不等式時，如果等號不能成立，則可考慮利用函數的單調性解題。
（5）利用函數的有界性：
形如 ， ，因為 ， 可解出 ， 的范圍，從而求出其值域或最值.
（6）利用換元法化歸為基本函數的值域
①代數換元：形如 ，
可設 ，轉化為二次函數求值域.
②三角換元：如 ，可令 ， ， ，
（7）均值不等式法：
利用均值不等式
但要注意以下三點：
①需要同時滿足「一正、二定、三相等消虧臘」的條件
②熟悉常見變形： ；

③若等號取不到，可考慮函數 的單調區間.
（8）分離常數法：
形如 的函數的值域，可使用「分離常數法」求解.
（9）數形結合法
如果所給的函數由較明顯的幾何意義，可藉助幾何法求函數的值域，
如由 可聯想 與 兩點連線的斜率；
（10）導數法：
如求 的值域，則可先使用導數法求其單調區間，然後再求值域.