用遞推法解決問題的方法步驟

Ⅰ 常見演算法思想2：遞推法

遞推演算法猶如穩重的有經驗的老將，使用「穩扎穩打」的策略，不斷利用已有的信息推導出新的東西。
在日常應用中有如下兩種遞推演算法：
（1）順推法：從已知條件出發，逐步推算出要解決問題的方法。
（2）逆推法：從已知的結果出發，用迭代表達式逐步推算出問題開始的條件，即順推法的逆過程。

例如斐波那契數列就可以通過順推法不斷遞推算出新的數據：

分析:我們要想辦法找規律
兔子對數：
第一個月：1；第二個月:1；第三個月: 2；第四個月: 3；第五個月: 5；第六個月: 8；...
由此可見兔子的對象數據是:1,1,2,3,5,8...

規則:
A:從第三項開始,每一項是前兩項之程
B:而且說明前兩項是已知的

假如相鄰的兩個月的兔子對數是a,b
第一個相鄰的數據:a=1,b=1
第二個相鄰的數據:a=1,b=2
第三個相鄰的數據:a=2,b=3
第四個相鄰的數據:a=3,b=5
看到了:下一次的a是以前的b,下一次的b是以前的a+b;

可採用逆推法分析存錢和取錢的過程，因為按照月為周期取錢，所以4年可以分為48個月，並對每個月進行計算。
如果第48個月後sun大學畢業連本帶息要取1000元，則要求第47個月銀行的存錢金額為：
第47個月月末存款=1000/(1+0.0172/12);
第46個月月末存款=（第47存款+1000）/(1+0.0172/12);
第45月末存款=（第46存款+1000）/(1+0.0172/12);
…….
第2月月末存款=（第3月月末存款+1000）/(1+0.0172/12);
第1月月末存款=（第2月末存款+1000）/(1+0.0172/12);

列印結果：

Ⅱ 求文檔: 高中物理解題方法6.遞推法

六、遞推法

方法簡介
遞推法是解決物體與物體發生多次作用後的情況. 即當問題中涉及相互聯系的物體較多並且有規律時，應根據題目特點應用數學思想將所研究的問題歸類，然後求出通式. 具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結論. 再根據多次作用的重復性和它們的共同點，把結論推廣，然後結合數學知識求解. 用遞推法解題的關鍵是導出聯系相鄰兩次作用的遞推關系式.

塞題精析
例1 質點以加速度a從靜止出發做直線運動，在某時刻t，加速度變為2a；在時刻2t，加速度變為3a；…；在nt時刻，加速度變為（n+1）a，求：
（1）nt時刻質點的速度；
（2）nt時間內通過的總路程.
解析 根據遞推法的思想，從特殊到一般找到規律，然後求解.
（1）物質在某時刻t末的速度為
2t末的速度為
3t末的速度為
……
則nt末的速度為

（2）同理：可推得nt內通過的總路程
例2 小球從高 處自由下落，著地後跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小 ，求小球從下落到停止經過的總時間為通過的總路程.（g取10m/s2）
解析 小球從h0高處落地時，速率
第一次跳起時和又落地時的速率
第二次跳起時和又落地時的速率

第m次跳起時和又落地時的速率
每次跳起的高度依次 ，

通過的總路程

經過的總時間為

例3 A、B、C三隻獵犬站立的位置構成一個邊長為a的正
三角形，每隻獵犬追捕獵物的速度均為v，A犬想追捕B犬，B
犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調
整方向，速度方向始終「盯」住對方，它們同時起動，經多長
時間可捕捉到獵物？
解析 由題意可知，由題意可知，三隻獵犬都做等速率曲線運動，而且任一時刻三隻獵犬的位置都分別在一個正三角形的三個頂點上，但這正三角形的邊長不斷減小，如圖6—1所示.所以要想求出捕捉的時間，則需用微元法將等速率曲線運動變成等速率直線運動，再用遞推法求解.
設經時間t可捕捉獵物，再把t分為n個微小時間間隔△t，在每一個△t內每隻獵犬的運動可視為直線運動，每隔△t，正三角形的邊長分別為a1、a2、a3、…、an，顯然當an→0時三隻獵犬相遇.

因為
即
此題還可用對稱法，在非慣性參考系中求解.
例4 一列進站後的重載列車，車頭與各節車廂的質量相等，均為m，若一次直接起動，車頭的牽引力能帶動30節車廂，那麼，利用倒退起動，該車頭能起動多少節同樣質量的車廂？
解析 若一次直接起動，車頭的牽引力需克服摩擦力做功，使各節車廂動能都增加，若利用倒退起動，則車頭的牽引力需克服摩擦力做的總功不變，但各節車廂起動的動能則不同.
原來掛鉤之間是張緊的，倒退後掛鉤間存在△s的寬松距離，設火車的牽引力為F，則有：
車頭起動時，有
拉第一節車廂時：
故有

拉第二節車廂時：
故同樣可得：
……
推理可得
由
另由題意知
因此該車頭倒退起動時，能起動45節相同質量的車廂.
例5 有n塊質量均為m，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現將它們一塊一塊地疊放起來，如圖6—2所示，人至少做多少功？
解析 將平放在水平地面上的磚一塊一塊地疊放起來，每次克服重
力做的功不同，因此需一次一次地計算遞推出通式計算.
將第2塊磚平放在第一塊磚上人至少需克服重力做功為
將第3、4、…、n塊磚依次疊放起來，人克服重力至少所需做的功
分別為

所以將n塊磚疊放起來，至少做的總功為
W=W1+W2+W3+…+Wn

例6 如圖6—3所示，有六個完全相同的長條薄片 、
2、…、6）依次架在水平碗口上，一端擱在碗口，另一端架在另一
薄片的正中位置（不計薄片的質量）. 將質量為m的質點置於A1A6
的中點處，試求：A1B1薄片對A6B6的壓力.
解析 本題共有六個物體，通過觀察會發現，A1B1、A2B2、…、
A5B5的受力情況完全相同，因此將A1B1、A2B2、…A5B5作為一類，
對其中一個進行受力分析，找出規律，求出通式即可求解.
以第i個薄片AB為研究對象，受力情況如圖6—3甲所示，第i個
薄片受到前一個薄片向上的支持力Ni、碗邊向上的支持力和後一個薄片
向下的壓力Ni+1. 選碗邊B點為軸，根據力矩平衡有

所以 ①
再以A6B6為研究對象，受力情況如圖6—3乙所示，A6B6受到薄片
A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和後一個薄片A1B1向下的壓力
N1、質點向下的壓力mg. 選B6點為軸，根據力矩平衡有

由①、②聯立，解得
所以，A1B1薄片對A6B6的壓力為
例7 用20塊質量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊長度為L，橫截面是邊長為 的正方形，要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬），計算跨度與橋孔高度的比值.
解析 為了使搭成的單孔橋平衡，橋孔兩側應有相同的積木塊，從上往下計算，使積木塊均能保證平衡，要滿足合力矩為零，平衡時，每塊積木塊都有最大伸出量，則單孔橋就有最大跨度，又由於每塊積木塊都有厚度，所以最大跨度與橋孔高度存在一比值.
將從上到下的積木塊依次計為1、2、…、n，顯然第1塊相對第2塊的最大伸出量為

第2塊相對第3塊的最大伸出量為 （如圖6—4所示），則

同理可得第3塊的最大伸出量
……
最後歸納得出
所以總跨度
跨度與橋孔高的比值為
例8 如圖6—5所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點O兩側的人的序號都記為
…）. 每人只有一個沙袋， 一側的每個沙袋質量為m=14kg， 一側的每個沙袋質量 . 一質量為M=48kg的小車以某初速度v0從原點出發向正x軸方向滑行. 不計軌道阻力. 當車每經過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度v朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v的大小等於扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍.（n是此人的序號數）
（1）空車出發後，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？
（2）車上最終有大小沙袋共多少個？
解析 當人把沙袋以一定的速度朝與車速相反的方向沿車面扔到車上時，由動量守恆定律知，車速要減小，可見，當人不斷地把沙袋以一定的速度扔到車上，總有一時刻使車速反向或減小到零，如車能反向運動，則另一邊的人還能將沙袋扔到車上，直到車速為零，則不能再扔，否則還能扔.
小車以初速 沿正x軸方向運動，經過第1個（n=1）人的身旁時，此人將沙袋以 的水平速度扔到車上，由動量守恆得 當小車運動到第2人身旁時，此人將沙袋以速度 的水平速度扔到車上，同理有 ，所以，當第n個沙袋拋上車後的車速為 ，根據動量守恆有 .
同理有 ，若拋上（n+1）包沙袋後車反向運動，則應有
即
由此兩式解得： 為整數取3.
當車反向滑行時，根據上面同樣推理可知，當向左運動到第n個人身旁，拋上第n包沙袋後由動量守恆定律有：

解得：
設拋上n+1個沙袋後車速反向，要求
即 即拋上第8個
沙袋後車就停止，所以車上最終有11個沙袋.
例9 如圖6—6所示，一固定的斜面，傾角 ，斜面
長L=2.00米. 在斜面下端有一與斜面垂直的擋板. 一質量為m的
質點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為零. 下滑到最底端
與擋板發生彈性碰撞. 已知質點與斜面間的動摩擦因數 ，試求此質點從開始到發生第11次碰撞的過程中運動的總路程.
解析 因為質點每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求質點從開始到發生n次碰撞的過程中運動的總路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.
設每次開始下滑時，小球距檔板為s
則由功能關系：

即有
由此可見每次碰撞後通過的路程是一等比數列，其公比為
∴在發生第11次碰撞過程中的路程

例10 如圖6—7所示，一水平放置的圓環形剛性窄槽固定在桌
面上，槽內嵌著三個大小相同的剛性小球，它們的質量分別是m1、m2
和m3，m2=m3=2m1. 小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽
略不計. 開始時，三球處在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此間距離相等，
m2和m3靜止，m1以初速 沿槽運動，R為圓環的內半徑和
小球半徑之和，設各球之間的碰撞皆為彈性碰撞，求此系統的運動周期T.
解析 當m1與m2發生彈性碰撞時，由於m2=2m1，所以m1碰後彈回，m2向前與m3發生碰撞. 而又由於m2=m3，所以m2與m3碰後，m3能靜止在m1的位置，m1又以v速度被反彈，可見碰撞又重復一次. 當m1回到初始位置，則系統為一個周期.
以m1、m2為研究對象，當m1與m2發生彈性碰撞後，根據動量守恆定律，能量守恆定律可寫出：
①
②
由①、②式得：
以m2、m3為研究對象，當m2與m3發生彈性碰撞後，得
以m3、m1為研究對象，當m3與m1發生彈性碰撞後，得
由此可見，當m1運動到m2處時與開始所處的狀態相似. 所以碰撞使m1、m2、m3交換位置，當m1再次回到原來位置時，所用的時間恰好就是系統的一個周期T，由此可得周期

例11 有許多質量為m的木塊相互靠著沿一直線排列於光滑的水平面上. 每相鄰的兩個木塊均用長為L的柔繩連接著. 現用大小為F的恆力沿排列方向拉第一個木塊，以後各木塊依次被牽而運動，求第n個木塊被牽動時的速度.
解析 每一個木塊被拉動起來後，就和前面的木塊成為一體，共同做勻加速運動一段距離L後，把繩拉緊，再牽動下一個木塊. 在繩子綳緊時，有部分機械能轉化為內能. 因此，如果列出 這樣的關系式是錯誤的.
設第 個木塊剛被拉動時的速度為 ，它即將拉動下一個木塊時速度增至 ，
第n個木塊剛被拉動時速度為 . 對第 個木塊開始運動到它把下一段繩子即將拉緊這一過程，由動能定理有：
①
對繩子把第n個木塊拉動這一短暫過程，由動量守恆定律，有
得： ②
把②式代入①式得：
整理後得： ③
③式就是反映相鄰兩木塊被拉動時速度關系的遞推式，由③式可知
當n=2時有：
當n=3時有：
當n=4時有： …
一般地有
將以上 個等式相加，得：
所以有
在本題中 ，所以
例12 如圖6—8所示，質量m=2kg的平板小車，後端放
有質量M=3kg的鐵塊，它和車之間動摩擦因數 開始
時，車和鐵塊共同以 的速度向右在光滑水平面上
前進，並使車與牆發生正碰，設碰撞時間極短，碰撞無機械能損失，且車身足夠長，使得鐵塊總不能和牆相碰，求小車走過的總路程.
解析 小車與牆撞後，應以原速率彈回. 鐵塊由於慣性繼續沿原來方向運動，由於鐵塊和車的相互摩擦力作用，過一段時間後，它們就會相對靜止，一起以相同的速度再向右運動，然後車與牆發生第二次碰撞，碰後，又重復第一次碰後的情況. 以後車與牆就這樣一次次碰撞下去. 車每與牆碰一次，鐵塊就相對於車向前滑動一段距離，系統就有一部分機械能轉化為內能，車每次與牆碰後，就左、右往返一次，車的總路程就是每次往返的路程之和.
設每次與牆碰後的速度分別為v1、v2、v3、…、vn、…車每次與牆碰後向左運動的最遠距離分別為s1、s2、s3、…、sn、…. 以鐵塊運動方向為正方向，在車與牆第 次碰後到發生第n次碰撞之前，對車和鐵塊組成的系統，由動量守恆定律有
所以
由這一關系可得：
一般地，有
由運動學公式可求出車與牆發生第n次碰撞後向左運動的最遠距離為

類似地，由這一關系可遞推到：
所以車運動的總路程

因此
所以
例13 10個相同的扁長木塊一個緊挨一個地放在水平
地面上，如圖6—9所示，每個木塊的質量 長度
，它們與地面間的靜摩擦因數和動摩擦因數均為
原來木塊處於靜止狀態. 左方第一個木塊的左端
上方放一個質量為M=1.0kg的小鉛塊，它與木塊間的靜摩
擦因數和動摩擦因數均為 現突然給鉛塊一向右的初速度 ，使其在大木塊上滑行. 試確定鉛塊最後的位置在何處（落在地上還是停在哪塊木塊上）. 重力加速度g取 ，設鉛塊的長度與木塊相比可以忽略.
解析 當鉛塊向右運動時，鉛塊與10個相同的扁長木塊中的第一塊先發生摩擦力，若此摩擦力大於10個扁長木塊與地面間的最大靜摩擦力，則10個扁長木塊開始運動，若此摩擦力小於10個扁長木塊與地面間的最大摩擦力，則10個扁長木塊先靜止不動，隨著鉛塊的運動，總有一個時刻扁長木塊要運動，直到鉛塊與扁長木塊相對靜止，後又一起勻減速運動到停止.
鉛塊M在木塊上滑行所受到的滑動摩擦力
設M可以帶動木塊的數目為n，則n滿足：
即
上式中的n只能取整數，所以n只能取2，也就是當M滑行到倒數第二個木塊時，剩下的兩個木塊將開始運動.設鉛塊剛離開第8個木塊時速度為v，則

得：
由此可見木塊還可以滑到第9個木塊上. M在第9個木塊
上運動如圖6—9甲所示，則對M而言有：
得：
第9及第10個木塊的動力學方程為： ，
得：
設M剛離開第9個木塊上時速度為 ，而第10個木塊運動的速度為 ，並設木塊運動的距離為s，則M運動的距離為 ，有：

消去s及t求出： ，顯然後一解不合理應捨去.
因 ，故M將運動到第10個木塊上.
再設M運動到第10個木塊的邊緣時速度為 ，這時木塊的速度為 ，則：

解得： ，故M不能滑離第10個木塊，只能停在它的表面上，最後和木塊一起靜止在地面上.
例14 如圖6—10所示，質量為m的長方形箱子，放在光滑
的水平地面上. 箱內有一質量也為m的小滑塊，滑塊與箱底間無摩
擦. 開始時箱子靜止不動，滑塊以恆定的速度v0從箱子的A壁處向
B處運動，後與B壁碰撞. 假設滑塊與箱壁每碰撞一次，兩者相對
速度的大小變為該次碰撞前相對速度的e倍，
（1）要使滑塊與箱子這一系統消耗的總動能不超過其初始動能的40%，滑塊與箱壁最多可碰撞幾次？
（2）從滑塊開始運動到剛完成上述次數的碰撞期間，箱子的平均速度是多少？
解析 由於滑塊與箱子在水平方向不受外力，故碰撞時系統水平方向動量守恆. 根據題目給出的每次碰撞前後相對速度之比，可求出每一次碰撞過程中動能的損耗.滑塊開始運動到完成題目要求的碰撞期間箱子的平均速度，應等於這期間運動的總位移與總時間的比值.
（1）滑塊與箱壁碰撞，碰後滑塊對地速度為v，箱子對地速度為u. 由於題中每次碰撞的e是一樣的，故有：

或

即碰撞n次後 ①
碰撞第n次的動量守恆式是 ②
①、②聯立得
第n次碰撞後，系統損失的動能

下面分別討論：
當

因為要求的動能損失不超過40%，故n=4.
（2）設A、B兩側壁的距離為L，則滑塊從開始運動到與箱壁發生第一次碰撞的時間
. 在下一次發生碰撞的時間 ，共碰撞四次，另兩次碰撞的時間分別為 、 ，所以總時間
在這段時間中，箱子運動的距離是：

所以平均速度為：
例15 一容積為1/4升的抽氣機，每分鍾可完成8次抽氣動作. 一容積為1升的容器與此抽氣筒相連通. 求抽氣機工作多長時間才能使容器內的氣體的壓強由76mmmHg降為1.9mmHg.（在抽氣過程中容器內的溫度保持不變）
解析 根據玻一馬定律，找出每抽氣一次壓強與容器容積和抽氣機容積及原壓強的關系，然後歸納遞推出抽n次的壓強表達式.
設氣體原壓強為p0，抽氣機的容積為V0，容器的容積為V. 每抽一次壓強分別為p1、p2、…，則由玻一馬定律得：
第一次抽氣後： ①
第二次抽氣後： ②
依次遞推有： ③

○n
由以上○n式得：
代入已知得： （次）
工作時間為： 分鍾
例16 使一原來不帶電的導體小球與一帶電量為Q的導體大球接觸，分開之後，小球獲得電量q. 今讓小球與大球反復接觸，在每次分開有後，都給大球補充電荷，使其帶電量恢復到原來的值Q. 求小球可能獲得的最大電量.
解析 兩個孤立導體相互接觸，相當於兩個對地電容並聯，設兩個導體球帶電Q1、Q2，由於兩個導體球對地電壓相等，
故有 ，
所以 為常量，此式表明：帶電（或不帶電）的小球跟帶電大球接觸後，小球所獲得的電量與總電量的比值不變，比值k等於第一次帶電量q與總電量Q的比值，即 根據此規律就可以求出小球可能獲得的最大電量.
設第1、2、…、n次接觸後小球所帶的電量分別為q1、q2、…，有：

由於 ，上式為無窮遞減等比數列，根據求和公式得：

即小球與大球多次接觸後，獲得的最大電量為
例17 在如圖6—11所示的電路中，S是一單刀雙擲開關，A1和A2為兩個平行板電容器，S擲向a時，A1獲電荷電量為Q，當S再擲向b時，A2獲電荷電量為q. 問經過很多次S擲向a，再擲向b後，A2將獲得多少電量？
解析 S擲向a時，電源給A1充電，S再擲向b，A1給A2充電，在經過很多次重復的過程中，A2的帶電量越來越多，兩板間電壓越來越大. 當A2的電壓等於電源電壓時，A2的帶電量將不再增加. 由此可知A2最終將獲得電量q2=C2E.
因為 所以
當S由a第一次擲向b時，有：
所以
解得A2最終獲得的電量
例18 電路如圖6—12所示，求當 為何值時，
RAB的阻值與「網路」的「格」數無關？此時RAB的阻
值等於什麼？
解析 要使RAB的阻值與「網路」的「格」數無關，則圖中CD間的阻值必須等於 才行.
所以有 解得
此時AB間總電阻
例19 如圖6—13所示，在x軸上方有垂直於xy平面向里
的勻強磁場，磁感應強度為B，在x軸下方有沿y軸負方向的勻
強電場，場強為E. 一質量為m，電量為－q的粒子從坐標原點O
沿著y軸方向射出. 射出之後，第三次到達x軸時，它與O點的
距離為L. 求此粒子射出時的速度v和每次到達x軸時運動的總
路程s.（重力不計）
解析 粒子進入磁場後做勻速圓周運動，經半周後通過x
軸進入電場後做勻減速直線運動，速度減為零後，又反向勻加
速通過x軸進入磁場後又做勻速圓周運動，所以運動有周期性.
它第3次到達x軸時距O點的距離L等於圓半徑的4倍（如圖
6—13甲所示）
粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為
所以粒子射出時的速度
粒子做圓周運動的半周長為
粒子以速度v進入電場後做勻減速直線運動，能深入的最大距離為y，
因為
所以粒子在電場中進入一次通過的路程為
粒子第1次到達x軸時通過的路程為
粒子第2次到達x軸時，已通過的路程為
粒子第3次到達x軸時，已通過的路程為
粒子第4次到達x軸時，已通過的路程為
粒子第 次到達x軸時，已通過的路程為

粒子第2n次到達x軸時，已通過的路程為
上面n都取正整數.

針對訓練

1．一物體放在光滑水平面上，初速為零，先對物體施加一向東的恆力F，歷時1秒鍾，隨即把此力改為向西，大小不變，歷時1秒鍾，接著又把此力改為向東，大小不變，歷時1秒鍾，如此反復，只改變力的方向，共歷時1分鍾. 在此1分鍾內 （ ）
A．物體時而向東運動，時而向西運動，在1分鍾末靜止於初始位置之東
B．物體時而向東運動，時而向西運動，在1分鍾末靜止於初始位置
C．物體時而向東運動，時而向西運動，在1分鍾末繼續向東運動
D．物體一直向東運動，從不向西運動，在1分鍾末靜止於初始位置之東
2．一小球從距地面為H的高度處由靜止開始落下. 已知小球在空中運動時所受空氣阻力為球所受重力的k倍 ，球每次與地面相碰前後的速率相等，試求小球從開始運動到停止運動，
（1）總共通過的路程；
（2）所經歷的時間.
3．如圖6—14所示，小球從長L的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底
端時與擋板碰撞並反彈而回，若每次與擋板碰撞後的速度大小為
碰撞前的4/5，求小球從開始下滑到最終停止於斜面下端物體共
通過的路程.
4．如圖6—15所示，有一固定的斜面，傾角為45°，斜面長為2
米，在斜面下端有一與斜面垂直的擋板，一質量為m的質點，
從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為1米/秒. 質點沿斜面下
滑到斜面最底端與擋板發生彈性碰撞. 已知質點與斜面間的滑
動摩擦因數為0.20.
（1）試求此質點從開始運動到與擋板發生第10次碰撞的過程中通過的總路程；
（2）求此質點從開始運動到最後停下來的過程中通過的總路程.
5．有5個質量相同、其大小可不計的小木塊1、2、3、4、5等距
離地依次放在傾角 的斜面上（如圖6—16所示）.斜面
在木塊2以上的部分是光滑的，以下部分是粗糙的，5個木塊
與斜面粗糙部分之間的靜摩擦系數和滑動摩擦系數都是 ，開
始時用手扶著木塊1，其餘各木塊都靜止在斜面上. 現在放手，
使木塊1自然下滑，並與木塊2發生碰撞，接著陸續發生其他
碰撞. 假設各木塊間的碰撞都是完全非彈性的. 求 取何值時
木塊4能被撞而木塊5不能被撞.
6．在一光滑水平的長直軌道上，等距離地放著足夠多的完全
相同的質量為m的長方形木塊，依次編號為木塊1，木塊
2，…，如圖6—17所示.
在木塊1之前放一質量為M=4m的大木塊，大木塊與
木塊1之間的距離與相鄰各木塊間的距離相同，均為L. 現在，在所有木塊都靜止的情況下，以一沿軌道方向的恆力F一直作用在大木塊上，使其先與木塊1發生碰撞，設碰後與木塊1結為一體再與木塊2發生碰撞，碰後又結為一體，再與木塊3發生碰撞，碰後又結為一體，如此繼續下去. 今問大木塊（以及與之結為一體的各小木塊）與第幾個小木塊碰撞之前的一瞬間，會達到它在整個過程中的最大速度？此速度等於多少？
7．有電量為Q1的電荷均勻分布在一個半球面上，另有無數個電量均為Q2的點電荷位於通過球心的軸線上，且在半球面的下部. 第k個電荷與球心的距離為 ，且k=1，2，3，4，…，設球心處的電勢為零，周圍空間均為自由空間. 若Q1已知，求Q2.
8．一個半徑為1米的金屬球，充電後的電勢為U，把10個半徑為1/9米的均不帶電的小金屬球順次分別與這個大金屬球相碰後拿走，然後把這10個充了電了小金屬球彼此分隔擺在半徑為10米的圓周上，並拿走大金屬球. 求圓心處的電勢. （設整個過程中系統的總電量無泄漏）
9．真空中，有五個電量均為q的均勻帶電薄球殼，它們的半徑
分別為R，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此內切於P點（如圖
6—18）.球心分別為O1，O2，O3，O4，O5，求O1與O5間的
電勢差.
10．在圖6—19所示的電路中，三個電容器CⅠ、CⅡ、CⅢ的電容
值均等於C，電源的電動勢為 ，RⅠ、RⅡ為電阻，S為雙擲
開關. 開始時，三個電容器都不帶電.先接通Oa，再接通Ob，
再接通Oa，再接通Ob……如此反復換向，設每次接通前都
已達到靜電平衡，試求：
（1）當S第n次接通Ob並達到平衡後，每個電容器兩端的
電壓各是多少？
（2）當反復換向的次數無限增多時，在所有電阻上消耗的
總電能是多少？
11．一系列相同的電阻R，如圖6—20所示連接，求AB間的等效電阻RAB.

12．如圖6—21所示，R1=R3=R5=…=R99=5Ω，R2=R4=R6=…=R98=10Ω，R100=5Ω， =10V
求：
（1）RAB=？
（2）電阻R2消耗的電功率應等於多少？
（3） 消耗的電功率；
（4）電路上的總功率.
13．試求如圖6—22所示，框架中A、B兩點間的電阻RAB，此框架
是用同種細金屬絲製作的，單位長的電阻為r，一連串內接等邊
三角形的數目可認為趨向無窮，取AB邊長為a，以下每個三角
形的邊長依次減少一半.
14．圖6—23中，AOB是一內表面光滑的楔形槽，固定在水平桌
面（圖中紙面）上，夾角 （為了能看清楚，圖中的是
誇大了的）. 現將一質點在BOA面內從C處以速度
射出，其方向與AO間的夾角 ，OC=10m. 設質點與
桌面間的摩擦可忽略不計，質點與OB面及OA面的碰撞都
是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可忽略不計，試求：
（1）經過幾次碰撞質點又回到C處與OA相碰？
（計算次數時包括在C處的碰撞）
（2）共用多少時間？
（3）在這過程中，質點離O點的最短距離是多少？

六、遞推法答案
1．D 2．
3． 4．9.79m 50m 5． 6．21塊
7． 8．0.065U 9．24.46K
10．（1）I： Ⅱ Ⅲ： （3）
11． 12．（1）10Ω （2）2.5W （3） ，
（4）10W 13．40Ω
14． 15．（1）60次 （2）2s （3）

Ⅲ 什麼是遞推法和遞歸法兩者在思想上有何聯系

1、遞推法：遞推演算法是一種根據遞推關系進行問題求解的方法。通過已知條件，利用特定的遞推關系可以得出中間推論，直至得到問題的最終結果。遞推演算法分為順推法和逆推法兩種。 

2、遞歸法：在計算機編程中，一個函數在定義或說明中直接或間接調用自身的編程技巧稱為遞歸。通常把一個大型復雜的問題層層轉化為一個與原問題相似的規模較小的問題來求解，遞歸策略只需少量的程序就可描述出解題過程所需要的多次重復計算，大大地減少了程序的代碼量。遞歸做為一種演算法在程序設計語言中廣泛應用。 

3、兩者的聯系：在問題求解思想上，遞推是從已知條件出發，一步步的遞推出未知項，直到問題的解。從思想上講，遞歸也是遞推的一種，只不過它是對待解問題的遞推，直到把一個復雜的問題遞推為簡單的易解問題。然後再一步步的返回去，從而得到原問題的解。 

(3)用遞推法解決問題的方法步驟擴展閱讀

相對於遞歸演算法,遞推演算法免除了數據進出棧的過程，也就是說,不需要函數不斷的向邊界值靠攏,而直接從邊界出發,直到求出函數值。

比如階乘函數：f(n)=n*f(n-1)  

在f(3)的運算過程中,遞歸的數據流動過程如下:   f(3){f(i)=f(i-1)*i}-->f(2)-->f(1)-->f(0){f(0)=1}-->f(1)-->f(2)--f(3){f(3)=6}  

而遞推如下:   f(0)-->f(1)-->f(2)-->f(3)   由此可見,遞推的效率要高一些,在可能的情況下應盡量使用遞推。

但是遞歸作為比較基礎的演算法,它的作用不能忽視。所以,在把握這兩種演算法的時候應該特別注意。

Ⅳ 用遞推法求行列式

正確答案，詳細過程如上

Ⅳ 怎樣用遞推法計算行列式

遞推法,主要針對帶形行列式，例如上面這個行列式的通用解法：

Ⅵ 想問什麼是遞推法

遞推演算法是一種用若干步可重復運算來描述復雜問題的方法。

遞推是序列計算中的一種常用演算法。通常是通過計算前面的一些項來得出序列中的指定項的值。

遞推是按照一定的規律來計算序列中的每個項，通常是通過計算前面的一些項來得出序列中的指定項的值。

其思想是把一個復雜的龐大的計算過程轉化為簡單過程的多次重復，該演算法利用了計算機速度快和不知疲倦的機器特點。

分類：遞推演算法分為順推和逆推兩種。

遞推與遞歸的比較：

相對於遞歸演算法,遞推演算法免除了數據進出棧的過程，也就是說,不需要函數不斷的向邊界值靠攏,而直接從邊界出發,直到求出函數值。

所謂順推法是從已知條件出發，逐步推算出要解決的問題的方法叫順推。

以上內容參考網路-遞推演算法

Ⅶ 怎樣用遞推法計算行列式

使用遞推法計算行列式，一般分三個步驟，首先找出遞推關系式，然後算出結果，最後用數學歸納法證明結果正確。

Ⅷ 數列遞推演算法的原理

什麼是遞推
所謂遞推，是指從已知的初始條件出發，依據某種遞推關系，逐次推出所要求的各中間結果及最後結果。其中初始條件或是問題本身已經給定，或是通過對問題的分析與化簡後確定。
從已知條件出發逐步推到問題結果，此種方法叫順推。
從問題出發逐步推到已知條件，此種方法叫逆推。
無論順推還是逆推，其關鍵是要找到遞推式。這種處理問題的方法能使復雜運算化為若干步重復的簡單運算，充分發揮出計算機擅長於重復處理的特點。
遞推法是一種重要的數學方法，在數學的各個領域中都有廣泛的運用，也是計算機用於數值計算的一個重要演算法。
遞推演算法的首要問題是得到相鄰的數據項間的關系（即遞推關系）。遞推演算法避開了求通項公式的麻煩，把一個復雜的問題的求解，分解成了連續的若干步簡單運算。一般說來，可以將遞推演算法看成是一種特殊的迭代演算法。

遞推的特點
可用遞推演算法求解的題目一般有以下兩個特點：
1、問題可以劃分成多個狀態；
2、除初始狀態外，其它各個狀態都可以用固定的遞推關系式來表示。
在我們實際解題中，題目不會直接給出遞推關系式，而是需要通過分析各種狀態，找出遞推關系式。

【例1】數字三角形。
如下所示為一個數字三角形。請編一個程序計算從頂到底的某處的一條路徑，使該路徑所經過的數字總和最大。只要求輸出總和。

1、 一步可沿左斜線向下或右斜線向下走；
2、 三角形行數小於等於100；
3、 三角形中的數字為0，1，…，99；
測試數據通過鍵盤逐行輸入，如上例數據應以如下所示格式輸入：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
【演算法分析】
此題解法有多種，從遞推的思想出發，設想，當從頂層沿某條路徑走到第i層向第i+1層前進時，我們的選擇一定是沿其下兩條可行路徑中最大數字的方向前進，為此，我們可以採用倒推的手法，設a[i][j]存放從i,j 出發到達n層的最大值，則a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]}，a[1][1] 即為所求的數字總和的最大值。

//【參考程序】
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int n,i,j,a[101][101];
cin>>n;
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=i;j++)
cin>>a[i][j]; //輸入數字三角形的值
for (i=n-1;i>=1;i--)
for (j=1;j<=i;j++)
{
if (a[i+1][j]>=a[i+1][j+1]) a[i][j]+=a[i+1][j]; //路徑選擇
else a[i][j]+=a[i+1][j+1];
}
cout<<a[1][1]<<endl;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
思考
如果要輸出最大和的路徑該怎麼處理呢？

【例2】 骨牌問題
有2 × n的一個長方形方格，用一個1 × 2的骨牌鋪滿方格。
編寫一個程序，試對給出的任意一個n(n>0), 輸出鋪法總數。
【演算法分析】
（1）面對上述問題，如果思考方法不恰當，要想獲得問題的解答是相當困難的。可以用遞推方法歸納出問題解的一般規律。
（2）當n=1時，只能是一種鋪法，鋪法總數有示為x1=1。
（3）當n=2時：骨牌可以兩個並列豎排，也可以並列橫排，再無其他方法，如下左圖所示，因此，鋪法總數表示為x2=2；

（4）當n=3時：骨牌可以全部豎排，也可以認為在方格中已經有一個豎排骨牌，則需要在方格中排列兩個橫排骨牌（無重復方法），若已經在方格中排列兩個橫排骨牌，則必須在方格中排列一個豎排骨牌。如上右圖，再無其他排列方法，因此鋪法總數表示為x3=3。
由此可以看出，當n=3時的排列骨牌的方法數是n=1和n=2排列方法數的和

Ⅸ 用遞推公式求通項的六種方法

用遞推公式求通項的六種方法：等差數列和等比數列有通項公式；累加法；累乘法；構造法；錯位相減法。