求值域的方法和步驟

A. 求函數值域的幾種基本方法

求函數值域的常用方法有：配方法，分離常數法，判別式法，反解法，換元法，不等式法，單調性法，函數有界性法，數形結合法，導數法。
一、配方法

二、反解法

三、分離常數法

四、判別式法

五、換元法

六、不等式法

七、函數有界性法
直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函數的值域。

八、函數單調性法
先確定函數在其定義域（或定義域的某個子集上）的單調性，再求出函數值域的方法。考慮這一方法的是某些由指數形式的函數或對數形式的函數構成的一些簡單的初等函數，可直接利用指數或對數的單調性求得答案；還有一些形如，看a,d是否同號，若同號用單調性求值域，若異號則用換元法求值域；還有的在利用重要不等式求值域失敗的情況下，可採用單調性求值域。

九、數形結合法
其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式、直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。

十、導數法
利用導數求閉區間上函數的值域的一般步驟：(1)求導，令導數為0；(2)確定極值點，求極值；(3)比較端點與極值的大小，確定最大值與最小值即可確定值域。

總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮函數單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。

B. 函數求值域的步驟

求函數值域的幾種常見方法
1直接法：利用常見函數的值域來求
一次函數y=ax+b(a 0)的定義域為R，值域為R；
反比例函數 的定義域為{x|x≠0},值域為{y|y≠0}；
二次函數的定義域為R
當a>0時，值域為{y|y≥(4ac-b??)/4a}；
當a<0時，值域為{y|y≤(4ac-b??)/4a}
例1．求下列函數的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]
②y=x??-2x+3∵1>0∴(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1即函數的值域是{y|y≥2}2．
二次函數在定區間上的值域(最值)：
①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6]因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次項系數1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函數
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5]因為對稱軸x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次項系數1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是減函數，在x∈(3,5]是增函數
所以f(x)min=f(3)=3
而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12]
3觀察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域
∵-x??-6x-5≥0可知函數的定義域是[-5,-1]
∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因為-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0
終於得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2
所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]
5.圖像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
解：因為y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5)自己畫圖像由圖可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)
6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域
解y=3^x/（1+3^x）兩邊同乘以1+3^x
所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)
因為3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0<y<1值域為（0，1）
7判別式法求y=1/(2x??-3x+1)
解 ∵2x??-3x+1≠0∴函數的定義域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}
將函數變形可得2yx??-3yx+y-1=0當y≠0時,上述關於x的二次方程有實數解Δ=9y??-8y(y-1)≥0
所以y≤-8或y≥0當y=0時，方程無解，身體y=0不是原函數的值
所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)
8換元法求y=2x－√（x-1)的值域
解令t=√（x-1)顯然t≥0以x=t??+1
所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8
因為t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞)
值域三角函數法、基本不等式法、導數法分別是高一下冊，高二上冊，高三的內容，在這里就不例舉了

C. 求值域的六種方法

函數的值域是函數的重要性質之一，它的求法很多，下面結合實例進行例析。
一、反函數法
利用函數和它的反函數的定義域與值域的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域。例如求函數的值域，這種類型的題目也可採用分離常數法。
例1. 求函數的值域。
解：由解得，因為，所以，則，故函數的值域為。
二、換元法
換元法主要是把題目中出現多次的一個復雜的部分看作一個整體，通過簡單的換元把復雜函數變為簡單函數，我們使用換元法時，要特別注意換元後新元的范圍（即定義域）。換元法是幾種常用的數學方法之一，在求函數的值域中發揮很大作用。
例2. 若，求函數的值域。
解：，因為，則，於是，故的值域是。
三、分離常數法
求一次分式函數值域可用分離常數法，此類問題有時也可以利用反函數法。
例3. 求函數的值域。
解：，因為，則，故函數的值域為。
四、判別式法
把函數轉化成關於x的二次方程，通過方程有實數根，根據判別式，從而求得原函數的值域，形如求函數（、不同時為0）的值域，常用此方法求解。注意這類函數的定義域一般是實數集時用這種方法一般不會出錯，否則不宜用這種方法。
例4. 求函數的值域。
解：原式變形為。
①當時，方程無解；
②當時，因為，所以，解得。
綜合①②得，函數的值域為。
五、函數的單調性法
確定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性，藉助單調性求出函數的值域。
例5. 求函數的值域。
解：因為當x增大時，隨的增大而減少，隨的增大而增大，所以函數在定義域上是增函數。
故，所以函數的值域為。
六、利用有界性
利用函數解析式中局部式子的有界性來求整個函數的值域也是常用的求值域的方法。
例6. 求函數的值域。
解：由函數的解析式可以知道函數的定義域為R，對函數進行變形可得，因為，所以，則，故，所以函數的值域為。

D. 函數怎樣求值域，都有哪 些方法

函數值域求法:1. 直接觀察法:對於一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。
2. 配方法:配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。
3. 判別式法：由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的定義域，將擴大的部分剔除。
4. 反函數法;直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。
5. 函數有界性法:直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函數的值域。
6. 函數單調性法
7. 換元法:通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特徵是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發揮作用。
8. 數形結合法:其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。
9. 不等式法:利用基本不等式 ，求函數的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。
10. 一一映射法
原理：因為 在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變數中，若知道一個變數范圍，就可以求另一個變數范圍。
11. 多種方法綜合運用
總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。

E. 求值域的五種方法

求值域的五種方法：

1.直接法：從自變數的范圍出發，推出值域。

2.觀察法：對於一些比較簡單的函數，可以根據定義域與對應關系，直接得到函數的值域。

3.配方法：（或者說是最值法）求出最大值還有最小值，那麼值域就出來了。

例題：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】

先配方，得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

ymax=(2+1)^2+2=11

4.拆分法：對於形如y=cx+d，ax+b的分式函數，可以將其拆分成一個常數與一個分式，再易觀察出函數的值域。

5.單調性法：y≠ca.一些函數的單調性，很容易看出來。或者先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的值域。

6.數形結合法，其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。

7.判別式法：運用方程思想，根據二次方程有實根求值域。

8.換元法：適用於有根號的函數

例題：y=x-√（1-2x)

設√（1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2(t+1)^2+1

∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：圖像法，直接畫圖看值域

這是一個分段函數，你畫出圖後就可以一眼看出值域。

10：反函數法。求反函數的定義域，就是原函數的值域。

例題：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函數y=(2x-1)/(3x-3)

明顯定義域為x≠1

所以原函數的值域為y≠1

(5)求值域的方法和步驟擴展閱讀：

值域，在函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。如：f(x)=x，那麼f(x)的取值范圍就是函數f(x)的值域。

在實數分析中，函數的值域是實數，而在復數域中，值域是復數。

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本「元件」。平時數學中，實行「定義域優先」的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或淡化了，對值域問題的探究，造成了一手「硬」一手「軟」，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄彼，何況它們二者隨時處於互相轉化之中（典型的例子是互為反函數的定義域與值域的相互轉化）。如果函數的值域是無限集的話，那麼求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難。實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函數的理解，從而深化對函數本質的認識。

F. 值域怎麼求要過程

求函數值域的方法有配方法，常數分離法，換元法，逆求法，基本不等式法，求導法，數形結合法和判別式法等。
配方法：將函數配方成頂點式的格式，再根據函數的定義域求函數的值域，畫一個簡單圖更能便捷直觀的求值域。
常數分離：一般是對於分數形式的函數來說的。將分子上的函數盡量配成與分母相同的形式，進行常數分離求得值域。
逆求法：對於y=某x的形式可用逆求法，表示為x=某y，此時可看y的限制范圍，就是原式的值域了。
換元法：對於函數的某一部分較復雜或生疏可用換元法，將其轉變成我們熟悉的形式求解。
單調性：先求出函數的單調性，注意先求定義域，根據單調性再求函數的值域。
基本不等式：根據我們學過的基本不等式可將函數轉換成可運用基本不等式的形式，以此來求值域。
數形結合：可根據函數給出的式子畫出函數的圖形，在圖形上找出對應點求出值域。
求導法：求出函數的導數，觀察函數的定義域，將端點值與極值比較，求出最大值與最小值就可得到值域了。
判別式法：將函數轉變成某某等於零的形式，再用解方程的方法求出要滿足的條件，求解即可。

G. 值域怎麼求 要過程

值域問題是高中函數的一個精華問題。
有很多問題都是圍繞著他展開的。比如說恆成立問題，值域反求定義與問題（即反函數求定義域）……等等。下面就說一下最基本的集中求值域問題的類型。
首先要著重說的是：求值域，必先看定義域。所有函數都是如此。
1.單調性法
利用函數的單調性。當一個函數單調性很容易判斷時，可用定義域來求解。
e.g.1
y=x-√（1-2x).求值域。
解：1-2x≥0,得x≤1/2.
觀察得，函數在指定區間內為增函數，所以y有最大值，即1/2-√（1-1）=1/2.
所以值域為（-∞，1/2]。
2.判別式法。適用於y是x的2次函數的情況。且x∈r.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。
解：將原式變形得
y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得
（y-1）x^2+(1-y)x+y=0.
因為y=1時，推出y=0.即x∈φ
所以y≠1.
x∈r，即此式恆有根，所以δ=（1-y)^2-4(y-1)*y≥0,
解得-1/3≤y≤1.
又因為y≠1,所以
y∈[-1/3,1).
註：此法可用的原因：化成x的式子後發現，x∈r對該式都成立，也就是說有這樣的x,一定可以為根，要y來配合。此式由無窮個根，即如果你給了合適的y後，在式子中總能找到x解。那麼這個y就是為了保證讓式子一定有解才會滿足x∈r成立，即判別式大於等於0.
3.分離常數法。適用於分母分子有相同的形式的部分，然後用觀察法（單調性法）
y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。
變形為y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
因為sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/（2+sinx)∈[4/3,4].
所以y∈[1/3,3]
4.反表示法。把未知項（含x項）用y來表示，要知道未知項的范圍。
y=3^x/(3^x+1).求值域。
解：變形得3^x(1-y)=y.討論
當y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立（因為此式小於1）所以y≠1,
則有3^x=y/(1-y).這就是說3^x與y/(1-y）是等同的。那麼他們的范圍也就等同。也就是說y/(1-y)＞0.解得y∈(0,1).
5.幾何意義法。題乾的形式會讓我們產生聯想。如想到斜率、兩點間距離公式等。
①。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。
先看定義域，全體實數。那麼不用管了。
變形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].
y的幾何意義是（x,0)點到點（0，1）的距離與（x.0)點到點（2，2）的距離的和。畫出圖像，觀察知，當（x,0)點在直線y-2=3/2(x-2)上時，有最小值。
解直線與x軸交點，得x=2/3.對應的原函數值y=√(4+9)=√13.(勾股定理）
②。求y=sinx/(2-x)的值域。
解：變形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的幾何意義是（2，0）到（cosx,sinx)的斜率的相反數。畫圖，觀察計算得k的范圍是[-√3/3,√3/3].
所以y的范圍是-k,為[-√3/3,√3/3].
如果你是新生的話，可能有些東西你還沒接觸到，理解的會差一些。沒關系，不出幾個月，你就都能學到了。
除了上面我介紹的幾種方法外，還有什麼換元法，上下同除法，平方去根號法，導數法等等。但最常用的還是上面那幾個。

H. 求值域的方法

求值域的方法有：直接法：從自變數的范圍出發，推出值域；配方法，求出最大值還有最小值；觀察法：對於一些比較簡單的函數，可以根據定義域與對應關系，直接得到函數的值域，等。

求值域的方法及例題

1.直接法：從自變數的范圍出發，推出值域。

2.觀察法：對於一些比較簡單的函數，可以根據定義域與對應關系，直接得到函數的值域。

3.配方法：（或者說是最值法）求出最大值還有最小值，那麼值域就出來了。

例題：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】

先配方，得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

ymax=(2+1)^2+2=11

4.拆分法：對於形如y=cx+d，ax+b的分式函數，可以將其拆分成一個常數與一個分式，再易觀察出函數的值域。

5.單調性法：y≠ca.一些函數的單調性，很容易看出來。或者先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的值域。

6.數形結合法，其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。

7.判別式法：運用方程思想，根據二次方程有實根求值域。

8.換元法：適用於有根號的函數

例題：y=x-√（1-2x)

設√（1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2(t+1)^2+1

∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：圖像法，直接畫圖看值域

這是一個分段函數，你畫出圖後就可以一眼看出值域。

10：反函數法。求反函數的定義域，就是原函數的值域。

例題：y=(3x-1)/(3x-2)

先求反函數y=(2x-1)/(3x-3)

明顯定義域為x≠1

所以原函數的值域為y≠1