總結證明函數單調性的方法步驟

Ⅰ 證明函數單調性的一般步驟

證明函數的單調性，也就是判斷x1<x2時，f(x1)<f(x2)或f（x1）≥f(x2).

一般方法有：

1. 直接觀察法或分析法，比如y=x²，很明顯單調遞增。

2. 作差法。計算x1<x2時，f(x1)與f(x2）的大小關系，即用f(x1)-f(x2）與0比較。

3. 作商法。當可以判斷f(x1)與f(x2）同號時，求二者的商與1比較。

   等等。

Ⅱ 單調性的證明方法有哪些,定義法證明單調性的一般步驟

首先，提到函數的單調性時一定要說明單調區間。
判斷函數的單調性一般有兩種方法：
1.定義法；
2.導數法（高二或高三學，暫時不講）；
定義法見圖~
補充：若已知條件中有定義域為x>0且f(1)>0，這時應考慮假設x2/x1=x3，此時x3>1，可利用條件f(1)>0。

Ⅲ 利用定義判斷或證明函數單調性的步驟。

利用定義判斷函數單調性的方法，步驟如下：

1、在區間D上，任取x₁，x₂，令x₁<x₂；

2、作差求：f(x₁)-f(x₂);

3、對f(x₁)-f(x₂)的結果進行變形處理；

4、確定f(x₁)-f(x₂)符號的正負；

5、下結論，根據「同增異減」原則，指出函數在區間上的單調性。

(3)總結證明函數單調性的方法步驟擴展閱讀：

其他判斷方法有：

1、等價定義法

設函數f(x)的定義域為D，在定義域內任取x₁，x₂,且x₁不等於x₂，若[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)>0,則函數單調遞增；若有 <0，則函數單調遞減，以上是函數單調性的第二定義。

2、求導法

導數與函數單調性密切相關。它是研究函數的另一種方法，為其開辟了許多新途徑。特別是對於具體函數，利用導數求解函數單調性，思路清晰，步驟明確，既快捷又易於掌握，利用導數求解函數單調性，要求熟練掌握基本求導公式。

如果函數y=f(x)在區間D內可導(可微)，若x∈D時恆有f'(x)>0，則函數y=f(x)在區間D內單調增加；反之，若x∈D時，f'(x)<0,則稱函數y=f(x)在區間D內單調減少。

參考資料來源：網路-單調性

Ⅳ 單調性的證明步驟是什麼

在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。因此，在某一區間內，一直上升的函數圖象對應的函數在該區間單調遞增；一直下降的函數圖象對應的函數在該區間單調遞減；

注意：對於分段函數，要特別注意。例如，上圖左可以說是一個增函數；上圖右就不能說是在定義域上的一個增函數（在定義域上不具有單調性）。

(4)總結證明函數單調性的方法步驟擴展閱讀

利用函數單調性可以解決很多與函數相關的問題。通過對函數的單調性的研究，有助於加深對函數知識的把握和深化，將一些實際問題轉化為利用函數的單調性來處理。因此對函數單調性的討論小僅有重要的理論價值，而且具有很好的應用價值。

1、利用函數單調性求最值

求函數的最大(小)值有多種方法，但基本的方法是通過函數的單調性來判定，特別是對於小可導的連續點，開區間或無窮區間內最大(小)值的分析，一般都用單調性來判定。

2、利用函數單調性證明不等式

首先，根據小等式的特點，構造一個單調函數；其次，判別此函數在某區間[a,b]上為單調函數；最後，由單調函數的定義得到我們要證明的小等式。

Ⅳ 證明函數單調性與增減性的步驟

利用定義證明函數單調性的步驟：
①任意取值：即設x1、x2是該區間內的任意兩個值，且x1<x2
②作差變形：作差f(x1)－f(x2)，並因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利於判斷差的符號的方向變形
③判斷定號：確定f(x1)－f(x2)的符號
④得出結論：根據定義作出結論（若差0，則為增函數；若差0，則為減函數）
即「任意取值——作差變形——判斷定號——得出結論」

Ⅵ 如何判斷一個函數的的單調性

1、定義法

定義法：按照證明函數單調性的五個步驟（1取值，2作差，3變形，4判號，5定論）進行判斷。

定義如下：函數的單調性（monotonicity）也叫函數的增減性，可以定性描述在一個指定區間內，函數值變化與自變數變化的關系。

當函數f(x) 的自變數在其定義區間內增大（或減小）時，函數值也隨著增大（或減小），則稱該函數為在該區間上具有單調性（單調增加或單調減少） 。在集合論中，在有序集合之間的函數，如果它們保持給定的次序，是具有單調性的。

2、當a>0時，函數af(x)與f(x)有相同的單調性; 當a<0時，函數af(x)與f(x)有相反的單調性；

3、當函數f(x)恆為正（或恆為負）時，f(x)與1/f(x)有相反的單調性；

4、若f(x)非負，則f(x)與f(x)的算術平方根具有相同的單調性；

5、若f(x)與g(x)的單調性相同，則f(x)+g(x)的單調性與f(x)、g(x)的單調性相同；

6、若f(x)與g(x)的單調性相反，則f(x)-g(x)的單調性與f(x)的單調性相同。

」方程，從而利用函數單調性解方程x=a，使問題化繁為簡，而構造單調函數是解決問題的關鍵。

Ⅶ 怎麼證明函數的單調性

主要有（1）根據函數單調性定義來證明；（2）求函數的導函數來證明。
求函數單調性的基本方法
解：先要弄清概念和研究目的,因為函數本身是動態的，所以判斷函數的單調性、奇偶性，還有研究函數切線的斜率、極值等等，都是為了更好地了解函數本身所採用的方法。其次就解題技巧而言，當然是立足於掌握課本上的例題，然後再找些典型例題做做就可以了，這部分知識僅就應付解題而言應該不是很難。最後找些考試試卷題目來解，針對考試會出的題型強化一下，所謂知己知彼百戰不殆。 1. 把握好函數單調性的定義。證明函數單調性一般（初學最好用定義）用定義（謹防循環論證），如果函數解析式異常復雜或者具有某種特殊形式，可以採用函數單調性定義的等價形式證明。另外還請注意函數單調性的定義是[充要命題]。 2. 熟練掌握基本初等函數的單調性及其單調區間。理解並掌握判斷復合函數單調性的方法：同增異減。 3. 高三選修課本有導數及其應用，用導數求函數的單調區間一般是非常簡便的。 還應注意函數單調性的應用，例如求極值、比較大小，還有和不等式有關的問題。

Ⅷ 函數單調性的判斷方法有哪些

函數單調性的判斷方法有導數法、定義法、性質法和復合函數同增異減法。
1、導數法
首先對函數進行求導，令導函數等於零，得X值，判斷X與導函數的關系，當導函數大於零時是增函數，小於零是減函數。
2、定義法

設x1，x2是函數f(x)定義域上任意的兩個數，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，則此函數為增函數；反知，若f(x1)＞f(x2)，則此函數為減函數.
3、性質法
若函數f(x)、g(x)在區間B上具有單調性，則在區間B上有：
⑴ f(x)與f(x)＋C（C為常數）具有相同的單調性；
⑵ f(x)與c•f(x)當c＞0具有相同的單調性，當c＜0具有相反的單調性；
⑶當f(x)、g(x)都是增(減)函數，則f(x)＋g(x)都是增(減)函數；
⑷當f(x)、g(x)都是增(減)函數，則f(x)•g(x)當兩者都恆大於0時也是增(減)函數，當兩者都恆小於0時也是減(增)函數；
4、復合函數同增異減法
對於復合函數y＝f [g(x)]滿足「同增異減」法(應注意內層函數的值域)，可令 t＝g(x)，則三個函數 y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f [g(x)]中，若有兩個函數單調性相同，則第三個函數為增函數；若有兩個函數單調性相反，則第三個函數為減函數。
拓展資料：
1、奇函數在對稱的兩個區間上有相同的單調性，偶函數在對稱的兩個區間上有相反的單調性；
2、互為反函數的兩個函數有相同的單調性；
3、如果f(x)在區間D上是增（減）函數，那麼f(x)在D的任一子區間上也是增（減）函數.

Ⅸ 如何證明函數的單調性

用導數的正負來說明函數在一區間內的單調增或減，或通過函數單調性定義進行證明。設定義域內任意x1
x2滿足x1<x2，通過不等式證明（可能要用到放縮的方法），推出f(x1)<f(x2)，則函數為增函數，反之，為減函數。

Ⅹ 判斷函數的單調性的方法

判斷函數單調性的方法
1.作差法（定義法）.根據增函數、減函數的定義,利用作差法證明函數的單調性.其步驟有：⑴取值,⑵作差,⑶變形,⑷判號,⑸定性.其中,變形一步是難點,常用技巧有：整式型---因式分解、配方法,還有六項公式法.分式型---通分合並,化為商式.二次根式型---分子有理化.
具體：先在區間上取兩個值,一般都是X1、X2 ,設X1＞X2（或者X1＜X2）
然後把X1、X2代進去f(x)解析式做差 ,也就是算 f(X1)-f(X2)
關鍵一步就是化簡,一般化成乘或除的形式 ,這樣好判號
比如 你設的是X1＞X2這個條件 ,最後化簡下來滿足 f(X1)-f(X2)＞0的話,它在區間上就是增函數 ,反之則為減函數.
2.圖像法.利用函數圖像的連續上升或下降的特點判別函數的單調性.
3.導數法.利用導函數的符號判別函數的單調性.f'(x)>0為單調遞增,f'(x)